Colinéarité, combinaisons et base

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שני וקטורים הם קולינאריים, כלומר מקבילים, כשאחד מהם הוא כפולה של השני: u‾=kv‾\underline{u} = k\underline{v}.

בודקים כך: מחלקים רכיב ברכיב. אם יוצא אותו מספר בכל הרכיבים, הווקטורים מקבילים.

האם (2,−6)(2, -6) ו-(−1,3)(-1, 3) מקבילים?

מחפשים מספר kk אחד שמתאים לשני הרכיבים.

2−1=−2−63=−2\begin{aligned}\frac{2}{-1} &= -2 \\ \quad \frac{-6}{3} &= -2\end{aligned}

אותו יחס בשני הרכיבים

(2,−6)=−2⋅(−1,3)(2, -6) = -2 \cdot (-1, 3)

מקבילים, בכיוון הפוך כי k<0k < 0

האם הנקודות A(1,1)A(1, 1), B(3,2)B(3, 2) ו-C(7,4)C(7, 4) נמצאות על ישר אחד?

Voir la réponse et le corrigé

כן. AB‾=(2,1)\underline{AB} = (2, 1) ו-AC‾=(6,3)=3AB‾\underline{AC} = (6, 3) = 3\underline{AB}. שני וקטורים מקבילים עם נקודה משותפת AA: שלוש הנקודות על ישר אחד.

צירוף ליניארי ובסיס

צירוף ליניארי של u‾\underline{u} ושל v‾\underline{v} הוא וקטור מהצורה αu‾+βv‾\alpha\underline{u} + \beta\underline{v}. כאן α\alpha ו-β\beta הם מספרים.

כששני הווקטורים לא מקבילים, מגיעים בעזרתם לכל נקודה במישור, ובדרך אחת בלבד. זוג כזה נקרא בסיס.

מבטאים את w‾=(1,3)\underline{w} = (1, 3) בעזרת u‾=(1,1)\underline{u} = (1, 1) ו-v‾=(1,−1)\underline{v} = (1, -1)

כותבים w‾=αu‾+βv‾\underline{w} = \alpha\underline{u} + \beta\underline{v} ומשווים רכיבים.

(1,3)=(α+β, α−β)(1, 3) = (\alpha + \beta,\ \alpha - \beta)
α+β=1α−β=3\begin{aligned}\alpha + \beta &= 1 \\ \quad \alpha - \beta &= 3\end{aligned}

מערכת של שתי משוואות

α=2β=−1\begin{aligned}\alpha &= 2 \\ \quad \beta &= -1\end{aligned}

מחברים את המשוואות: 2α=42\alpha = 4

w‾=2u‾−v‾\underline{w} = 2\underline{u} - \underline{v}

ואם u‾\underline{u} ו-v‾\underline{v} מקבילים, מגיעים בעזרתם לכל נקודה?

Voir la réponse et le corrigé

לא. כל הצירופים שלהם נשארים על ישר אחד, בכיוון של u‾\underline{u}. בשביל בסיס צריך שני כיוונים שונים.

וקטורים בתוך צורה

בבחינה הצורה מופיעה לרוב בלי מערכת צירים. בוחרים שני וקטורים כבסיס, ומבטאים בעזרתם את כל השאר.

מבטאים את AM‾\underline{AM} בעזרת u‾\underline{u} ו-v‾\underline{v}

הולכים מ-AA אל MM בדרך שמכירים: דרך BB.

AM‾=AB‾+BM‾\underline{AM} = \underline{AB} + \underline{BM}

כלל המשולש

BM‾=12BC‾=12AD‾=12v‾\begin{aligned}\underline{BM} &= \frac{1}{2}\underline{BC} \\ &= \frac{1}{2}\underline{AD} \\ &= \frac{1}{2}\underline{v}\end{aligned}

צלעות נגדיות במקבילית הן וקטורים שווים

AM‾=u‾+12v‾\underline{AM} = \underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v}
M=A+B2=(xA+xB2, yA+yB2)\begin{aligned}M &= \frac{A + B}{2} \\ &= \left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right)\end{aligned}

האמצע של ABAB הוא הממוצע של השיעורים

נקודה PP על הקטע ABAB, כך ש-AP:PB=m:nAP : PB = m : n, מקיימת AP‾=mm+nAB‾\underline{AP} = \frac{m}{m + n}\underline{AB}.

שתי טעויות שחוזרות בהבעה.

BM‾=12u‾\underline{BM} = \frac{1}{2}\underline{u}
BM‾=12v‾\underline{BM} = \frac{1}{2}\underline{v}

הצלע BCBC מקבילה ל-ADAD, לא ל-ABAB. צלעות נגדיות במקבילית הן וקטורים שווים.

AP:PB=1:2⇒AP‾=12AB‾\begin{aligned}AP : PB &= 1 : 2 \Rightarrow \underline{AP} \\ &= \frac{1}{2}\underline{AB}\end{aligned}
AP‾=13AB‾\underline{AP} = \frac{1}{3}\underline{AB}

היחס 1:21 : 2 מחלק את הקטע ל-שלושה חלקים שווים.

Exercices

Exercice 1

הטענה: הווקטורים (3,−6)(3, -6) ו-(−1,2)(-1, 2) מקבילים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

3−1=−3−62=−3\begin{aligned}\frac{3}{-1} &= -3 \\ \quad \frac{-6}{2} &= -3\end{aligned}
(3,−6)=−3⋅(−1,2)(3, -6) = -3 \cdot (-1, 2)

הם מקבילים בכיוון הפוך: kk שלילי. גם זה נחשב מקביל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

הטענה: הווקטורים (2,3)(2, 3) ו-(4,5)(4, 5) מקבילים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

42=253≠2\begin{aligned}\frac{4}{2} &= 2 \\ \quad \frac{5}{3} \ne 2\end{aligned}

היחס לא אותו מספר

הרכיב הראשון הוכפל ב-22, אבל השני לא. לא מספיק שהרכיבים «גדלים».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

לאיזה ערך של kk הווקטור (k,6)(k, 6) מקביל לווקטור (2,3)(2, 3)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

63=2\frac{6}{3} = 2

היחס ברכיב השני

k=2⋅2=4\begin{aligned}k &= 2 \cdot 2 \\ &= 4\end{aligned}

אותו יחס ברכיב הראשון

מוצאים את היחס מהרכיב הידוע, ורק אז את kk.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הנקודות A(0,1)A(0, 1) ו-B(2,2)B(2, 2) נתונות. איזו נקודה CC נמצאת על הישר ABAB?

  1. (6,5)(6, 5)
  2. (4,4)(4, 4)
  3. (6,4)(6, 4)
  4. (3,2)(3, 2)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C (6,4)(6, 4)

Corrigé :

AB‾=(2,1)\underline{AB} = (2, 1)
C(6,4): AC‾=(6,3)=3AB‾\begin{aligned}C(6, 4):\ \underline{AC} &= (6, 3) \\ &= 3\underline{AB}\end{aligned}

מקבילים, ויש נקודה משותפת

בודקים את AC‾\underline{AC}, לא את CC עצמה: (6,4)(6, 4) אינו כפולה של (2,2)(2, 2), אבל (6,3)(6, 3) כן כפולה של (2,1)(2, 1).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

השלימו.

האמצע של הקטע שבין A(2,−3)A(2, -3) ל-B(6,7)B(6, 7) הוא הנקודה MM. שיעור ה-xx שלה ____, ושיעור ה-yy שלה ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : האמצע של הקטע שבין A(2,−3)A(2, -3) ל-B(6,7)B(6, 7) הוא הנקודה MM. שיעור ה-xx שלה 4, ושיעור ה-yy שלה 2.

Corrigé :

M=(2+62, −3+72)=(4,2)\begin{aligned}M &= \left(\frac{2 + 6}{2},\ \frac{-3 + 7}{2}\right) \\ &= (4, 2)\end{aligned}

ממוצע: מחברים ומחלקים ב-22. מחיסור יוצא חצי מהווקטור, לא האמצע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

השלימו.

כותבים (4,2)=α(1,1)+β(1,−1)(4, 2) = \alpha(1, 1) + \beta(1, -1). אז α\alpha = ____, ו-β\beta = ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : כותבים (4,2)=α(1,1)+β(1,−1)(4, 2) = \alpha(1, 1) + \beta(1, -1). אז α\alpha = 3, ו-β\beta = 1.

Corrigé :

α+β=4α−β=2\begin{aligned}\alpha + \beta &= 4 \\ \quad \alpha - \beta &= 2\end{aligned}

משווים רכיבים

α=3β=1\begin{aligned}\alpha &= 3 \\ \quad \beta &= 1\end{aligned}

משווים רכיב xx לרכיב xx ורכיב yy לרכיב yy: יוצאת מערכת של שתי משוואות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הנקודה PP על הקטע שבין A(1,2)A(1, 2) ל-B(7,11)B(7, 11), ו-AP:PB=1:2AP : PB = 1 : 2. מהו שיעור ה-yy של PP?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

AB‾=(6,9)\underline{AB} = (6, 9)
AP‾=13AB‾=(2,3)\begin{aligned}\underline{AP} &= \frac{1}{3}\underline{AB} \\ &= (2, 3)\end{aligned}

שלושה חלקים, לוקחים אחד

P=A+AP‾=(3,5)\begin{aligned}P &= A + \underline{AP} \\ &= (3, 5)\end{aligned}

1:21 : 2 זה שליש מהדרך מ-AA, לא חצי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

במקבילית ABCDABCD נתון AB‾=u‾\underline{AB} = \underline{u} ו-AD‾=v‾\underline{AD} = \underline{v}. איזה וקטור הוא AC‾\underline{AC}?

  1. v‾−u‾\underline{v} - \underline{u}
  2. u‾+v‾\underline{u} + \underline{v}
  3. 12(u‾+v‾)\frac{1}{2}(\underline{u} + \underline{v})
  4. u‾−v‾\underline{u} - \underline{v}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B u‾+v‾\underline{u} + \underline{v}

Corrigé :

AC‾=AB‾+BC‾=u‾+v‾\begin{aligned}\underline{AC} &= \underline{AB} + \underline{BC} \\ &= \underline{u} + \underline{v}\end{aligned}

BC‾=AD‾\underline{BC} = \underline{AD}

האלכסון שיוצא מ-AA הוא הסכום (כלל המקבילית). חצי מהסכום מגיע רק עד אמצע האלכסון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

באותה מקבילית (AB‾=u‾\underline{AB} = \underline{u}, AD‾=v‾\underline{AD} = \underline{v}), איזה וקטור הוא BD‾\underline{BD}?

  1. u‾+v‾\underline{u} + \underline{v}
  2. u‾−v‾\underline{u} - \underline{v}
  3. v‾−u‾\underline{v} - \underline{u}
  4. −u‾−v‾-\underline{u} - \underline{v}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C v‾−u‾\underline{v} - \underline{u}

Corrigé :

BD‾=BA‾+AD‾=−u‾+v‾\begin{aligned}\underline{BD} &= \underline{BA} + \underline{AD} \\ &= -\underline{u} + \underline{v}\end{aligned}

חוזרים מ-BB אל AA, ואז אל DD

u‾−v‾\underline{u} - \underline{v} הוא DB‾\underline{DB}: האלכסון באותו קו, אבל בכיוון ההפוך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

במקבילית ABCDABCD (AB‾=u‾\underline{AB} = \underline{u}, AD‾=v‾\underline{AD} = \underline{v}), הנקודה NN היא אמצע CDCD. איזה וקטור הוא AN‾\underline{AN}?

  1. 12(u‾+v‾)\frac{1}{2}(\underline{u} + \underline{v})
  2. u‾+12v‾\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v}
  3. v‾−12u‾\underline{v} - \frac{1}{2}\underline{u}
  4. v‾+12u‾\underline{v} + \frac{1}{2}\underline{u}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D v‾+12u‾\underline{v} + \frac{1}{2}\underline{u}

Corrigé :

AN‾=AD‾+DN‾\underline{AN} = \underline{AD} + \underline{DN}

דרך DD

DN‾=12DC‾=12u‾\begin{aligned}\underline{DN} &= \frac{1}{2}\underline{DC} \\ &= \frac{1}{2}\underline{u}\end{aligned}

DC‾=AB‾\underline{DC} = \underline{AB}

הצלע DCDC שווה ל-ABAB, ולכן חצי ממנה הוא 12u‾\frac{1}{2}\underline{u} ולא 12v‾\frac{1}{2}\underline{v}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

במשולש ABCABC נתון AB‾=u‾\underline{AB} = \underline{u} ו-AC‾=v‾\underline{AC} = \underline{v}. הנקודה MM היא אמצע BCBC. איזה וקטור הוא AM‾\underline{AM}?

  1. u‾+v‾\underline{u} + \underline{v}
  2. 12v‾−12u‾\frac{1}{2}\underline{v} - \frac{1}{2}\underline{u}
  3. u‾+12v‾\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v}
  4. 12u‾+12v‾\frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 12u‾+12v‾\frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v}

Corrigé :

AM‾=AB‾+12BC‾\underline{AM} = \underline{AB} + \frac{1}{2}\underline{BC}
=u‾+12(v‾−u‾)=12u‾+12v‾= \underline{u} + \frac{1}{2}(\underline{v} - \underline{u}) = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v}

BC‾=v‾−u‾\underline{BC} = \underline{v} - \underline{u}

במשולש BC‾\underline{BC} הוא v‾−u‾\underline{v} - \underline{u}, לא v‾\underline{v}: אין כאן מקבילית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

במשולש ABCABC נתון AB‾=u‾\underline{AB} = \underline{u} ו-AC‾=v‾\underline{AC} = \underline{v}, ו-MM אמצע BCBC. סדרו את שלבי ההבעה של AM‾\underline{AM}, מהראשון לאחרון.

  • AM‾=12u‾+12v‾\underline{AM} = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v}
  • AM‾=AB‾+BM‾\underline{AM} = \underline{AB} + \underline{BM}
  • BC‾=v‾−u‾\underline{BC} = \underline{v} - \underline{u}
  • BM‾=12BC‾\underline{BM} = \frac{1}{2}\underline{BC}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : AM‾=AB‾+BM‾\underline{AM} = \underline{AB} + \underline{BM} · BM‾=12BC‾\underline{BM} = \frac{1}{2}\underline{BC} · BC‾=v‾−u‾\underline{BC} = \underline{v} - \underline{u} · AM‾=12u‾+12v‾\underline{AM} = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v}

Corrigé :

AM‾=u‾+12(v‾−u‾)\underline{AM} = \underline{u} + \frac{1}{2}(\underline{v} - \underline{u})

מציבים ומכנסים

קודם בוחרים דרך (כלל המשולש), ורק אז מבטאים כל חלק שלה בעזרת הבסיס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

במקבילית ABCDABCD, הנקודה MM היא אמצע ABAB והנקודה NN היא אמצע DCDC. הוכיחו בעזרת וקטורים: AMCNAMCN מקבילית.

  • ABCDABCD מקבילית
  • MM אמצע ABAB
  • NN אמצע DCDC

AMCNAMCN מקבילית

Voir la réponse et le corrigé
  1. AM‾=12AB‾\underline{AM} = \frac{1}{2}\underline{AB} — MM אמצע ABAB
  2. NC‾=12DC‾\underline{NC} = \frac{1}{2}\underline{DC} — NN אמצע DCDC
  3. DC‾=AB‾\underline{DC} = \underline{AB} — צלעות נגדיות במקבילית הן וקטורים שווים
  4. AM‾=NC‾\underline{AM} = \underline{NC} — מציבים את השוויון השלישי בשני
  5. AMCNAMCN מקבילית — מרובע שבו זוג צלעות נגדיות שוות ומקבילות
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

מיינו את זוגות הווקטורים.

  • מקבילים
  • לא מקבילים
  • (0,3)(0, 3) ו-(0,−5)(0, -5)
  • (1,2)(1, 2) ו-(2,1)(2, 1)
  • (1,2)(1, 2) ו-(3,6)(3, 6)
  • (2,−1)(2, -1) ו-(−4,2)(-4, 2)
  • (3,4)(3, 4) ו-(4,3)(4, 3)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (1,2)(1, 2) ו-(3,6)(3, 6) — מקבילים · (2,−1)(2, -1) ו-(−4,2)(-4, 2) — מקבילים · (1,2)(1, 2) ו-(2,1)(2, 1) — לא מקבילים · (0,3)(0, 3) ו-(0,−5)(0, -5) — מקבילים · (3,4)(3, 4) ו-(4,3)(4, 3) — לא מקבילים

Corrigé :

(0,3)=−35(0,−5)(0, 3) = -\frac{3}{5}(0, -5)

גם עם רכיב אפס זה עובד

(3,4)(3, 4) ו-(4,3)(4, 3) נראים דומים, אבל היחס לא קבוע: 43≠34\frac{4}{3} \ne \frac{3}{4}.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe