Aborder une question du bagrout · Vecteurs et géométrie dans l’espace · Kita יב

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בבחינה, שאלת הווקטורים בנויה כמעט תמיד באחת משתי דרכים: שאלה אלגברית (נקודות עם שיעורים, ישרים ומישורים), או שאלה גאומטרית (גוף, וקטורי בסיס, בלי שיעורים).

לכל אחת יש סדר עבודה קבוע. כאן פותרים שאלה מכל סוג, צעד אחרי צעד.

שאלה אלגברית

Activité interactive

שאלה לדוגמה: מישור, מרחק ואנך

A(3, 0, 0),\ B(0, 6, 0),\ C(0, 0, 3),\ P(4, 3, 2)

לחצו «להתחיל». א. מצאו את משוואת המישור $ABC$ . ב. חשבו את המרחק של $P$ מהמישור. ג. מצאו את נקודת החיתוך $H$ של האנך מ- $P$ עם המישור. ד. חשבו את הזווית בין המישור $ABC$ למישור $xy$ .

א. שני וקטורים במישור

\begin{aligned}\underline{AB} &= (-3, 6, 0) \\ \quad \underline{AC} &= (-3, 0, 3)\end{aligned}

שני וקטורים שיושבים במישור ואינם מקבילים.

א. הנורמל

\begin{cases} -3a + 6b = 0 \\ -3a + 3c = 0 \end{cases} \Rightarrow \underline{n} = (2, 1, 2)

הנורמל ניצב לשניהם: המכפלות הסקלריות שוות $0$ . בוחרים $b = 1$ .

א. המשוואה

\begin{aligned}2x + y + 2z + d &= 0 \\ \quad A:\ 6 + d &= 0 \Rightarrow 2x + y + 2z - 6 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים נקודה אחת כדי למצוא את $d$ . בדיקה: $B$ ו- $C$ מקיימות גם הן.

ב. המרחק

\begin{aligned}d &= \frac{|2 \cdot 4 + 3 + 2 \cdot 2 - 6|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} \\ &= \frac{9}{3} \\ &= 3\end{aligned}

מציבים את $P$ במשוואה, בערך מוחלט, ומחלקים באורך הנורמל.

ג. האנך

\underline{x} = (4, 3, 2) + t(2, 1, 2)

האנך יוצא מ- $P$ בכיוון של $\underline{n}$ .

ג. החיתוך

\begin{aligned}2(4 + 2t) + (3 + t) + 2(2 + 2t) - 6 &= 0 \Rightarrow 9 + 9t \\ &= 0 \Rightarrow t \\ &= -1\end{aligned}

מציבים נקודה כללית של האנך במשוואת המישור.

ג. הנקודה

\begin{aligned}H &= (4, 3, 2) - (2, 1, 2) \\ &= (2, 2, 0)\end{aligned}

בדיקה: $|PH| = |(2, 1, 2)| = 3$ , בדיוק המרחק מסעיף ב.

ד. הזווית

\begin{aligned}\cos\beta &= \frac{|(2, 1, 2) \cdot (0, 0, 1)|}{3 \cdot 1} \\ &= \frac{2}{3} \Rightarrow \beta \approx 48.19^\circ\end{aligned}

הזווית בין מישורים היא הזווית בין הנורמלים. הנורמל של מישור $xy$ הוא $(0, 0, 1)$ .

הסדר חוזר כמעט בכל שאלה: שני וקטורים במישור, נורמל, משוואה, ורק אז מרחקים וזוויות.

Faire l'activité sur elev

שאלה גאומטרית

Activité interactive

שאלה לדוגמה: תיבה בלי מערכת צירים

\begin{aligned}|\underline{u}| &= 4 \\ \ |\underline{v}| &= 2 \\ \ |\underline{w}| &= 2\end{aligned}

לחצו «להתחיל». בתיבה $ABCDA'B'C'D'$ נתון $\underline{AB} = \underline{u}$ , $\underline{AD} = \underline{v}$ , $\underline{AA'} = \underline{w}$ . $M$ אמצע $B'C'$ . א. הביעו את $\underline{AC'}$ ואת $\underline{AM}$ . ב. חשבו את האורכים. ג. חשבו את הזווית בין $\underline{AC'}$ ל- $\underline{AM}$ .

נתונים

\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{v} &= \underline{u}\cdot\underline{w} \\ &= \underline{v}\cdot\underline{w} \\ &= 0\end{aligned}

בתיבה כל המקצועות שיוצאים מקדקוד ניצבים זה לזה.

א. האלכסון

\underline{AC'} = \underline{u} + \underline{v} + \underline{w}

הולכים לאורך המקצועות: $AB$ , אחר כך $BC$ (שווה ל- $AD$ ), ואז למעלה.

א. הנקודה M

\underline{AM} = \underline{u} + \underline{w} + \tfrac{1}{2}\underline{v}

מ- $A$ ל- $B'$ ( $\underline{u} + \underline{w}$ ), ואז חצי מ- $B'C'$ , שהוא $\underline{v}$ .

ב. אורך האלכסון

\begin{aligned}|\underline{AC'}|^2 &= 16 + 4 + 4 \\ &= 24 \Rightarrow |\underline{AC'}| \\ &= 2\sqrt{6}\end{aligned}

מעלים בריבוע. כל המכפלות המעורבות מתאפסות.

ב. אורך AM

\begin{aligned}|\underline{AM}|^2 &= 16 + \tfrac{1}{4} \cdot 4 + 4 \\ &= 21 \Rightarrow |\underline{AM}| \\ &= \sqrt{21}\end{aligned}

שימו לב: $\left(\tfrac{1}{2}\underline{v}\right)^2 = \tfrac{1}{4}|\underline{v}|^2$ .

ג. המכפלה

\begin{aligned}\underline{AC'} \cdot \underline{AM} &= 16 + \tfrac{1}{2} \cdot 4 + 4 \\ &= 22\end{aligned}

מכפילים איבר באיבר. נשארים רק $\underline{u}^2$ , $\underline{v}^2$ ו- $\underline{w}^2$ .

ג. הזווית

\cos\alpha = \frac{22}{2\sqrt{6} \cdot \sqrt{21}} \Rightarrow \alpha \approx 11.49^\circ

הנוסחה של הזווית, עם האורכים מסעיף ב.

בשאלה גאומטרית אין שיעורים: מביעים כל וקטור בעזרת וקטורי הבסיס, ומחשבים עם המכפלות שלהם.

Faire l'activité sur elev

הנוסחאות שחוזרות

\cos\alpha = \frac{|\underline{d_1}\cdot\underline{d_2}|}{|\underline{d_1}|\,|\underline{d_2}|}

זווית בין שני ישרים: וקטורי הכיוון, עם ערך מוחלט (זווית חדה)

\sin\alpha = \frac{|\underline{d}\cdot\underline{n}|}{|\underline{d}|\,|\underline{n}|}

זווית בין ישר למישור: הכיוון והנורמל, סינוס

\cos\alpha = \frac{|\underline{n_1}\cdot\underline{n_2}|}{|\underline{n_1}|\,|\underline{n_2}|}

זווית בין שני מישורים: שני הנורמלים

d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

מרחק של נקודה $(x_0, y_0, z_0)$ ממישור

איך כותבים בבחינה. כותבים כל וקטור שמחשבים, עם השם שלו ( $\underline{AB} = \ldots$ ). אחרי שמוצאים משוואת מישור, מציבים בה את שלוש הנקודות: זו בדיקה של חצי דקה שמצילה סעיף שלם.

שלוש טעויות שעולות נקודות.

\cos\alpha = \frac{|\underline{d}\cdot\underline{n}|}{|\underline{d}||\underline{n}|}

\sin\alpha = \frac{|\underline{d}\cdot\underline{n}|}{|\underline{d}||\underline{n}|}

בין ישר למישור הנורמל ניצב למישור, ולכן סינוס, לא קוסינוס.

|\underline{u} + \underline{v}|^2 = |\underline{u}|^2 + |\underline{v}|^2

|\underline{u} + \underline{v}|^2 = |\underline{u}|^2 + 2\underline{u}\cdot\underline{v} + |\underline{v}|^2

האיבר האמצעי נעלם רק כשהווקטורים ניצבים.

d = \frac{2x_0 + y_0 + 2z_0 - 6}{9}

d = \frac{|2x_0 + y_0 + 2z_0 - 6|}{\sqrt{9}}

מחלקים בשורש, ושמים ערך מוחלט.

Exercices

Exercice 1

נתונות הנקודות $A(4, 0, 0)$ , $B(0, 2, 0)$ , $C(0, 0, 4)$ והנקודה $P(2, 3, 2)$ . א. איזה וקטור ניצב למישור $ABC$ ?

$(4, 2, 0)$
$(1, 2, 1)$
$(1, -2, 1)$
$(2, 1, 2)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $(1, 2, 1)$

Corrigé :

\begin{aligned}\underline{AB} &= (-4, 2, 0) \\ \ \underline{AC} &= (-4, 0, 4)\end{aligned}

\begin{aligned}-4a + 2b &= 0 \\ \ -4a + 4c &= 0 \Rightarrow (1, 2, 1)\end{aligned}

בוחרים $a = 1$

בודקים ששתי המכפלות הסקלריות מתאפסות: $(2, 1, 2)$ ניצב ל- $\underline{AC}$ אבל לא ל- $\underline{AB}$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונות הנקודות $A(4, 0, 0)$ , $B(0, 2, 0)$ , $C(0, 0, 4)$ והנקודה $P(2, 3, 2)$ . ב. מהי משוואת המישור $ABC$ ?

$4x + 2y + 4z - 16 = 0$
$x + 2y + z + 4 = 0$
$x + 2y + z - 4 = 0$
$x + 2y + z = 0$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $x + 2y + z - 4 = 0$

Corrigé :

\begin{aligned}x + 2y + z + d &= 0 \\ \ A:\ 4 + d &= 0\end{aligned}

d = -4

בדיקה: $B$ נותנת $4 - 4 = 0$

הסימן של $d$ : מציבים ומעבירים אגף, לא מנחשים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונות הנקודות $A(4, 0, 0)$ , $B(0, 2, 0)$ , $C(0, 0, 4)$ והנקודה $P(2, 3, 2)$ . ג. הנקודה $(2, 1, 0)$ נמצאת במישור $ABC$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

2 + 2 \cdot 1 + 0 - 4 = 0

מציבים במשוואה

נקודה במישור מאפסת את המשוואה. אין צורך לצייר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונות הנקודות $A(4, 0, 0)$ , $B(0, 2, 0)$ , $C(0, 0, 4)$ והנקודה $P(2, 3, 2)$ . ד. מהו המרחק של $P$ מהמישור $ABC$ ? עגלו לשתי ספרות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.45

Corrigé :

\begin{aligned}d &= \frac{|2 + 6 + 2 - 4|}{\sqrt{1 + 4 + 1}} \\ &= \frac{6}{\sqrt{6}} \\ &= \sqrt{6}\end{aligned}

\sqrt{6} \approx 2.45

הערך המוחלט במונה, והשורש במכנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונות הנקודות $A(4, 0, 0)$ , $B(0, 2, 0)$ , $C(0, 0, 4)$ והנקודה $P(2, 3, 2)$ . ה. מהי הצגה פרמטרית של האנך מ- $P$ למישור?

$\underline{x} = (2, 3, 2) + t(4, 0, 0)$
$\underline{x} = (2, 3, 2) + t(1, 2, 1)$
$\underline{x} = (2, 3, 2) + t(-4, 2, 0)$
$\underline{x} = (1, 2, 1) + t(2, 3, 2)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $\underline{x} = (2, 3, 2) + t(1, 2, 1)$

Corrigé :

\underline{x} = P + t\underline{n}

האנך יוצא מ- $P$ בכיוון הנורמל

הנקודה היא $P$ והכיוון הוא $\underline{n}$ , לא להפך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונות הנקודות $A(4, 0, 0)$ , $B(0, 2, 0)$ , $C(0, 0, 4)$ והנקודה $P(2, 3, 2)$ . ו. מציבים את האנך $\underline{x} = (2, 3, 2) + t(1, 2, 1)$ במשוואת המישור. איזה ערך של $t$ מתקבל?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1

Corrigé :

(2 + t) + 2(3 + 2t) + (2 + t) - 4 = 0

\begin{aligned}6 + 6t &= 0 \Rightarrow t \\ &= -1\end{aligned}

$t$ שלילי: הולכים מ- $P$ נגד הנורמל כדי להגיע למישור.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

השלימו.

האנך מ- $P(2, 3, 2)$ פוגע במישור $x + 2y + z - 4 = 0$ בנקודה $H$ ששיעוריה (____, ____, ____).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : האנך מ- $P(2, 3, 2)$ פוגע במישור $x + 2y + z - 4 = 0$ בנקודה $H$ ששיעוריה (1, 1, 1).

Corrigé :

\begin{aligned}H &= (2, 3, 2) + (-1)(1, 2, 1) \\ &= (1, 1, 1)\end{aligned}

מציבים $t = -1$

בדיקה: $1 + 2 + 1 - 4 = 0$ , ו- $|PH| = \sqrt{6}$ כמו המרחק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונות הנקודות $A(4, 0, 0)$ , $B(0, 2, 0)$ , $C(0, 0, 4)$ והנקודה $P(2, 3, 2)$ . ח. $P'$ היא השיקוף של $P$ במישור $ABC$ . מהו שיעור ה- $y$ של $P'$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1

Corrigé :

\begin{aligned}P' &= P + 2(H - P) \\ &= (2, 3, 2) + 2(-1, -2, -1)\end{aligned}

$H$ הוא אמצע הקטע $PP'$

P' = (0, -1, 0)

ממשיכים מ- $H$ אותו מרחק, לצד השני: $t = -2$ , לא $t = -1$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונות הנקודות $A(4, 0, 0)$ , $B(0, 2, 0)$ , $C(0, 0, 4)$ והנקודה $P(2, 3, 2)$ . ט. מהי הזווית בין המישור $ABC$ למישור $xy$ , במעלות? עגלו לשתי ספרות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 65.91

Corrigé :

\begin{aligned}\cos\beta &= \frac{|(1, 2, 1)\cdot(0, 0, 1)|}{\sqrt{6} \cdot 1} \\ &= \frac{1}{\sqrt{6}}\end{aligned}

\beta \approx 65.91^\circ

בין מישורים: קוסינוס של הנורמלים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונות הנקודות $A(4, 0, 0)$ , $B(0, 2, 0)$ , $C(0, 0, 4)$ והנקודה $P(2, 3, 2)$ . י. מהו המרחק של ראשית הצירים מהמישור $ABC$ ? עגלו לשתי ספרות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.63

Corrigé :

\begin{aligned}d &= \frac{|0 + 0 + 0 - 4|}{\sqrt{6}} \\ &= \frac{4}{\sqrt{6}} \approx 1.63\end{aligned}

מציבים $(0, 0, 0)$ : נשאר רק $|d|$ של המשוואה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

סדרו את שלבי החישוב של נקודת החיתוך של האנך מנקודה $P$ עם מישור.

כותבים את האנך: $P + t\underline{n}$
מוצאים וקטור נורמל למישור
מציבים את $t$ בישר ומקבלים את הנקודה
מציבים נקודה כללית של האנך במשוואת המישור
פותרים ומוצאים את $t$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מוצאים וקטור נורמל למישור · כותבים את האנך: $P + t\underline{n}$ · מציבים נקודה כללית של האנך במשוואת המישור · פותרים ומוצאים את $t$ · מציבים את $t$ בישר ומקבלים את הנקודה

Corrigé :

P + t\underline{n} \to t \to H

בלי נורמל אין כיוון לאנך: זה תמיד הצעד הראשון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

נועם מצא את משוואת המישור דרך $A(4, 0, 0)$ עם הנורמל $(1, 2, 1)$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

x + 2y + z + d = 0

4 + 0 + 0 + d = 0

d = 4

x + 2y + z + 4 = 0

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $d = 4$ → $d = -4$

Corrigé :

\begin{aligned}4 + d &= 0 \Rightarrow d \\ &= -4\end{aligned}

מעבירים את $4$ לאגף השני, והסימן מתהפך. שורה 4 רק ממשיכה את הטעות.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה אלגברית

שאלה גאומטרית

הנוסחאות שחוזרות

Exercices

La suite se pratique sur elev