La fonction affine

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

כל ישר נקבע לגמרי בשני מספרים: mm ו-bb. שאר הפרק הוא רק דרכים שונות למצוא אותם.

y=mx+by = mx + b
m>0m > 0

הישר עולה.

m<0m < 0

הישר יורד.

m=0m = 0

קו אופקי.

bb

הגובה שבו הישר חותך את ציר ה-yy.

שיפוע משתי נקודות

m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

נקודות חיתוך עם הצירים

y=0y = 0

חיתוך עם ציר ה-xx — מציבים אפס במקום yy ופותרים.

x=0x = 0

חיתוך עם ציר ה-yy — מציבים אפס במקום xx, והתוצאה היא בדיוק bb.

חיתוך בין שני ישרים

משווים בין שתי המשוואות, מוצאים xx, ומציבים כדי לקבל yy. התשובה היא נקודה — זוג, לא מספר בודד.

ישרים מקבילים אם ורק אם יש להם אותו mm. אם בפתרון המערכת ה-xx מתבטל ונשאר משהו שקרי — זה בדיוק המצב, ואין פתרון.

שתי הטעויות של הישר.

m=y2−y1x1−x2m = \frac{y_2 - y_1}{x_1 - x_2}
y2−y1x2−x1\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

אותו סדר חיסור למעלה ולמטה, אחרת הסימן מתהפך.

נקודת חיתוך=3\text{נקודת חיתוך} = 3
(3, 7)(3,\, 7)

נקודה היא זוג. חייבים להציב ולמצוא גם את ה-yy.

הישר y=−3x+7y = -3x + 7 — מהו השיפוע ומה החיתוך עם ציר ה-yy?

Voir la réponse et le corrigé

שיפוע −3-3 (יורד), וחיתוך ב-(0,7)(0, 7). את החיתוך עם ציר ה-xx מוצאים בהצבת y=0y = 0.

Exercices

Exercice 1

מהו שיפוע הישר העובר דרך (1, 3)(1,\, 3) ו-(4, 12)(4,\, 12)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

m=12−34−1=3\begin{aligned}m &= \frac{12 - 3}{4 - 1} \\ &= 3\end{aligned}

הנוסחה

אותו סדר חיסור בשני הצדדים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

הישר y=3x−6y = 3x - 6 — איפה הוא חותך את ציר ה-xx?

  1. (0, 2)(0,\, 2)
  2. (0, −6)(0,\, -6)
  3. (2, 0)(2,\, 0)
  4. (−6, 0)(-6,\, 0)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C (2, 0)(2,\, 0)

Corrigé :

3x−6=03x - 6 = 0

מציבים y=0y = 0

x=2x = 2

On résout

החיתוך עם ציר ה-yy הוא (0, −6)(0,\,-6) — שאלה אחרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

איזה ישר מקביל ל-y=−2x+5y = -2x + 5?

  1. y=−2x−1y = -2x - 1
  2. y=−x+5y = -x + 5
  3. y=2x+5y = 2x + 5
  4. y=−2x+5y = -2x + 5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A y=−2x−1y = -2x - 1

Corrigé :

m1=m2=−2\begin{aligned}m_1 &= m_2 \\ &= -2\end{aligned}

אותו שיפוע

b1≠b2b_1 \neq b_2

ו-bb שונה

האחרון הוא הישר עצמו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מצאו את משוואת הישר ששיפועו 4 ועובר דרך (1, 6)(1,\, 6)

  1. y=4x−2y = 4x - 2
  2. y=4x+6y = 4x + 6
  3. y=4x+2y = 4x + 2
  4. y=x+6y = x + 6
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C y=4x+2y = 4x + 2

Corrigé :

6=4⋅1+b6 = 4 \cdot 1 + b

On remplace (מציבים)

b=2b = 2

מוצאים

בדיקה: 4+2=64 + 2 = 6.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מהו ה-bb של הישר העובר דרך (0, −4)(0,\, -4)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -4

Corrigé :

x=0⇒y=b\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= b\end{aligned}

זו ההגדרה של bb

נקודה עם x=0x = 0 נותנת את bb ישירות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מצאו את השיפוע של הישר העובר דרך (1,2)(1, 2) ו-(3,8)(3, 8):

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

m=8−23−1=3\begin{aligned}m &= \frac{8 - 2}{3 - 1} \\ &= 3\end{aligned}

הפרש גבהים חלקי הפרש מרחקים

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

לישר y=2x+3y = 2x + 3:

החיתוך עם ציר ה-y בגובה ____ , והערך של y כאשר x = 4 הוא ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : החיתוך עם ציר ה-y בגובה 3 , והערך של y כאשר x = 4 הוא 11.

Corrigé :

y(0)=3y(4)=11\begin{aligned}y(0) &= 3 \\ \quad y(4) &= 11\end{aligned}

b — ואז הצבה

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הישר y=−x+6y = -x + 6 הוא ישר יורד.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

m=−1<0m = -1 < 0

הסימן של השיפוע מכריע

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

איזה ישר עובר דרך הנקודה (0,5)(0, 5)?

  1. y=5xy = 5x
  2. y=2x+5y = 2x + 5
  3. y=x−5y = x - 5
  4. y=5x−2y = 5x - 2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B y=2x+5y = 2x + 5

Corrigé :

y(0)=b=5\begin{aligned}y(0) &= b \\ &= 5\end{aligned}

הנקודה על ציר ה-y היא הקבוע

ב-x = 0 נשאר רק ה-b — ורק בישר השלישי הוא 5.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

איפה הישר y=3x−9y = 3x - 9 חותך את ציר ה-x? (כתבו את ערך ה-x.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

3x−9=0  ⇒  x=3\begin{aligned}3x - 9 &= 0 \;\Rightarrow\; x \\ &= 3\end{aligned}

מציבים y = 0

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

הישרים y=2x−5y = 2x - 5 ו-y=−x+7y = -x + 7 נחתכים בנקודה אחת. מהו ה-yy של נקודת החיתוך?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

2x−5=−x+72x - 5 = -x + 7

משווים בין שתי המשוואות

3x=12⇒x=4\begin{aligned}3x &= 12 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

פותרים ומוצאים את xx

y=2⋅4−5=3\begin{aligned}y &= 2 \cdot 4 - 5 \\ &= 3\end{aligned}

מציבים באחד הישרים

נקודת החיתוך היא (4, 3)(4,\, 3). בדיקה בישר השני: −4+7=3-4 + 7 = 3.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

מהי משוואת הישר העובר דרך הנקודות (2, 7)(2,\, 7) ו-(5, 1)(5,\, 1)?

  1. y=−2x+11y = -2x + 11
  2. y=−0.5x+8y = -0.5x + 8
  3. y=−2x+7y = -2x + 7
  4. y=2x+3y = 2x + 3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A y=−2x+11y = -2x + 11

Corrigé :

m=1−75−2=−63=−2\begin{aligned}m &= \frac{1 - 7}{5 - 2} \\ &= \frac{-6}{3} \\ &= -2\end{aligned}

קודם השיפוע — אותו סדר חיסור למעלה ולמטה

7=−2⋅2+b7 = -2 \cdot 2 + b

מציבים את הנקודה (2, 7)(2,\, 7)

b=11b = 11

מוצאים את bb

בדיקה בנקודה השנייה: −2⋅5+11=1-2 \cdot 5 + 11 = 1. את השיפוע −0.5-0.5 מקבל מי שמחלק את הפרש ה-xx בהפרש ה-yy — הפוך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

בתוכנית סלולר א משלמים 30 ש״ח לחודש ועוד 0.5 ש״ח לכל דקת שיחה. בתוכנית ב משלמים 80 ש״ח לחודש ועוד 0.1 ש״ח לכל דקה. אחרי כמה דקות שיחה בחודש שתי התוכניות עולות אותו מחיר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 125

Corrigé :

y=0.5x+30  y=0.1x+80\begin{aligned}y &= 0.5x + 30 \ \\ \ y &= 0.1x + 80\end{aligned}

xx — דקות, yy — מחיר בש״ח. שני ישרים

0.5x+30=0.1x+800.5x + 30 = 0.1x + 80

אותו מחיר — משווים

0.4x=50⇒x=125\begin{aligned}0.4x &= 50 \Rightarrow x \\ &= 125\end{aligned}

On résout

אחרי 125 דקות שתי התוכניות עולות 92.5 ש״ח. מעבר לזה תוכנית ב זולה יותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

הישר y=−2x+8y = -2x + 8 ושני הצירים יוצרים משולש. מהו שטח המשולש?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 16

Corrigé :

−2x+8=0⇒x=4\begin{aligned}-2x + 8 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-xx: הנקודה (4, 0)(4,\, 0)

x=0⇒y=8\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= 8\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-yy: הנקודה (0, 8)(0,\, 8)

S=4⋅82=16\begin{aligned}S &= \frac{4 \cdot 8}{2} \\ &= 16\end{aligned}

משולש ישר זווית — מכפלת הניצבים חלקי 2

שני הניצבים של המשולש יושבים על הצירים, ואורכם הוא המרחק של נקודות החיתוך מהראשית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

במיכל יש 600 ליטר מים, ובכל דקה יוצאים ממנו 25 ליטר. כמות המים במיכל אחרי xx דקות היא y=−25x+600y = -25x + 600. אחרי כמה דקות המיכל מתרוקן?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 24

Corrigé :

−25x+600=0-25x + 600 = 0

מיכל ריק — מציבים y=0y = 0

25x=600⇒x=24\begin{aligned}25x &= 600 \Rightarrow x \\ &= 24\end{aligned}

On résout

זו נקודת החיתוך עם ציר ה-xx: (24, 0)(24,\, 0). ה-bb, כלומר 600, הוא הכמות בהתחלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

מחפשים את משוואת הישר ששיפועו −3-3 ועובר דרך (2, 4)(2,\, 4). שורה אחת שגויה — מצאו אותה:

y=−3x+by = -3x + b
4=−3⋅2+b4 = -3 \cdot 2 + b
4=−6+b4 = -6 + b
b=−2b = -2
y=−3x+10y = -3x + 10
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : b=−2b = -2 → b=10b = 10

Corrigé :

4=−6+b⇒b=4+6\begin{aligned}4 &= -6 + b \Rightarrow b \\ &= 4 + 6\end{aligned}

מעבירים את −6-6 לצד השני — והסימן מתהפך

b=10b = 10

ולא 4−64 - 6

בדיקה: −3⋅2+10=4-3 \cdot 2 + 10 = 4. עם b=−2b = -2 הישר היה עובר ב-(2, −8)(2,\, -8).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

מחפשים את נקודת החיתוך של y=4x−3y = 4x - 3 ו-y=x+9y = x + 9. שורה אחת שגויה — מצאו אותה:

4x−3=x+94x - 3 = x + 9
4x−x=9−34x - x = 9 - 3
3x=123x = 12
x=4x = 4
y=4+9=13\begin{aligned}y &= 4 + 9 \\ &= 13\end{aligned}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4x−x=9−34x - x = 9 - 3 → 4x−x=9+34x - x = 9 + 3

Corrigé :

−3→+3-3 \to +3

מעבירים את −3-3 אגף — והסימן מתהפך

3x=12⇒x=4\begin{aligned}3x &= 12 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

מכאן הכול נכון

(4, 13)(4,\, 13)

נקודת החיתוך

בדיקה בישר הראשון: 4⋅4−3=134 \cdot 4 - 3 = 13.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

מחשבים את שיפוע הישר העובר דרך (1, 2)(1,\, 2) ו-(3, 10)(3,\, 10). שורה אחת שגויה — מצאו אותה:

(x1, y1)=(1, 2)  (x2, y2)=(3, 10)\begin{aligned}(x_1,\, y_1) &= (1,\, 2) \ \\ \ (x_2,\, y_2) &= (3,\, 10)\end{aligned}
m=3−110−2m = \frac{3 - 1}{10 - 2}
m=82m = \frac{8}{2}
m=4m = 4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : m=3−110−2m = \frac{3 - 1}{10 - 2} → m=10−23−1m = \frac{10 - 2}{3 - 1}

Corrigé :

m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

הפרש ה-yy במונה, הפרש ה-xx במכנה

m=10−23−1=82=4\begin{aligned}m &= \frac{10 - 2}{3 - 1} \\ &= \frac{8}{2} \\ &= 4\end{aligned}

On remplace (מציבים)

בשורה השגויה המונה והמכנה התחלפו, והיא נותנת 14\frac{1}{4} במקום 4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

לישר y=−4x+12y = -4x + 12:

החיתוך עם ציר ה-x הוא ( ____ , 0 ), והחיתוך עם ציר ה-y הוא ( 0 , ____ ).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : החיתוך עם ציר ה-x הוא ( 3 , 0 ), והחיתוך עם ציר ה-y הוא ( 0 , 12 ).

Corrigé :

−4x+12=0⇒x=3\begin{aligned}-4x + 12 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

ציר ה-xx: מציבים y=0y = 0

x=0⇒y=12\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= 12\end{aligned}

ציר ה-yy: מציבים x=0x = 0, ויוצא בדיוק bb

שתי נקודות החיתוך הן (3, 0)(3,\, 0) ו-(0, 12)(0,\, 12).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

מצאו את נקודת החיתוך של הישרים y=2x−1y = 2x - 1 ו-y=−3x+9y = -3x + 9.

נקודת החיתוך היא ( ____ , ____ ).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : נקודת החיתוך היא ( 2 , 3 ).

Corrigé :

2x−1=−3x+92x - 1 = -3x + 9

משווים

5x=10⇒x=2\begin{aligned}5x &= 10 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

On résout

y=2⋅2−1=3\begin{aligned}y &= 2 \cdot 2 - 1 \\ &= 3\end{aligned}

מציבים ומוצאים גם את yy

בדיקה בישר השני: −3⋅2+9=3-3 \cdot 2 + 9 = 3. התשובה היא זוג — (2, 3)(2,\, 3).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 21

מיינו את הישרים: עולה או יורד?

  • עולה
  • יורד
  • y=−0.5x+4y = -0.5x + 4
  • y=−5x−2y = -5x - 2
  • y=13xy = \frac{1}{3}x
  • y=2x−7y = 2x - 7
  • y=3−xy = 3 - x
  • y=6+4xy = 6 + 4x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=2x−7y = 2x - 7 — עולה · y=−0.5x+4y = -0.5x + 4 — יורד · y=3−xy = 3 - x — יורד · y=13xy = \frac{1}{3}x — עולה · y=−5x−2y = -5x - 2 — יורד · y=6+4xy = 6 + 4x — עולה

Corrigé :

m>0: 2, 13, 4m > 0: \ 2 ,\ \frac{1}{3} ,\ 4

שיפוע חיובי — הישר עולה

m<0: −0.5, −1, −5m < 0: \ -0.5 ,\ -1 ,\ -5

שיפוע שלילי — הישר יורד

רק הסימן של המקדם של xx מכריע, גם כשהוא כתוב אחרי המספר החופשי, כמו ב-y=3−xy = 3 - x. ה-bb לא משנה את הכיוון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 22

מיינו את הישרים: מקבילים לישר y=2x+3y = 2x + 3 או לא?

  • מקביל
  • לא מקביל
  • y=−2x+3y = -2x + 3
  • y=0.5x+3y = 0.5x + 3
  • y=2x−4y = 2x - 4
  • y=2xy = 2x
  • y=3x+2y = 3x + 2
  • y=7+2xy = 7 + 2x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=2x−4y = 2x - 4 — מקביל · y=−2x+3y = -2x + 3 — לא מקביל · y=2xy = 2x — מקביל · y=3x+2y = 3x + 2 — לא מקביל · y=0.5x+3y = 0.5x + 3 — לא מקביל · y=7+2xy = 7 + 2x — מקביל

Corrigé :

m=2m = 2

מקבילים: אותו שיפוע ו-bb אחר

m=−2 3 0.5\begin{aligned}m &= -2 \\ \ 3 \\ \ 0.5\end{aligned}

שיפוע אחר — הישרים נחתכים

אותו bb לא עושה ישרים מקבילים: y=−2x+3y = -2x + 3 חותך את y=2x+3y = 2x + 3 בדיוק בנקודה (0, 3)(0,\, 3).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 23

סדרו את שורות הפתרון שמוצא את נקודת החיתוך של y=x+2y = x + 2 ו-y=−x+6y = -x + 6.

  • 2x=42x = 4
  • x+2=−x+6x + 2 = -x + 6
  • x=2x = 2
  • y=2+2=4y = 2 + 2 = 4
  • נקודת החיתוך היא (2, 4)(2,\, 4)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x+2=−x+6x + 2 = -x + 6 · 2x=42x = 4 · x=2x = 2 · y=2+2=4y = 2 + 2 = 4 · נקודת החיתוך היא (2, 4)(2,\, 4)

Corrigé :

x+2=−x+6x + 2 = -x + 6

משווים בין שתי המשוואות

2x=4⇒x=2\begin{aligned}2x &= 4 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

On résout

y=4⇒(2, 4)y = 4 \Rightarrow (2,\, 4)

מציבים, ורושמים זוג

משווים, פותרים, מציבים — והתשובה היא נקודה, לא מספר בודד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 24

התאימו כל ישר לתיאור שלו

  • y=3y = 3
  • y=−2x+1y = -2x + 1
  • y=2x+1y = 2x + 1
  • y=2x−1y = 2x - 1
  • יורד, חותך את ציר ה-yy ב-(0, 1)(0,\, 1)
  • עולה, חותך את ציר ה-yy ב-(0, −1)(0,\, -1)
  • עולה, חותך את ציר ה-yy ב-(0, 1)(0,\, 1)
  • קו אופקי
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=3y = 3 — קו אופקי · y=−2x+1y = -2x + 1 — יורד, חותך את ציר ה-yy ב-(0, 1)(0,\, 1) · y=2x+1y = 2x + 1 — עולה, חותך את ציר ה-yy ב-(0, 1)(0,\, 1) · y=2x−1y = 2x - 1 — עולה, חותך את ציר ה-yy ב-(0, −1)(0,\, -1)

Corrigé :

m=0m = 0

y=3y = 3 — אין xx, קו אופקי

m<0  b=1\begin{aligned}m < 0 \ \\ \ b &= 1\end{aligned}

y=−2x+1y = -2x + 1 — יורד

m>0  b=±1\begin{aligned}m > 0 \ \\ \ b &= \pm 1\end{aligned}

שני הישרים העולים נבדלים רק ב-bb

mm קובע את הכיוון, ו-bb קובע איפה הישר חותך את ציר ה-yy.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe