Opérations sur les vecteurs · Vecteurs et géométrie dans l’espace · Kita יב

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

הולכים לפי החץ $\underline{u}$ , ומהסוף שלו ממשיכים לפי החץ $\underline{v}$ . הדרך כולה היא הסכום $\underline{u} + \underline{v}$ .

מחליפים את הסדר: קודם $\underline{v}$ , ואחר כך $\underline{u}$ . האם הסכום משתנה?

Voir la réponse et le corrigé

לא. שתי הדרכים הן שתי הצלעות של מקבילית, והסכום הוא האלכסון שלה. לכן $\underline{u} + \underline{v} = \underline{v} + \underline{u}$ .

\underline{AB} + \underline{BC} = \underline{AC}

כלל המשולש: הסוף של החץ הראשון הוא ההתחלה של השני

\underline{OA} + \underline{OC} = \underline{OB}

כלל המקבילית: שני חצים מאותה נקודה, והסכום הוא האלכסון

חיבור וחיסור ברכיבים

ברכיבים החיבור פשוט: מחברים רכיב עם רכיב.

(a_1, b_1) + (a_2, b_2) = (a_1 + a_2,\ b_1 + b_2)

הסכום של $\underline{u} = (3, -1)$ ו- $\underline{v} = (-2, 4)$

רכיב ה- $x$ עם רכיב ה- $x$ , ורכיב ה- $y$ עם רכיב ה- $y$ .

\underline{u} + \underline{v} = (3 + (-2),\ -1 + 4)

= (1, 3)

חיסור הוא חיבור של הנגדי: $\underline{u} - \underline{v} = \underline{u} + (-\underline{v})$ . ברכיבים מחסרים רכיב מרכיב.

מנקודה $O$ יוצאים החצים $\underline{OA}$ ו- $\underline{OB}$ . איזה וקטור הוא $\underline{OB} - \underline{OA}$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$\underline{AB}$ . מ- $A$ חוזרים אל $O$ , ומשם הולכים אל $B$ . לכן $\underline{AB} = \underline{OB} - \underline{OA}$ , הסוף פחות ההתחלה.

כפל וקטור במספר

סקלר הוא מספר רגיל. כופלים וקטור במספר $k$ : כל רכיב מוכפל ב- $k$ .

\begin{aligned}k(a, b) &= (ka,\ kb) \\ \qquad |k\underline{u}| &= |k| \cdot |\underline{u}|\end{aligned}

k > 1

אותו כיוון, ארוך יותר

0 < k < 1

אותו כיוון, קצר יותר

k < 0

כיוון הפוך, והאורך מוכפל ב- $|k|$

נתונים $\underline{u} = (1, 2)$ ו- $\underline{v} = (2, -1)$ . מחשבים את $2\underline{u} - 3\underline{v}$

קודם כופלים, אחר כך מחסרים.

\begin{aligned}2\underline{u} &= (2, 4) \\ \quad 3\underline{v} &= (6, -3)\end{aligned}

\begin{aligned}2\underline{u} - 3\underline{v} &= (2 - 6,\ 4 - (-3)) \\ &= (-4, 7)\end{aligned}

מינוס מינוס הוא פלוס

שלוש טעויות של סימנים.

(3, -1) - (-2, 4) = (1, 3)

(3, -1) - (-2, 4) = (5, -5)

בחיסור מחסרים כל רכיב: $3 - (-2) = 5$ ו- $-1 - 4 = -5$ .

-3(1, -2) = (-3, -6)

-3(1, -2) = (-3, 6)

מינוס כפול מינוס הוא פלוס, גם ברכיב השני.

|-2\underline{u}| = -2|\underline{u}|

|-2\underline{u}| = 2|\underline{u}|

אורך הוא אף פעם לא שלילי. הסימן רק הופך את הכיוון.

Exercices

Exercice 1

נתונים $\underline{u} = (3, -1)$ ו- $\underline{v} = (2, 5)$ . מהו רכיב ה- $x$ של $\underline{u} + \underline{v}$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

3 + 2 = 5

רכיב $x$ עם רכיב $x$

מחברים רכיב עם הרכיב שלו, לא את כל המספרים יחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהו $\underline{u} + \underline{v}$ כאשר $\underline{u} = (-1, 4)$ ו- $\underline{v} = (3, -6)$ ?

$(2, 10)$
$(2, -2)$
$(-4, 10)$
$(-3, -24)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $(2, -2)$

Corrigé :

(-1 + 3,\ 4 + (-6)) = (2, -2)

$(-4, 10)$ הוא $\underline{u} - \underline{v}$ , ו- $(-3, -24)$ הוא כפל של רכיבים: לא חיבור.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהו $\underline{u} - \underline{v}$ כאשר $\underline{u} = (2, 3)$ ו- $\underline{v} = (5, -1)$ ?

$(7, 2)$
$(-3, 4)$
$(-3, 2)$
$(3, -4)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $(-3, 4)$

Corrigé :

(2 - 5,\ 3 - (-1)) = (-3, 4)

$(3, -4)$ הוא $\underline{v} - \underline{u}$ : הסדר בחיסור קובע את הכיוון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונים $\underline{u} = (1, 2)$ ו- $\underline{v} = (2, 2)$ . מהו האורך $|\underline{u} + \underline{v}|$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

\underline{u} + \underline{v} = (3, 4)

קודם מחברים

\begin{aligned}|(3, 4)| &= \sqrt{9 + 16} \\ &= 5\end{aligned}

אחר כך האורך

קודם מחברים את הווקטורים, ורק אחר כך מחשבים אורך. $|\underline{u}| + |\underline{v}|$ נותן מספר אחר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונים $\underline{u} = (2, -1)$ ו- $\underline{v} = (1, 3)$ . מהו $3\underline{u} - 2\underline{v}$ ?

$(4, -9)$
$(8, -9)$
$(4, 3)$
$(5, -6)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $(4, -9)$

Corrigé :

\begin{aligned}3\underline{u} &= (6, -3) \\ \quad 2\underline{v} &= (2, 6)\end{aligned}

(6 - 2,\ -3 - 6) = (4, -9)

כופלים כל רכיב במספר שלפניו, גם את השלילי: $3 \cdot (-1) = -3$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

השלימו.

הכפל $-2 \cdot (3, -4)$ שווה לווקטור שרכיב ה- $x$ שלו הוא ____, ורכיב ה- $y$ שלו הוא ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הכפל $-2 \cdot (3, -4)$ שווה לווקטור שרכיב ה- $x$ שלו הוא -6, ורכיב ה- $y$ שלו הוא 8.

Corrigé :

-2 \cdot (3, -4) = (-6, 8)

כל רכיב כפול $-2$

הכפל בשלילי הופך את הסימן של שני הרכיבים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

האורך של $\underline{u}$ הוא $4$ . מהו האורך של $-3\underline{u}$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

\begin{aligned}|-3\underline{u}| &= |-3| \cdot |\underline{u}| \\ &= 3 \cdot 4 \\ &= 12\end{aligned}

אורך לא יוצא שלילי: התשובה $12$ , לא $-12$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הטענה: לכל שני וקטורים מתקיים $|\underline{u} + \underline{v}| = |\underline{u}| + |\underline{v}|$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

\begin{aligned}\underline{u} &= (1, 0) \\ \ \underline{v} &= (0, 1):\quad |\underline{u} + \underline{v}| \\ &= \sqrt{2}\end{aligned}

|\underline{u}| + |\underline{v}| = 2 \ne \sqrt{2}

דוגמה נגדית אחת מספיקה

במשולש צלע אחת קצרה מסכום שתי האחרות. השוויון נכון רק כשהווקטורים באותו כיוון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הטענה: לכל שלוש נקודות $A$ , $B$ , $C$ מתקיים $\underline{AB} + \underline{BC} = \underline{AC}$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}\underline{AB} + \underline{BC} &= (B - A) + (C - B) \\ &= C - A \\ &= \underline{AC}\end{aligned}

$B$ מצטמצם

זה כלל המשולש. הוא נכון גם כשהנקודות על ישר אחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתון $\underline{OA} = (2, 5)$ ו- $\underline{OB} = (6, 2)$ . מהו האורך $|\underline{AB}|$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

\begin{aligned}\underline{AB} &= \underline{OB} - \underline{OA} \\ &= (4, -3)\end{aligned}

הסוף פחות ההתחלה

\begin{aligned}|\underline{AB}| &= \sqrt{16 + 9} \\ &= 5\end{aligned}

$\underline{AB}$ הוא $\underline{OB} - \underline{OA}$ , לא הסכום שלהם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

מיינו: באיזה כיוון יוצא $k\underline{u}$ , ביחס ל- $\underline{u}$ ?

אותו כיוון
כיוון הפוך

$k = -\frac{1}{4}$
$k = -1$
$k = -3$
$k = \frac{1}{2}$
$k = 0.1$
$k = 2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $k = 2$ — אותו כיוון · $k = \frac{1}{2}$ — אותו כיוון · $k = -1$ — כיוון הפוך · $k = -3$ — כיוון הפוך · $k = 0.1$ — אותו כיוון · $k = -\frac{1}{4}$ — כיוון הפוך

Corrigé :

k > 0:\ \uparrow\uparrow, \qquad k < 0:\ \uparrow\downarrow

רק הסימן של $k$ קובע

הגודל של $k$ קובע את האורך, והסימן שלו קובע את הכיוון. $k = 0.1$ מקצר, אבל לא הופך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

נתונים $\underline{u} = (1, 3)$ ו- $\underline{v} = (4, -2)$ . יוסי חישב את $2\underline{u} - \underline{v}$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

2\underline{u} = (2, 6)

2\underline{u} - \underline{v} = (2 - 4,\ 6 - 2)

= (-2, 4)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $2\underline{u} - \underline{v} = (2 - 4,\ 6 - 2)$ → $2\underline{u} - \underline{v} = (2 - 4,\ 6 - (-2)) = (-2, 8)$

Corrigé :

6 - (-2) = 8

מחסרים את הרכיב עם הסימן שלו

ברכיב השני של $\underline{v}$ יש $-2$ , ולכן מחסרים $-2$ : זה פלוס $2$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

נתונים $\underline{u} = (2, -3)$ ו- $\underline{w} = (1, 9)$ . לאיזה ערך של $k$ הווקטור $k\underline{u} + \underline{w}$ מונח על ציר ה- $x$ (רכיב ה- $y$ שלו $0$ )?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

k\underline{u} + \underline{w} = (2k + 1,\ -3k + 9)

\begin{aligned}-3k + 9 &= 0 \Rightarrow k \\ &= 3\end{aligned}

רק רכיב ה- $y$ צריך להתאפס. רכיב ה- $x$ יכול להיות כל מספר.

Vérifier la réponse sur elev

חיבור וחיסור ברכיבים

כפל וקטור במספר

Exercices

La suite se pratique sur elev