Qu’est-ce qu’un vecteur

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

וקטור הוא חץ. יש לו כיוון, ויש לו אורך (קוראים לו גם גודל).

תזוזה, מהירות, כוח: לא מספיק לומר «5 מטר». צריך לומר גם לאן. בשביל זה יש וקטורים.

מזיזים את הזנב של החץ למקום אחר. האם הווקטור השתנה?

Voir la réponse et le corrigé

לא. הכיוון והאורך נשארו, ולכן זה אותו וקטור. וקטור לא «גר» במקום מסוים: כל חץ באותו כיוון ובאותו אורך הוא אותו וקטור.

הרכיבים: כמה ימינה, כמה למעלה

במישור כותבים וקטור בעזרת שני מספרים: u‾=(a,b)\underline{u} = (a, b).

aa אומר כמה זזים ימינה (בכיוון ציר xx), ו-bb אומר כמה זזים למעלה. מספר שלילי: שמאלה, או למטה.

הווקטור מנקודה AA לנקודה BB נכתב AB‾\underline{AB}. מוצאים אותו כך: הסוף פחות ההתחלה.

AB‾=B−A=(xB−xA, yB−yA)\begin{aligned}\underline{AB} &= B - A \\ &= (x_B - x_A,\ y_B - y_A)\end{aligned}

הווקטור מ-A(1,1)A(1, 1) אל B(4,3)B(4, 3)

מחסרים את AA מ-BB, רכיב אחרי רכיב.

AB‾=(4−1, 3−1)\underline{AB} = (4 - 1,\ 3 - 1)

הסוף פחות ההתחלה

AB‾=(3,2)\underline{AB} = (3, 2)

שלוש ימינה, שתיים למעלה

ומהו BA‾\underline{BA}, הווקטור מ-BB חזרה אל AA?

Voir la réponse et le corrigé

(−3,−2)(-3, -2). אותו אורך, כיוון הפוך. זה הוקטור הנגדי: BA‾=−AB‾\underline{BA} = -\underline{AB}.

האורך של וקטור

את האורך של u‾=(a,b)\underline{u} = (a, b) מוצאים במשפט פיתגורס: הרכיבים הם הניצבים, והחץ הוא היתר.

∣u‾∣=a2+b2|\underline{u}| = \sqrt{a^2 + b^2}

הקווים הישרים מסביב ל-u‾\underline{u} פירושם «האורך של»

האורך של u‾=(3,−4)\underline{u} = (3, -4)

מעלים כל רכיב בריבוע, גם את השלילי.

∣u‾∣=32+(−4)2|\underline{u}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2}
9+16=25=5\begin{aligned}\sqrt{9 + 16} &= \sqrt{25} \\ &= 5\end{aligned}

ריבוע של מספר שלילי הוא חיובי

u‾=v‾\underline{u} = \underline{v}

וקטורים שווים: אותו כיוון ואותו אורך, כלומר אותם רכיבים

−u‾-\underline{u}

הוקטור הנגדי: אותו אורך, כיוון הפוך. הרכיבים מחליפים סימן

0‾=(0,0)\underline{0} = (0, 0)

וקטור האפס: אורך 00, ואין לו כיוון

שתי טעויות שחוזרות בבחינות.

AB‾=A−B\underline{AB} = A - B
AB‾=B−A\underline{AB} = B - A

תמיד הסוף פחות ההתחלה. A−BA - B נותן את BA‾\underline{BA}, החץ ההפוך.

∣(3,−4)∣=9−16|(3, -4)| = \sqrt{9 - 16}
∣(3,−4)∣=9+16=5\begin{aligned}|(3, -4)| &= \sqrt{9 + 16} \\ &= 5\end{aligned}

מעלים בריבוע את הרכיב עם הסימן: (−4)2=16(-4)^2 = 16.

Exercices

Exercice 1

נתונות הנקודות A(2,−1)A(2, -1) ו-B(5,3)B(5, 3). מהו הרכיב הראשון (רכיב ה-xx) של AB‾\underline{AB}?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

5−2=35 - 2 = 3

הסוף פחות ההתחלה, ברכיב xx

מחסרים את השיעור של AA מזה של BB, לא להפך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

A(2,−1)A(2, -1), B(5,3)B(5, 3). מהו הרכיב השני (רכיב ה-yy) של AB‾\underline{AB}?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

3−(−1)=43 - (-1) = 4

מינוס מינוס הוא פלוס

החיסור 3−(−1)3 - (-1) הוא 44, לא 22.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

A(2,−1)A(2, -1), B(5,3)B(5, 3). מהו האורך ∣AB‾∣|\underline{AB}|?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

AB‾=(3,4)\underline{AB} = (3, 4)
∣AB‾∣=9+16=5\begin{aligned}|\underline{AB}| &= \sqrt{9 + 16} \\ &= 5\end{aligned}

קודם הרכיבים, אחר כך פיתגורס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מהו הווקטור מ-A(−1,4)A(-1, 4) אל B(2,0)B(2, 0)?

  1. (1,4)(1, 4)
  2. (3,4)(3, 4)
  3. (−3,4)(-3, 4)
  4. (3,−4)(3, -4)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D (3,−4)(3, -4)

Corrigé :

AB‾=(2−(−1), 0−4)=(3,−4)\begin{aligned}\underline{AB} &= (2 - (-1),\ 0 - 4) \\ &= (3, -4)\end{aligned}

(−3,4)(-3, 4) הוא BA‾\underline{BA}: החיסור נעשה הפוך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מהו האורך של הווקטור (−5,12)(-5, 12)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 13

Corrigé :

(−5)2+122=25+144=169=13\begin{aligned}\sqrt{(-5)^2 + 12^2} &= \sqrt{25 + 144} \\ &= \sqrt{169} \\ &= 13\end{aligned}

(−5)2=25(-5)^2 = 25, לא −25-25.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מהו האורך של הווקטור (2,3)(2, 3)? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3.61

Corrigé :

22+32=13≈3.61\sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} \approx 3.61

האורך לא חייב לצאת מספר שלם. 13\sqrt{13} הוא תשובה מדויקת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונות הנקודות A(0,0)A(0, 0), B(2,1)B(2, 1), C(3,3)C(3, 3) ו-D(5,4)D(5, 4). הטענה: הווקטורים AB‾\underline{AB} ו-CD‾\underline{CD} שווים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

AB‾=(2,1)\underline{AB} = (2, 1)
CD‾=(5−3, 4−3)=(2,1)\begin{aligned}\underline{CD} &= (5 - 3,\ 4 - 3) \\ &= (2, 1)\end{aligned}

אותם רכיבים

החיצים במקומות שונים, אבל באותו כיוון ובאותו אורך: אלה וקטורים שווים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הטענה: שני וקטורים שווים חייבים להתחיל באותה נקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

AB‾=CD‾  ⟺  B−A=D−C\begin{aligned}\underline{AB} &= \underline{CD} \iff B - A \\ &= D - C\end{aligned}

משווים רכיבים, לא נקודות

וקטור הוא כיוון ואורך. אפשר להזיז את החץ לכל מקום, והוא נשאר אותו וקטור.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה הנקודה A(1,2)A(1, 2), ו-AB‾=(4,−3)\underline{AB} = (4, -3). מהם השיעורים של BB?

  1. (5,−1)(5, -1)
  2. (4,−6)(4, -6)
  3. (−3,5)(-3, 5)
  4. (3,−5)(3, -5)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A (5,−1)(5, -1)

Corrigé :

B=A+AB‾B = A + \underline{AB}

מתחילים ב-AA והולכים לפי החץ

B=(1+4, 2+(−3))=(5,−1)\begin{aligned}B &= (1 + 4,\ 2 + (-3)) \\ &= (5, -1)\end{aligned}

מ-AB‾=B−A\underline{AB} = B - A מקבלים B=A+AB‾B = A + \underline{AB}: מחברים, לא מחסרים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

התאימו כל מושג לתיאור שלו.

  • וקטור נגדי
  • וקטורים שווים
  • וקטור האפס
  • האורך של וקטור
  • אורך אפס, בלי כיוון
  • אותו אורך ואותו כיוון
  • אותו אורך, כיוון הפוך
  • שורש של סכום ריבועי הרכיבים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : וקטור נגדי — אותו אורך, כיוון הפוך · וקטורים שווים — אותו אורך ואותו כיוון · וקטור האפס — אורך אפס, בלי כיוון · האורך של וקטור — שורש של סכום ריבועי הרכיבים

Corrigé :

−u‾u‾=v‾0‾∣u‾∣\begin{aligned}-\underline{u} \\ \quad \underline{u} &= \underline{v} \\ \quad \underline{0} \\ \quad |\underline{u}|\end{aligned}

וקטור נקבע רק על ידי כיוון ואורך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

השלימו.

נתון u‾=(6,−8)\underline{u} = (6, -8). האורך ∣u‾∣|\underline{u}| הוא ____, והאורך של הווקטור הנגדי ∣−u‾∣|-\underline{u}| הוא ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : נתון u‾=(6,−8)\underline{u} = (6, -8). האורך ∣u‾∣|\underline{u}| הוא 10, והאורך של הווקטור הנגדי ∣−u‾∣|-\underline{u}| הוא 10.

Corrigé :

∣u‾∣=36+64=10\begin{aligned}|\underline{u}| &= \sqrt{36 + 64} \\ &= 10\end{aligned}
−u‾=(−6,8)∣−u‾∣=10\begin{aligned}-\underline{u} &= (-6, 8) \\ \quad |-\underline{u}| &= 10\end{aligned}

רק הכיוון התהפך

וקטור נגדי הוא באותו אורך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

האורך של הווקטור (k,4)(k, 4) הוא 55, ו-kk חיובי. מהו kk?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

k2+16=25k^2 + 16 = 25

מעלים בריבוע את שני האגפים

k2=9k=3\begin{aligned}k^2 &= 9 \\ \quad k &= 3\end{aligned}

לוקחים את הפתרון החיובי

גם k=−3k = -3 נותן אורך 55. השאלה ביקשה את החיובי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

דנה חישבה את הווקטור מ-A(3,5)A(3, 5) אל B(1,2)B(1, 2). שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

AB‾=A−B\underline{AB} = A - B
=(3−1, 5−2)= (3 - 1,\ 5 - 2)
=(2,3)= (2, 3)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : AB‾=A−B\underline{AB} = A - B → AB‾=B−A=(1−3, 2−5)=(−2,−3)\underline{AB} = B - A = (1 - 3,\ 2 - 5) = (-2, -3)

Corrigé :

AB‾=B−A=(−2,−3)\begin{aligned}\underline{AB} &= B - A \\ &= (-2, -3)\end{aligned}

הסוף פחות ההתחלה

החיסור הפוך נותן את BA‾\underline{BA}. הטעות בשורה הראשונה, והשאר רק ממשיך אותה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe