Technique algébrique

Sur elev, cette leçon vient avec une vidéo, des exercices corrigés sur le moment et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev
Voir la vidéo de la leçon

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ב-3 יחידות אין הרבה תיאוריה — יש שלוש פרוצדורות שחוזרות כמעט בכל שאלה, וכדאי שיהיו אוטומטיות לגמרי.

1. משוואה ממעלה ראשונה

סוגריים, כינוס, העברת אגפים, חלוקה במקדם. ובסוף — בדיקה בהצבה, כי היא תופסת כל טעות סימן. מי שרוצה את ההסבר המלא, צעד-צעד — הוא נמצא בפרק משוואות של כיתה ז.

2. משוואה ריבועית

מסדרים לצורה ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0, ואז נוסחת השורשים:

x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

שני מקרים חוסכים את הנוסחה לגמרי: כשאין cc — גורם משותף (x2−5x=0⇒x(x−5)=0x^2 - 5x = 0 \Rightarrow x(x-5) = 0). וכשאין bb — מעבירים ומוציאים שורש (x2=9⇒x=±3x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3).

3. מערכת שתי משוואות

הצבה כשאחד הנעלמים כבר מבודד, והשוואת מקדמים כשלא. שתי הדרכים נכונות; בוחרים לפי הכתיבה.

שתי הטעויות שעולות הכי הרבה נקודות.

x2=9⇒x=3\begin{aligned}x^2 &= 9 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}
x=3  x=−3\begin{aligned}x &= 3 \ \\ \ x &= -3\end{aligned}

שורש במשוואה נותן שני פתרונות.

x2=5x⇒x=5\begin{aligned}x^2 &= 5x \Rightarrow x \\ &= 5\end{aligned}
x(x−5)=0⇒x=0  x=5\begin{aligned}x(x - 5) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \ \\ \ x &= 5\end{aligned}

חילוק ב-xx מוחק את הפתרון x=0x = 0.

פתרו: 2(x−3)=x+52(x - 3) = x + 5

Voir la réponse et le corrigé

x=11x = 11: פותחים סוגריים (2x−6=x+52x - 6 = x + 5), מעבירים אגפים. הבדיקה בהצבה שווה נקודות בבגרות.

Exercices

Exercice 1

פתרו: 4x−6=104x - 6 = 10

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

4x=164x = 16

מעבירים

x=4x = 4

מחלקים

בדיקה: 16−6=1016 - 6 = 10.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

פתרו: x2=9x^2 = 9

  1. x=4.5x = 4.5
  2. x=3x = 3
  3. x=3x = 3 או x=−3x = -3
  4. x=81x = 81
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C x=3x = 3 או x=−3x = -3

Corrigé :

x=±3x = \pm 3

שורש נותן שני פתרונות

גם (−3)2=9(-3)^2 = 9.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

פתרו: x2−5x=0x^2 - 5x = 0

  1. אין פתרון
  2. x=5x = 5
  3. x=0x = 0
  4. x=0x = 0 או x=5x = 5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D x=0x = 0 או x=5x = 5

Corrigé :

x(x−5)=0x(x - 5) = 0

גורם משותף

חילוק ב-xx היה מוחק פתרון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

פתרו: x2−7x+12=0x^2 - 7x + 12 = 0. מהו הפתרון הגדול?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

(x−3)(x−4)=0(x - 3)(x - 4) = 0

מכפלה 12, סכום 7

x=3  x=4\begin{aligned}x &= 3 \ \\ \ x &= 4\end{aligned}

שני פתרונות

טרינום — מהיר יותר מהנוסחה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

במערכת y=2x+1y = 2x + 1 ו-y=−x+7y = -x + 7 — מהו ה-xx בנקודת החיתוך?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

2x+1=−x+72x + 1 = -x + 7

משווים

3x=6⇒x=2\begin{aligned}3x &= 6 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

On résout

y=5y = 5

ומציבים

הנקודה היא (2, 5)(2,\, 5).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

פתרו:

4x−7=134x - 7 = 13
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

4x=20  ⇒  x=5\begin{aligned}4x &= 20 \;\Rightarrow\; x \\ &= 5\end{aligned}

מעבירים אגף, מחלקים

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

פתרו את המערכת x+y=9x + y = 9 וגם x−y=3x - y = 3:

חיבור המשוואות נותן 2x = 12 , ולכן x = ____ ו-y = ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : חיבור המשוואות נותן 2x = 12 , ולכן x = 6 ו-y = 3.

Corrigé :

2x=122x = 12

מחברים — ה-y מתבטל

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

שורה אחת שגויה — מצאו אותה:

7x+4=257x + 4 = 25
7x=25+47x = 25 + 4
x=297x = \frac{29}{7}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7x=25+47x = 25 + 4 → 7x=25−47x = 25 - 4

Corrigé :

7x=21  ⇒  x=3\begin{aligned}7x &= 21 \;\Rightarrow\; x \\ &= 3\end{aligned}

מעבר אגף הופך סימן

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

איזה מספר פותר את המשוואה 2x+3=112x + 3 = 11?

  1. 7
  2. 3
  3. 4
  4. 5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 4

Corrigé :

2⋅4+3=112 \cdot 4 + 3 = 11

בדיקה בהצבה

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

סדרו את שלבי הפתרון:

  • 5x+2=175x + 2 = 17
  • 5x=155x = 15
  • x=3x = 3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5x+2=175x + 2 = 17 · 5x=155x = 15 · x=3x = 3

Corrigé :

5x=17−25x = 17 - 2

קודם מבודדים, אחר כך מחלקים

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

פתרו בעזרת נוסחת השורשים: 2x2+5x−3=02x^2 + 5x - 3 = 0. מהו הפתרון הגדול?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

a=2  b=5  c=−3\begin{aligned}a &= 2 \ \\ \ b &= 5 \ \\ \ c &= -3\end{aligned}

מזהים מקדמים, עם הסימנים

b2−4ac=25+24=49\begin{aligned}b^2 - 4ac &= 25 + 24 \\ &= 49\end{aligned}

מה שמתחת לשורש

x1,2=−5±74x_{1,2} = \frac{-5 \pm 7}{4}

מציבים בנוסחה

x1=24=0.5  x2=−124=−3\begin{aligned}x_1 &= \frac{2}{4} \\ &= 0.5 \ \\ \ x_2 &= \frac{-12}{4} \\ &= -3\end{aligned}

שני הפתרונות

הפתרון הגדול הוא x=0.5x = 0.5. בדיקה: 2⋅0.25+2.5−3=02 \cdot 0.25 + 2.5 - 3 = 0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

פתרו: x2−4x−2=0x^2 - 4x - 2 = 0. מהו הפתרון החיובי? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4.45

Corrigé :

b2−4ac=16+8=24\begin{aligned}b^2 - 4ac &= 16 + 8 \\ &= 24\end{aligned}

אין פירוק לטרינום — עוברים לנוסחה

x1,2=4±242x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2}

On remplace (מציבים)

x1=4+4.8992≈4.45x_1 = \frac{4 + 4.899}{2} \approx 4.45

הפתרון החיובי

x2=4−4.8992≈−0.45x_2 = \frac{4 - 4.899}{2} \approx -0.45

והשלילי

כשהשורש לא יוצא שלם, הנוסחה היא הדרך היחידה. מעגלים רק בסוף, לא באמצע החישוב.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

בחנות בגדים, 2 חולצות ו-3 מכנסיים עולים יחד 410 ש״ח. חולצה אחת ומכנסיים אחד עולים יחד 170 ש״ח. כמה עולים מכנסיים (בש״ח)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 70

Corrigé :

2x+3y=410  x+y=170\begin{aligned}2x + 3y &= 410 \ \\ \ x + y &= 170\end{aligned}

x — מחיר חולצה, y — מחיר מכנסיים

2x+2y=3402x + 2y = 340

כופלים את המשוואה השנייה ב-2

y=410−340=70\begin{aligned}y &= 410 - 340 \\ &= 70\end{aligned}

מחסרים — ה-x מתבטל

x=170−70=100\begin{aligned}x &= 170 - 70 \\ &= 100\end{aligned}

On remplace (מציבים)

מכנסיים עולים 70 ש״ח וחולצה 100 ש״ח. בדיקה: 200+210=410200 + 210 = 410.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

פתרו את המערכת 3x+2y=163x + 2y = 16 וגם 5x−2y=05x - 2y = 0.

  1. x=2 , y=5x = 2 \ , \ y = 5
  2. x=5 , y=2x = 5 \ , \ y = 2
  3. x=4 , y=2x = 4 \ , \ y = 2
  4. x=2 , y=−5x = 2 \ , \ y = -5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A x=2 , y=5x = 2 \ , \ y = 5

Corrigé :

8x=16⇒x=2\begin{aligned}8x &= 16 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

מחברים — המקדמים של y נגדיים

3⋅2+2y=16⇒y=5\begin{aligned}3 \cdot 2 + 2y &= 16 \Rightarrow y \\ &= 5\end{aligned}

מציבים במשוואה הראשונה

בדיקה במשוואה השנייה: 10−10=010 - 10 = 0. השוואת מקדמים מתאימה כאן, כי אף נעלם לא מבודד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

אורך של מלבן גדול מהרוחב שלו ב-3 ס״מ, ושטח המלבן 40 סמ״ר. מהו הרוחב של המלבן (בס״מ)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

x(x+3)=40x(x + 3) = 40

x — הרוחב, x + 3 — האורך

x2+3x−40=0x^2 + 3x - 40 = 0

מסדרים לצורה שווה לאפס

(x+8)(x−5)=0(x + 8)(x - 5) = 0

מכפלה −40-40 וסכום 3

x=5  x=−8\begin{aligned}x &= 5 \ \\ \ x &= -8\end{aligned}

רוחב לא יכול להיות שלילי

הרוחב 5 ס״מ והאורך 8 ס״מ: 5⋅8=405 \cdot 8 = 40. את הפתרון השלילי פוסלים — זה חלק מהתשובה בבגרות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

פתרו את x2−6x+8=0x^2 - 6x + 8 = 0 בנוסחת השורשים. שורה אחת שגויה — מצאו אותה:

x2−6x+8=0x^2 - 6x + 8 = 0
x1,2=−6±36−322x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}
x1,2=6±22x_{1,2} = \frac{6 \pm 2}{2}
x=4  x=2\begin{aligned}x &= 4 \ \\ \ x &= 2\end{aligned}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x1,2=−6±36−322x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} → x1,2=6±36−322x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}

Corrigé :

b=−6⇒−b=6\begin{aligned}b &= -6 \Rightarrow -b \\ &= 6\end{aligned}

מינוס של מספר שלילי הוא חיובי

בנוסחה כתוב −b-b. כאשר b=−6b = -6, המונה מתחיל ב-66 ולא ב-−6-6. בדיקה: 16−24+8=016 - 24 + 8 = 0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

שורה אחת שגויה — מצאו אותה:

5x−2(x−4)=235x - 2(x - 4) = 23
5x−2x−8=235x - 2x - 8 = 23
3x=153x = 15
x=5x = 5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5x−2x−8=235x - 2x - 8 = 23 → 5x−2x+8=235x - 2x + 8 = 23

Corrigé :

−2⋅(−4)=+8-2 \cdot (-4) = +8

המינוס לפני הסוגריים כופל את שני האיברים

בדיקה בהצבה: 25−2⋅1=2325 - 2 \cdot 1 = 23. מינוס לפני סוגריים הופך את הסימן של כל איבר בפנים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

פתרו את המערכת y=2x−1y = 2x - 1 וגם 3x+y=143x + y = 14. שורה אחת שגויה — מצאו אותה:

3x+(2x−1)=143x + (2x - 1) = 14
5x−1=145x - 1 = 14
5x=135x = 13
x=3x = 3
y=2⋅3−1=5\begin{aligned}y &= 2 \cdot 3 - 1 \\ &= 5\end{aligned}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5x=135x = 13 → 5x=155x = 15

Corrigé :

5x=14+1=15\begin{aligned}5x &= 14 + 1 \\ &= 15\end{aligned}

מעבר אגף הופך את הסימן של 1-

x=3  y=5\begin{aligned}x &= 3 \ \\ \ y &= 5\end{aligned}

ההצבה

בדיקה במשוואה השנייה: 9+5=149 + 5 = 14.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

פתרו בפירוק לטרינום: x2+2x−15=0x^2 + 2x - 15 = 0

(x+(x + ____ )(x−)(x - ____ )=0) = 0 , הפתרון הקטן x=x = ____ והפתרון הגדול x=x = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (x+(x + 5 )(x−)(x - 3 )=0) = 0 , הפתרון הקטן x=x = -5 והפתרון הגדול x=x = 3

Corrigé :

5⋅(−3)=−15  5+(−3)=2\begin{aligned}5 \cdot (-3) &= -15 \ \\ \ 5 + (-3) &= 2\end{aligned}

מכפלה −15-15 וסכום 2

(x+5)(x−3)=0(x + 5)(x - 3) = 0

הפירוק

x=−5  x=3\begin{aligned}x &= -5 \ \\ \ x &= 3\end{aligned}

כל גורם שווה לאפס

מכפלה שלילית — הסימנים של שני המספרים שונים, והגדול בערכו מקבל את הסימן של bb.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

פתרו: 3(x+2)=5x−43(x + 2) = 5x - 4

פותחים סוגריים: 3x+3x + ____ =5x−4= 5x - 4 , מעבירים אגפים: ____ =2x= 2x , ולכן x=x = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : פותחים סוגריים: 3x+3x + 6 =5x−4= 5x - 4 , מעבירים אגפים: 10 =2x= 2x , ולכן x=x = 5

Corrigé :

3x+6=5x−43x + 6 = 5x - 4

פותחים סוגריים

6+4=5x−3x6 + 4 = 5x - 3x

x לאגף אחד, מספרים לשני

10=2x⇒x=5\begin{aligned}10 &= 2x \Rightarrow x \\ &= 5\end{aligned}

מחלקים

בדיקה בהצבה: 3⋅7=213 \cdot 7 = 21 וגם 25−4=2125 - 4 = 21.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 21

מיינו את המשוואות לפי מספר הפתרונות:

  • שני פתרונות
  • אין פתרון
  • x2−2x−3=0x^2 - 2x - 3 = 0
  • x2−3x=0x^2 - 3x = 0
  • x2+1=0x^2 + 1 = 0
  • x2+2x+5=0x^2 + 2x + 5 = 0
  • x2=−4x^2 = -4
  • x2=16x^2 = 16
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x2=16x^2 = 16 — שני פתרונות · x2=−4x^2 = -4 — אין פתרון · x2−3x=0x^2 - 3x = 0 — שני פתרונות · x2+1=0x^2 + 1 = 0 — אין פתרון · x2+2x+5=0x^2 + 2x + 5 = 0 — אין פתרון · x2−2x−3=0x^2 - 2x - 3 = 0 — שני פתרונות

Corrigé :

x2=16⇒x=±4 ; x2−3x=0⇒x(x−3)=0\begin{aligned}x^2 &= 16 \Rightarrow x \\ &= \pm 4 \ ; \ x^2 - 3x \\ &= 0 \Rightarrow x(x - 3) \\ &= 0\end{aligned}

שני פתרונות

x2−2x−3=0: b2−4ac=4+12=16>0\begin{aligned}x^2 - 2x - 3 &= 0: \ b^2 - 4ac \\ &= 4 + 12 \\ &= 16 > 0\end{aligned}

שורש של מספר חיובי — שני פתרונות

x2=−4 ; x2=−1\begin{aligned}x^2 &= -4 \ ; \ x^2 \\ &= -1\end{aligned}

ריבוע אינו שלילי — אין פתרון

x2+2x+5=0: b2−4ac=4−20=−16<0\begin{aligned}x^2 + 2x + 5 &= 0: \ b^2 - 4ac \\ &= 4 - 20 \\ &= -16 < 0\end{aligned}

שורש של מספר שלילי — אין פתרון

מה שמתחת לשורש בנוסחה, b2−4acb^2 - 4ac, מחליט: חיובי — שני פתרונות, שלילי — אין פתרון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 22

מיינו את המערכות לפי מספר הפתרונות:

  • פתרון אחד
  • אין פתרון
  • 2x+2y=62x + 2y = 6 וגם x+y=7x + y = 7
  • x+y=5x + y = 5 וגם x−y=1x - y = 1
  • y=2x+1y = 2x + 1 וגם y=−x+4y = -x + 4
  • y=2x+1y = 2x + 1 וגם y=2x−3y = 2x - 3
  • y=3xy = 3x וגם y=3x+5y = 3x + 5
  • y=xy = x וגם y=−xy = -x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=2x+1y = 2x + 1 וגם y=2x−3y = 2x - 3 — אין פתרון · y=2x+1y = 2x + 1 וגם y=−x+4y = -x + 4 — פתרון אחד · y=3xy = 3x וגם y=3x+5y = 3x + 5 — אין פתרון · x+y=5x + y = 5 וגם x−y=1x - y = 1 — פתרון אחד · 2x+2y=62x + 2y = 6 וגם x+y=7x + y = 7 — אין פתרון · y=xy = x וגם y=−xy = -x — פתרון אחד

Corrigé :

m1≠m2m_1 \ne m_2

שיפועים שונים — הישרים נחתכים בנקודה אחת

m1=m2  b1≠b2\begin{aligned}m_1 &= m_2 \ \\ \ b_1 \ne b_2\end{aligned}

אותו שיפוע וישרים שונים — מקבילים, אין חיתוך

2x+2y=6⇒x+y=3\begin{aligned}2x + 2y &= 6 \Rightarrow x + y \\ &= 3\end{aligned}

אחרי חילוק ב-2: הסכום לא יכול להיות גם 3 וגם 7

הפתרון של מערכת הוא נקודת החיתוך. ישרים מקבילים לא נחתכים — ולכן אין פתרון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 23

סדרו את שלבי הפתרון של המשוואה x2+3x=10x^2 + 3x = 10:

  • (x+5)(x−2)=0(x + 5)(x - 2) = 0
  • x=−5x = -5 או x=2x = 2
  • x2+3x−10=0x^2 + 3x - 10 = 0
  • x2+3x=10x^2 + 3x = 10
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x2+3x=10x^2 + 3x = 10 · x2+3x−10=0x^2 + 3x - 10 = 0 · (x+5)(x−2)=0(x + 5)(x - 2) = 0 · x=−5x = -5 או x=2x = 2

Corrigé :

x2+3x−10=0x^2 + 3x - 10 = 0

קודם מסדרים לצורה שווה לאפס

(x+5)(x−2)=0(x + 5)(x - 2) = 0

אחר כך מפרקים

x=−5  x=2\begin{aligned}x &= -5 \ \\ \ x &= 2\end{aligned}

ובסוף כל גורם שווה לאפס

פירוק עובד רק כשבאגף אחד יש אפס. x(x+3)=10x(x + 3) = 10 לא אומר ש-x=10x = 10.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 24

התאימו לכל משוואה את הפתרונות שלה:

  • x2=25x^2 = 25
  • x2=5xx^2 = 5x
  • x2−10x+25=0x^2 - 10x + 25 = 0
  • x2+25=0x^2 + 25 = 0
  • x=0x = 0 או x=5x = 5
  • x=5x = 5 או x=−5x = -5
  • x=5x = 5 בלבד
  • אין פתרון
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x2=25x^2 = 25 — x=5x = 5 או x=−5x = -5 · x2=5xx^2 = 5x — x=0x = 0 או x=5x = 5 · x2−10x+25=0x^2 - 10x + 25 = 0 — x=5x = 5 בלבד · x2+25=0x^2 + 25 = 0 — אין פתרון

Corrigé :

x2=25⇒x=±5\begin{aligned}x^2 &= 25 \Rightarrow x \\ &= \pm 5\end{aligned}

שורש — שני פתרונות

x(x−5)=0x(x - 5) = 0

גורם משותף, בלי לחלק ב-x

(x−5)2=0(x - 5)^2 = 0

ריבוע שלם — פתרון אחד

x2=−25x^2 = -25

ריבוע אינו שלילי

ארבע משוואות שנראות דומות, ולכל אחת מספר פתרונות אחר.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe