Statistiques et probabilités

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שני נושאים בפרק אחד, ושניהם נותנים נקודות קלות בבגרות אם השיטה מסודרת.

שלושת המדדים

xˉ\bar{x}

ממוצע — סכום חלקי כמות. מושפע מכל ערך, כולל חריגים.

MeMe

חציון — הערך האמצעי אחרי סידור. חסין לערכים חריגים.

MoMo

שכיח — הערך שחוזר הכי הרבה.

לפני שמחפשים חציון — מסדרים את הנתונים. וכשמספר הנתונים זוגי, החציון הוא ממוצע שני האמצעיים.

הסתברות

P=knP = \frac{k}{n}

כאשר kk הוא מספר המקרים הרצויים ו-nn הוא מספר המקרים האפשריים.

ההסתברות היא תמיד מספר בין 0 ל-1. אם יצאה גדולה מ-1 — יש טעות, בלי לבדוק כלום נוסף.

שתי מילים שקובעות הכול

×\times

«וגם» — שני אירועים שקורים יחד. מכפילים.

++

«או» — אחד או השני. מחברים.

שתי טיסות

ההסתברות לטוס לארצות הברית היא 15\frac{1}{5}, ולדובאי 17\frac{1}{7}.

15×17=135\frac{1}{5} \times \frac{1}{7} = \frac{1}{35}

לטוס לשתיהן — «וגם»

15+17=1235\frac{1}{5} + \frac{1}{7} = \frac{12}{35}

לטוס לאחת מהן — «או»

שימו לב לכיוון: ה«וגם» יוצא קטן משניהם (קשה יותר ששניהם יקרו), וה«או» יוצא גדול משניהם. זו בדיקת היגיון מיידית.

שתי הטעויות של הפרק.

חציון של 9, 4, 7\text{חציון של } 9,\ 4,\ 7
קודם לסדר: 4, 7, 9\text{קודם לסדר: } 4,\ 7,\ 9

החציון הוא 7, ולא 4. בלי סידור אין חציון.

P=1.4P = 1.4
0≤P≤10 \leq P \leq 1

הסתברות לעולם אינה גדולה מ-1.

בנתונים 4, 5, 5, 6, 60 — הממוצע או החציון מייצג טוב יותר?

Voir la réponse et le corrigé

החציון (5). הממוצע 16 נגרר אחרי ה-60 החריג. ערך קיצוני מזיז ממוצע, לא חציון.

Exercices

Exercice 1

מהו הממוצע של 4, 6, 8, 10?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

28:4=728 : 4 = 7

סכום חלקי כמות

בין 4 ל-10 — הגיוני.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהו החציון של 9, 4, 7?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

4, 7, 94,\ 7,\ 9

קודם מסדרים

77

האמצעי

בלי סידור אין חציון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהו החציון של 2, 4, 6, 10?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

(4+6):2=5(4 + 6) : 2 = 5

מספר זוגי — ממוצע שני האמצעיים

החציון לא חייב להיות אחד הנתונים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הסתברות לטוס לארה״ב 15\frac{1}{5}, לדובאי 17\frac{1}{7}. מהי ההסתברות לטוס לשתיהן? כתבו את המכנה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 35

Corrigé :

15×17=135\frac{1}{5} \times \frac{1}{7} = \frac{1}{35}

«וגם» — כפל

התוצאה קטנה משתיהן — קשה יותר ששניהם יקרו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

איזו הסתברות אינה אפשרית?

  1. 11
  2. 1.41.4
  3. 00
  4. 0.750.75
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 1.41.4

Corrigé :

0≤P≤10 \leq P \leq 1

התחום

הסתברות גדולה מ-1 היא סימן ודאי לטעות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

חשבו את הממוצע של הציונים 4, 7, 9, 12, 8:

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

4+7+9+12+85=405=8\begin{aligned}\frac{4+7+9+12+8}{5} &= \frac{40}{5} \\ &= 8\end{aligned}

סכום חלקי כמות

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מהו החציון של 3, 9, 5, 7, 11?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

3,5,7,9,113, 5, \mathbf{7}, 9, 11

ממיינים — ולוקחים את האמצעי

החציון דורש מיון קודם. בלי מיון, ה-5 שבאמצע הרשימה מטעה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

ברשימה 2, 5, 5, 5, 8, 9 — מהו השכיח?

  1. 5
  2. 8
  3. 9
  4. 2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 5

Corrigé :

5,5,55, 5, 5

הערך שמופיע הכי הרבה

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

ברשימה 3, 6, 8, 11:

הטווח הוא הגדול פחות הקטן: ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הטווח הוא הגדול פחות הקטן: 8.

Corrigé :

11−3=811 - 3 = 8

טווח — מרחק הקצוות

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

אם מוסיפים לרשימה ערך אחד גדול מאוד, הממוצע משתנה — אבל החציון כמעט לא זז.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

1,1,1,1,100\text{1,1,1,1,100}

ממוצע 20.8 — חציון 1

זו הסיבה שמדווחים שכר חציוני: עשיר אחד לא מזיז אותו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

בכיתה 25 תלמידים, והממוצע שלהם במבחן היה 72. חמישה תלמידים שהיו חולים נבחנו מאוחר יותר, והממוצע שלהם היה 84. מהו הממוצע של כל 30 התלמידים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 74

Corrigé :

25⋅72=180025 \cdot 72 = 1800

סכום הציונים של הקבוצה הראשונה

5⋅84=4205 \cdot 84 = 420

סכום הציונים של הקבוצה השנייה

xˉ=1800+42030=222030=74\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{1800 + 420}{30} \\ &= \frac{2220}{30} \\ &= 74\end{aligned}

סכום כולל חלקי מספר כולל

לא מחשבים 72+842=78\frac{72 + 84}{2} = 78: בקבוצה הראשונה יש הרבה יותר תלמידים, ולכן היא «מושכת» את הממוצע אליה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

אלה הציונים של 10 תלמידים: 65, 80, 72, 90, 55, 80, 68, 95, 74, 80. מהו החציון?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 77

Corrigé :

55, 65, 68, 72, 74, 80, 80, 80, 90, 9555,\ 65,\ 68,\ 72,\ \mathbf{74},\ \mathbf{80},\ 80,\ 80,\ 90,\ 95

קודם מסדרים

Me=74+802=77\begin{aligned}Me &= \frac{74 + 80}{2} \\ &= 77\end{aligned}

10 נתונים — ממוצע של הנתון החמישי והנתון השישי

מספר הנתונים זוגי, ולכן יש שני אמצעיים. החציון 77 אינו אחד הציונים, וזה בסדר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

בקופסה 5 כדורים אדומים, 7 כדורים כחולים ו-8 כדורים ירוקים. מוציאים כדור אחד באקראי. מהי ההסתברות שהכדור אינו כחול?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.65

Corrigé :

n=5+7+8=20\begin{aligned}n &= 5 + 7 + 8 \\ &= 20\end{aligned}

כל המקרים האפשריים

k=5+8=13\begin{aligned}k &= 5 + 8 \\ &= 13\end{aligned}

המקרים הרצויים: אדום או ירוק

P=1320=0.65\begin{aligned}P &= \frac{13}{20} \\ &= 0.65\end{aligned}

רצויים חלקי אפשריים

אפשר גם בדרך המשלים: ההסתברות לכחול היא 720=0.35\frac{7}{20} = 0.35, ו-1−0.35=0.651 - 0.35 = 0.65.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

במפעל שתי מכונות שפועלות באופן בלתי תלוי. ההסתברות שמכונה A תקינה היא 0.9, וההסתברות שמכונה B תקינה היא 0.8. מהי ההסתברות ששתי המכונות תקינות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.72

Corrigé :

P=0.9×0.8P = 0.9 \times 0.8

«וגם» — מכפילים

=0.72= 0.72

התוצאה קטנה משתי ההסתברויות

קשה יותר ששתי המכונות יהיו תקינות מאשר שאחת מהן תהיה תקינה, ולכן התוצאה קטנה מ-0.8 ומ-0.9.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

בשקית 4 סוכריות בטעם תות, 6 בטעם לימון ו-10 בטעם מנטה. מוציאים סוכרייה אחת באקראי. מהי ההסתברות שהיא בטעם תות או בטעם לימון?

  1. 0.060.06
  2. 0.50.5
  3. 0.20.2
  4. 0.30.3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 0.50.5

Corrigé :

P(תות)=420 P(לימון)=620\begin{aligned}P(\text{תות}) &= \frac{4}{20} \\ \ P(\text{לימון}) &= \frac{6}{20}\end{aligned}

ההסתברות של כל טעם

420+620=1020=0.5\begin{aligned}\frac{4}{20} + \frac{6}{20} &= \frac{10}{20} \\ &= 0.5\end{aligned}

«או» — מחברים

סוכרייה אחת לא יכולה להיות גם תות וגם לימון, ולכן מחברים. התשובה 0.060.06 היא מכפלה — הטעות של «או».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

מצאו את החציון של הנתונים 12, 5, 9, 3, 7. שורה אחת בפתרון שגויה — מצאו אותה:

5 נתונים⇒החציון הוא הנתון השלישי5 \text{ נתונים} \Rightarrow \text{החציון הוא הנתון השלישי}
12, 5, 9, 3, 712,\ 5,\ \mathbf{9},\ 3,\ 7
Me=7Me = 7
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12, 5, 9, 3, 712,\ 5,\ \mathbf{9},\ 3,\ 7 → 3, 5, 7, 9, 123,\ 5,\ \mathbf{7},\ 9,\ 12

Corrigé :

3, 5, 7, 9, 123,\ 5,\ 7,\ 9,\ 12

קודם מסדרים מהקטן לגדול

Me=7Me = 7

הנתון השלישי ברשימה המסודרת

השורה השנייה לוקחת את האמצעי של הרשימה כפי שנכתבה, בלי לסדר. בלי סידור אין חציון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

במרוץ ההסתברות שדני יגיע ראשון היא 0.2, וההסתברות שיוסי יגיע ראשון היא 0.3. מהי ההסתברות שאחד משניהם יגיע ראשון? שורה אחת בפתרון שגויה — מצאו אותה:

שניהם לא יכולים להגיע ראשונים יחד\text{שניהם לא יכולים להגיע ראשונים יחד}
P=0.2×0.3P = 0.2 \times 0.3
P=0.5P = 0.5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : P=0.2×0.3P = 0.2 \times 0.3 → P=0.2+0.3P = 0.2 + 0.3

Corrigé :

P=0.2+0.3P = 0.2 + 0.3

«או» — מחברים

P=0.5P = 0.5

התוצאה גדולה משתי ההסתברויות

השאלה היא דני או יוסי, ולכן מחברים. המכפלה 0.06 קטנה משתיהן — זו התוצאה של «וגם», ובדיקת ההיגיון מגלה את הטעות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

הנתונים: 4, 9, 5, 9, 10, 3, 9, 7. השלימו:

השכיח הוא ____, החציון הוא ____, והממוצע הוא ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : השכיח הוא 9, החציון הוא 8, והממוצע הוא 7.

Corrigé :

3, 4, 5, 7, 9, 9, 9, 103,\ 4,\ 5,\ 7,\ 9,\ 9,\ 9,\ 10

מסדרים

Mo=9Mo = 9

9 מופיע שלוש פעמים

Me=7+92=8\begin{aligned}Me &= \frac{7 + 9}{2} \\ &= 8\end{aligned}

8 נתונים — ממוצע של הרביעי ושל החמישי

xˉ=568=7\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{56}{8} \\ &= 7\end{aligned}

סכום חלקי כמות

שלושה מדדים, שלוש תשובות שונות לאותם נתונים. כל מדד עונה על שאלה אחרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

ההסתברות שיירד גשם ביום ראשון היא 0.3, וההסתברות שיירד גשם ביום שני היא 0.4. אין קשר בין שני הימים. השלימו:

ההסתברות שלא יירד גשם ביום ראשון היא ____, ושלא יירד גשם ביום שני היא ____. ההסתברות שלא יירד גשם באף אחד משני הימים היא ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ההסתברות שלא יירד גשם ביום ראשון היא 0.7, ושלא יירד גשם ביום שני היא 0.6. ההסתברות שלא יירד גשם באף אחד משני הימים היא 0.42.

Corrigé :

1−0.3=0.71 - 0.3 = 0.7

המשלים של גשם ביום ראשון

1−0.4=0.61 - 0.4 = 0.6

המשלים של גשם ביום שני

0.7×0.6=0.420.7 \times 0.6 = 0.42

יבש ביום ראשון «וגם» ביום שני — מכפילים

«באף אחד מהימים» פירושו יבש ביום הראשון וגם יבש ביום השני. לכן מכפילים את שתי ההסתברויות המשלימות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

מיינו את השאלות לפי הפעולה שמחשבת את ההסתברות.

  • מכפילים («וגם»)
  • מחברים («או»)
  • מוציאים כדור אחד מקופסה: הכדור אדום או כחול
  • מטילים מטבע וקובייה: «עץ» במטבע וגם מספר זוגי בקובייה
  • מטילים קובייה אחת: יוצא 1 או יוצא 2
  • מטילים קובייה פעמיים: 6 בשתי ההטלות
  • שני תלמידים נבחנים באופן בלתי תלוי: שניהם עוברים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מטילים קובייה פעמיים: 6 בשתי ההטלות — מכפילים («וגם») · מוציאים כדור אחד מקופסה: הכדור אדום או כחול — מחברים («או») · מטילים מטבע וקובייה: «עץ» במטבע וגם מספר זוגי בקובייה — מכפילים («וגם») · מטילים קובייה אחת: יוצא 1 או יוצא 2 — מחברים («או») · שני תלמידים נבחנים באופן בלתי תלוי: שניהם עוברים — מכפילים («וגם»)

Corrigé :

×\times

שני מאורעות שקורים יחד: שתי הטלות, מטבע וקובייה, שני תלמידים

++

תוצאה אחת מתוך כמה תוצאות שלא יכולות לקרות יחד: צבע של כדור אחד, מספר בהטלה אחת

שואלים: האם צריך ששני הדברים יקרו (וגם), או שמספיק שאחד מהם יקרה (או)?

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 21

בנתונים 2, 4, 4, 7, 9 מחליפים את 9 ב-30. מיינו את המדדים: אילו משתנים ואילו לא?

  • משתנה
  • לא משתנה
  • החציון
  • הטווח
  • הממוצע
  • השכיח
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הממוצע — משתנה · החציון — לא משתנה · השכיח — לא משתנה · הטווח — משתנה

Corrigé :

xˉ:5.2→9.4, טווח:7→28\bar{x}: 5.2 \to 9.4,\ \text{טווח}: 7 \to 28

הממוצע והטווח משתמשים בערך הגדול — הם משתנים

Me=4 Mo=4\begin{aligned}Me &= 4 \\ \ Mo &= 4\end{aligned}

האמצעי והערך שחוזר לא זזים

ערך קיצוני מזיז את הממוצע ואת הטווח. החציון והשכיח לא מושפעים ממנו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 22

מיינו את המספרים: איזה מהם יכול להיות הסתברות?

  • הסתברות אפשרית
  • לא ייתכן
  • −0.2-0.2
  • 38\frac{3}{8}
  • 75\frac{7}{5}
  • 0.070.07
  • 1.051.05
  • 11
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.070.07 — הסתברות אפשרית · 75\frac{7}{5} — לא ייתכן · −0.2-0.2 — לא ייתכן · 11 — הסתברות אפשרית · 38\frac{3}{8} — הסתברות אפשרית · 1.051.05 — לא ייתכן

Corrigé :

0≤P≤10 \leq P \leq 1

ההסתברות היא תמיד בין 0 ל-1

75=1.4>1 1.05>1 −0.2<0\begin{aligned}\frac{7}{5} &= 1.4 > 1 \\ \ 1.05 > 1 \\ \ -0.2 < 0\end{aligned}

מחוץ לתחום — לא ייתכן

הסתברות 1 היא מאורע ודאי, והיא אפשרית. שבר שהמונה שלו גדול מהמכנה גדול מ-1, ולכן אינו הסתברות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 23

מטילים קובייה רגילה פעם אחת. התאימו לכל מאורע את ההסתברות שלו.

  • יוצא מספר זוגי
  • יוצא מספר גדול מ-4
  • יוצא 6
  • יוצא מספר קטן מ-7
  • יוצא 7
  • 12\frac{1}{2}
  • 13\frac{1}{3}
  • 16\frac{1}{6}
  • 00
  • 11
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : יוצא מספר זוגי — 12\frac{1}{2} · יוצא מספר גדול מ-4 — 13\frac{1}{3} · יוצא 6 — 16\frac{1}{6} · יוצא מספר קטן מ-7 — 11 · יוצא 7 — 00

Corrigé :

36=12\frac{3}{6} = \frac{1}{2}

זוגי: 2, 4, 6

26=13\frac{2}{6} = \frac{1}{3}

גדול מ-4: 5, 6

66=1 06=0\begin{aligned}\frac{6}{6} &= 1 \\ \ \frac{0}{6} &= 0\end{aligned}

כל התוצאות קטנות מ-7, ואף אחת אינה 7

בכל מאורע סופרים את המקרים הרצויים ומחלקים ב-6, מספר המקרים האפשריים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 24

הנתונים: 2, 2, 3, 5, 6, 24. סדרו את הערכים מהקטן לגדול.

  • החציון
  • הטווח
  • הממוצע
  • הנתון הגדול ביותר
  • השכיח
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : השכיח · החציון · הממוצע · הטווח · הנתון הגדול ביותר

Corrigé :

Mo=2Mo = 2

2 מופיע פעמיים

Me=3+52=4\begin{aligned}Me &= \frac{3 + 5}{2} \\ &= 4\end{aligned}

ממוצע של שני האמצעיים

xˉ=426=7\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{42}{6} \\ &= 7\end{aligned}

סכום חלקי כמות

24−2=2224 - 2 = 22

הטווח

2424

הנתון הגדול ביותר

הנתון החריג 24 מושך את הממוצע למעלה, הרחק מהחציון. הטווח קטן מהנתון הגדול ביותר, כי מחסירים ממנו את הקטן.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe