Géométrie et trigonométrie de base

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

הגאומטריה של 3 יחידות מרוכזת כמעט כולה במשולש ישר הזווית — ושם יש שני כלים.

פיתגורס

a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

כאשר cc הוא היתר — הצלע שמול הזווית הישרה, והארוכה ביותר. שני האחרים הם הניצבים.

לזהות את היתר לפני שמציבים: הוא תמיד מול הזווית הישרה. הצבה הפוכה נותנת שורש ממספר שלילי — וזה הסימן שמשהו התחלף.

שלושת היחסים

נסמן: aa — הניצב שמול הזווית α\alpha, bb — הניצב שלידה, ו-cc — היתר.

sin⁡α=ac\sin \alpha = \frac{a}{c}

סינוס — הניצב שמול הזווית, חלקי היתר.

cos⁡α=bc\cos \alpha = \frac{b}{c}

קוסינוס — הניצב שליד הזווית, חלקי היתר.

tan⁡α=ab\tan \alpha = \frac{a}{b}

טנגנס — מול חלקי ליד, בלי יתר בכלל.

איזה יחס לבחור? לפי מה שנתון ומה שמבקשים. אם היתר לא מופיע בשאלה — כמעט תמיד טנגנס.

למצוא צלע

במשולש ישר זווית הזווית 30°30° והיתר 10. מהו הניצב שמולה?

sin⁡30°=a10\sin 30° = \frac{a}{10}

הניצב שמול הזווית, חלקי היתר

0.5=a100.5 = \frac{a}{10}

סינוס של 30 הוא חצי

a=5a = 5

כופלים

שטחים

S=a⋅bS = a \cdot b

מלבן.

S=a⋅h2S = \frac{a \cdot h}{2}

משולש — ובישר זווית, מכפלת הניצבים חלקי 2.

S=(a+b)⋅h2S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}

טרפז.

S=πr2S = \pi r^2

עיגול.

שתי הטעויות של הפרק.

c2=a2−b2c^2 = a^2 - b^2
a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

היתר הוא הסכום. מחסרים רק כשמחפשים ניצב חסר.

מצב מעלות במחשבון\text{מצב מעלות במחשבון}
DEGDEG

מחשבון במצב רדיאנים ייתן תשובות שגויות לגמרי. לבדוק לפני המבחן.

מהו שטח משולש שבסיסו 12 והגובה אליו 7?

Voir la réponse et le corrigé

42: 12⋅72\frac{12 \cdot 7}{2}. הגובה חייב להיות זה שנמדד אל אותו בסיס — לא צלע אחרת.

Exercices

Exercice 1

במשולש ישר זווית הניצבים 6 ו-8. מהו היתר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

36+64=10036 + 64 = 100

פיתגורס

c=10c = 10

שורש

היתר תמיד הארוך ביותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

היתר 13 וניצב אחד 5. מהו הניצב השני?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

169−25=144169 - 25 = 144

מחסרים — מחפשים ניצב

b=12b = 12

שורש

מחסרים רק כשמחפשים ניצב חסר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

זווית 30°30° והיתר 10. מהו הניצב שמול הזווית?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

sin⁡30°=0.5\sin 30° = 0.5

מול חלקי יתר

a=10×0.5=5\begin{aligned}a &= 10 \times 0.5 \\ &= 5\end{aligned}

כופלים

מול ויתר — סינוס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

בשאלה נתונים שני ניצבים ומבקשים זווית. איזה יחס?

  1. קוסינוס
  2. טנגנס
  3. סינוס
  4. פיתגורס
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B טנגנס

Corrigé :

tan⁡α=ab\tan \alpha = \frac{a}{b}

שני ניצבים, בלי יתר

אם היתר לא מופיע בשאלה — כמעט תמיד טנגנס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מהו שטח משולש ישר זווית שניצביו 6 ו-8?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 24

Corrigé :

6⋅82=24\frac{6 \cdot 8}{2} = 24

מכפלת הניצבים חלקי 2

כל ניצב הוא הגובה אל השני.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

במשולש ישר-זווית הניצבים 6 ו-8. מצאו את היתר.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

62+82=100=102\begin{aligned}6^2 + 8^2 &= 100 \\ &= 10^2\end{aligned}

פיתגורס

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מהו שטח המשולש ישר-הזווית שניצביו 6 ו-8?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 24

Corrigé :

6⋅82=24\frac{6 \cdot 8}{2} = 24

הניצבים הם בסיס וגובה

במשולש ישר-זווית לא צריך לחפש גובה — הניצבים כבר מאונכים זה לזה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

משולש ישר-זווית עם צלעות 6, 8, 10:

ההיקף הוא ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ההיקף הוא 24.

Corrigé :

6+8+10=246 + 8 + 10 = 24

סכום הצלעות

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

משולש שצלעותיו 7, 24, 25 הוא ישר-זווית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

72+242=2527^2 + 24^2 = 25^2

המשפט ההפוך

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

במשולש ישר-זווית — איזו צלע היא היתר?

  1. כל צלע יכולה להיות
  2. אחת משתי היוצאות מהזווית הישרה
  3. הקצרה ביותר
  4. זו שמול הזווית הישרה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D זו שמול הזווית הישרה

Corrigé :

מול 90∘\text{מול } 90^\circ

מול הזווית הגדולה — הצלע הגדולה

והארוכה ביותר

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

במשולש ישר זווית היתר 12 ס״מ, והזווית α=50°\alpha = 50°. מהו אורך הניצב שליד הזווית α\alpha, בס״מ? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7.71

Corrigé :

cos⁡50°=b12\cos 50° = \frac{b}{12}

הניצב שליד הזווית, חלקי היתר — קוסינוס

b=12⋅cos⁡50°≈12⋅0.6428b = 12 \cdot \cos 50° \approx 12 \cdot 0.6428

כופלים

b≈7.71b \approx 7.71

מעגלים

נתון היתר, ומבקשים את הניצב שליד — קוסינוס. הניצב יוצא קצר מהיתר, כמו שצריך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

במשולש ישר זווית היתר 15, והניצב שמול הזווית α\alpha הוא 9. מהי הזווית α\alpha, במעלות? (עגלו למספר שלם של מעלות)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 37

Corrigé :

sin⁡α=915=0.6\begin{aligned}\sin \alpha &= \frac{9}{15} \\ &= 0.6\end{aligned}

מול ויתר — סינוס

α=sin⁡−1(0.6)≈36.87°\alpha = \sin^{-1}(0.6) \approx 36.87°

במחשבון, במצב DEG

α≈37°\alpha \approx 37°

מעגלים

כשמבקשים זווית, מחשבים קודם את היחס, ואז לוחצים על הפונקציה ההפוכה במחשבון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

רמפה לכיסא גלגלים באורך 8 מטר עולה בזווית של 12°12° מעל הקרקע. לאיזה גובה היא מגיעה, במטרים? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.66

Corrigé :

sin⁡12°=h8\sin 12° = \frac{h}{8}

הרמפה היא היתר, והגובה מול הזווית — סינוס

h=8⋅sin⁡12°≈8⋅0.2079h = 8 \cdot \sin 12° \approx 8 \cdot 0.2079

כופלים

h≈1.66h \approx 1.66

מעגלים

הגובה והקרקע יוצרים זווית ישרה, ולכן הרמפה היא היתר של משולש ישר זווית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

גינה בצורת מלבן היא באורך 12 מטר וברוחב 8 מטר. באמצע הגינה בריכה עגולה ברדיוס 2 מטר, וכל השאר דשא. מהו שטח הדשא, במ״ר? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 83.43

Corrigé :

Sמלבן=12⋅8=96\begin{aligned}S_{\text{מלבן}} &= 12 \cdot 8 \\ &= 96\end{aligned}

שטח הגינה כולה

Sעיגול=π⋅22=4π≈12.57\begin{aligned}S_{\text{עיגול}} &= \pi \cdot 2^2 \\ &= 4\pi \approx 12.57\end{aligned}

שטח הבריכה

96−4π≈83.4396 - 4\pi \approx 83.43

מחסרים

שטח של צורה עם חור: השטח הגדול פחות השטח של החור.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

במלבן צלע אחת 9 ס״מ והאלכסון 15 ס״מ. מהו שטח המלבן, בסמ״ר?

  1. 67.567.5
  2. 135135
  3. 108108
  4. 5454
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 108108

Corrigé :

b2=152−92=225−81=144\begin{aligned}b^2 &= 15^2 - 9^2 \\ &= 225 - 81 \\ &= 144\end{aligned}

האלכסון הוא יתר במשולש ישר זווית — מחסרים

b=12b = 12

הצלע השנייה

S=9⋅12=108\begin{aligned}S &= 9 \cdot 12 \\ &= 108\end{aligned}

Aire (שטח) du rectangle (מלבן)

האלכסון איננו צלע של המלבן: קודם פיתגורס, ורק אז השטח.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

במשולש ישר זווית היתר 26 וניצב אחד 10. מחפשים את הניצב השני. שורה אחת שגויה — מצאו אותה:

c=26  a=10\begin{aligned}c &= 26 \ \\ \ a &= 10\end{aligned}
b2=262+102b^2 = 26^2 + 10^2
b2=676−100=576\begin{aligned}b^2 &= 676 - 100 \\ &= 576\end{aligned}
b=24b = 24
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : b2=262+102b^2 = 26^2 + 10^2 → b2=262−102b^2 = 26^2 - 10^2

Corrigé :

a2+b2=c2⇒b2=c2−a2\begin{aligned}a^2 + b^2 &= c^2 \Rightarrow b^2 \\ &= c^2 - a^2\end{aligned}

מחפשים ניצב — מחסרים

b2=676−100=576⇒b=24\begin{aligned}b^2 &= 676 - 100 \\ &= 576 \Rightarrow b \\ &= 24\end{aligned}

מכאן הכול נכון

בשורה השגויה הניצב היה יוצא ארוך מהיתר — וזה בלתי אפשרי. בדיקה: 100+576=676100 + 576 = 676.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

במשולש ישר זווית היתר 20 והזווית α=35°\alpha = 35°. מחפשים את הניצב שליד הזווית. שורה אחת שגויה — מצאו אותה:

c=20  α=35°\begin{aligned}c &= 20 \ \\ \ \alpha &= 35°\end{aligned}
sin⁡35°=b20\sin 35° = \frac{b}{20}
b=20⋅cos⁡35°b = 20 \cdot \cos 35°
b≈16.38b \approx 16.38
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : sin⁡35°=b20\sin 35° = \frac{b}{20} → cos⁡35°=b20\cos 35° = \frac{b}{20}

Corrigé :

cos⁡α=bc\cos \alpha = \frac{b}{c}

הניצב שליד הזווית, חלקי היתר — קוסינוס

b=20⋅cos⁡35°≈16.38b = 20 \cdot \cos 35° \approx 16.38

כופלים ומעגלים

סינוס הוא הניצב שמול הזווית חלקי היתר. עם סינוס היה יוצא 11.4711.47 — הניצב השני.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

במשולש ישר זווית הניצב שמול הזווית α\alpha הוא 6, הניצב שלידה 8, והיתר 10.

sin⁡α=\sin \alpha = ____ , cos⁡α=\cos \alpha = ____ , tan⁡α=\tan \alpha = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : sin⁡α=\sin \alpha = 0.6 , cos⁡α=\cos \alpha = 0.8 , tan⁡α=\tan \alpha = 0.75

Corrigé :

sin⁡α=610=0.6\begin{aligned}\sin \alpha &= \frac{6}{10} \\ &= 0.6\end{aligned}

מול חלקי יתר

cos⁡α=810=0.8\begin{aligned}\cos \alpha &= \frac{8}{10} \\ &= 0.8\end{aligned}

ליד חלקי יתר

tan⁡α=68=0.75\begin{aligned}\tan \alpha &= \frac{6}{8} \\ &= 0.75\end{aligned}

מול חלקי ליד

סינוס וקוסינוס תמיד קטנים מ-1, כי היתר הוא הצלע הארוכה ביותר. לטנגנס אין הגבלה כזו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

טרפז שבסיסיו 4 ס״מ ו-10 ס״מ וגובהו 6 ס״מ, ומשולש שבסיסו 10 ס״מ והגובה אליו 7 ס״מ.

שטח הטרפז הוא ____ סמ״ר, ושטח המשולש הוא ____ סמ״ר.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : שטח הטרפז הוא 42 סמ״ר, ושטח המשולש הוא 35 סמ״ר.

Corrigé :

S=(4+10)⋅62=42\begin{aligned}S &= \frac{(4 + 10) \cdot 6}{2} \\ &= 42\end{aligned}

טרפז — סכום הבסיסים כפול הגובה, חלקי 2

S=10⋅72=35\begin{aligned}S &= \frac{10 \cdot 7}{2} \\ &= 35\end{aligned}

משולש — בסיס כפול הגובה, חלקי 2

בשתי הנוסחאות מחלקים ב-2, ובשתיהן הגובה מאונך לבסיס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

במשולש ישר זווית, aa הוא הניצב שמול הזווית α\alpha, bb הניצב שלידה ו-cc היתר. β\beta היא הזווית החדה השנייה. מיינו: כל יחס הוא סינוס או קוסינוס של הזווית הרשומה לידו?

  • סינוס
  • קוסינוס
  • ac\frac{a}{c} — עבור α\alpha
  • ac\frac{a}{c} — עבור β\beta
  • bc\frac{b}{c} — עבור α\alpha
  • bc\frac{b}{c} — עבור β\beta
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ac\frac{a}{c} — עבור α\alpha — סינוס · bc\frac{b}{c} — עבור α\alpha — קוסינוס · bc\frac{b}{c} — עבור β\beta — סינוס · ac\frac{a}{c} — עבור β\beta — קוסינוס

Corrigé :

sin⁡α=ac  cos⁡α=bc\begin{aligned}\sin \alpha &= \frac{a}{c} \ \\ \ \cos \alpha &= \frac{b}{c}\end{aligned}

עבור α\alpha: aa מול, bb ליד

sin⁡β=bc  cos⁡β=ac\begin{aligned}\sin \beta &= \frac{b}{c} \ \\ \ \cos \beta &= \frac{a}{c}\end{aligned}

עבור β\beta התפקידים מתחלפים: bb מול, aa ליד

«מול» ו«ליד» תלויים בזווית שבוחרים. אותו יחס הוא סינוס של זווית אחת וקוסינוס של השנייה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 21

מיינו את שלשות הצלעות: האם המשולש ישר זווית?

  • ישר זווית
  • לא ישר זווית
  • 20, 21, 2920,\ 21,\ 29
  • 4, 5, 64,\ 5,\ 6
  • 5, 6, 85,\ 6,\ 8
  • 6, 8, 106,\ 8,\ 10
  • 8, 15, 178,\ 15,\ 17
  • 9, 12, 169,\ 12,\ 16
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8, 15, 178,\ 15,\ 17 — ישר זווית · 4, 5, 64,\ 5,\ 6 — לא ישר זווית · 20, 21, 2920,\ 21,\ 29 — ישר זווית · 9, 12, 169,\ 12,\ 16 — לא ישר זווית · 6, 8, 106,\ 8,\ 10 — ישר זווית · 5, 6, 85,\ 6,\ 8 — לא ישר זווית

Corrigé :

64+225=289  400+441=841  36+64=100\begin{aligned}64 + 225 &= 289 \ \\ \ 400 + 441 &= 841 \ \\ \ 36 + 64 &= 100\end{aligned}

שוויון — ישר זווית

16+25≠36 , 81+144≠256 , 25+36≠6416 + 25 \neq 36 \ , \ 81 + 144 \neq 256 \ , \ 25 + 36 \neq 64

אין שוויון — לא ישר זווית

בודקים אם ריבוע הצלע הארוכה שווה לסכום הריבועים של שתי האחרות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 22

במשולש ישר זווית הניצבים 7 ו-24, ומבקשים את הזווית α\alpha שמול הניצב 7. סדרו את שלבי הפתרון.

  • α≈16.3°\alpha \approx 16.3°
  • בוחרים טנגנס: tan⁡α=ab\tan \alpha = \frac{a}{b}
  • במחשבון, במצב DEG: α=tan⁡−1(724)\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{7}{24}\right)
  • מציבים: tan⁡α=724\tan \alpha = \frac{7}{24}
  • נתונים שני ניצבים, בלי יתר
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : נתונים שני ניצבים, בלי יתר · בוחרים טנגנס: tan⁡α=ab\tan \alpha = \frac{a}{b} · מציבים: tan⁡α=724\tan \alpha = \frac{7}{24} · במחשבון, במצב DEG: α=tan⁡−1(724)\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{7}{24}\right) · α≈16.3°\alpha \approx 16.3°

Corrigé :

tan⁡α=724\tan \alpha = \frac{7}{24}

מזהים מה נתון ובוחרים את היחס

α=tan⁡−1(724)≈16.3°\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{7}{24}\right) \approx 16.3°

פונקציה הפוכה במחשבון

קודם מזהים מה נתון, אחר כך בוחרים יחס, מציבים, ורק בסוף המחשבון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 23

התאימו כל צורה לשטח שלה

  • מלבן 4 על 6
  • משולש שבסיסו 6 והגובה אליו 4
  • טרפז שבסיסיו 4 ו-8 וגובהו 6
  • עיגול ברדיוס 2
  • 1212
  • 2424
  • 3636
  • 4π4\pi
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מלבן 4 על 6 — 2424 · משולש שבסיסו 6 והגובה אליו 4 — 1212 · טרפז שבסיסיו 4 ו-8 וגובהו 6 — 3636 · עיגול ברדיוס 2 — 4π4\pi

Corrigé :

4⋅6=244 \cdot 6 = 24

מלבן

6⋅42=12\frac{6 \cdot 4}{2} = 12

משולש

(4+8)⋅62=36\frac{(4 + 8) \cdot 6}{2} = 36

טרפז

π⋅22=4π\pi \cdot 2^2 = 4\pi

עיגול

למשולש ולמלבן אותם מספרים, אבל במשולש מחלקים ב-2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 24

במשולש ישר זווית יכול להיות sin⁡α=1.2\sin \alpha = 1.2.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

a<c⇒ac<1a < c \Rightarrow \frac{a}{c} < 1

ניצב קצר מהיתר

תוצאה גדולה מ-1 בסינוס או בקוסינוס היא סימן שהיתר הוצב במקום הלא נכון.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe