Factorisation et fractions algébriques

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ב-4 יחידות כמעט כל תרגיל אלגברי מתחיל באותו צעד: פירוק לגורמים. בלעדיו אי אפשר לצמצם, לפתור משוואה ריבועית או אי-שוויון, ולא למצוא תחום הגדרה. לפני הכללים, הסתכלו על הלבנים: מה נמצא בשתי הערמות?

שלוש דרכי פירוק

ab+ac=a(b+c)ab + ac = a(b + c)

גורם משותף — תמיד בודקים אותו ראשון.

a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

הפרש ריבועים — מזהים לפי המינוס בין שני ריבועים.

x2+bx+c=(x+p)(x+q)x^2 + bx + c = (x+p)(x+q)

טרינום — מחפשים שני מספרים שמכפלתם cc וסכומם bb.

פרקו לגורמים: 5x2−20x5x^2 - 20x

Voir la réponse et le corrigé

הגורם המשותף הוא 5x5x: 5x2−20x=5x(x−4)5x^2 - 20x = 5x(x - 4). בדיקה בפתיחת סוגריים: 5x⋅x−5x⋅45x \cdot x - 5x \cdot 4 ✓

סדר עבודה קבוע: קודם גורם משותף, ורק אחר כך זהות או טרינום. ב-2x2−82x^2 - 8 מוציאים 22 ומקבלים 2(x2−4)2(x^2 - 4), ורק אז הפרש ריבועים: 2(x−2)(x+2)2(x-2)(x+2).

טרינום — שני מספרים, מכפלה וסכום

פירוק מלא, שלב אחרי שלב

פרקו לגורמים: 3x2−12x+123x^2 - 12x + 12.

3(x2−4x+4)3(x^2 - 4x + 4)

קודם גורם משותף 33

x2−4x+4=(x−2)2x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2

זהות: a2−2ab+b2a^2 - 2ab + b^2 עם a=xa = x, b=2b = 2

3(x−2)23(x - 2)^2

הפירוק המלא

3(x2−4x+4)=3x2−12x+123(x^2 - 4x + 4) = 3x^2 - 12x + 12

בדיקה בפתיחת סוגריים ✓

פרקו לגורמים: x2+2x−15x^2 + 2x - 15

Voir la réponse et le corrigé

מכפלה −15-15, סכום 22: המספרים הם 55 ו-−3-3. לכן (x+5)(x−3)(x + 5)(x - 3). בדיקה: 5⋅(−3)=−155 \cdot (-3) = -15 ו-5+(−3)=25 + (-3) = 2 ✓

שברים אלגבריים

מצמצמים רק גורמים של כפל, לעולם לא איברים של סכום. לכן חייבים לפרק את המונה ואת המכנה לפני שנוגעים בשבר. ולפני הצמצום רושמים את תחום ההגדרה: המכנה המקורי אסור שיתאפס.

צמצום שבר אלגברי

צמצמו: x2−2xx2−4\dfrac{x^2 - 2x}{x^2 - 4}, ורשמו את תחום ההגדרה.

x2−4≠0 ⇒ x≠2, x≠−2x^2 - 4 \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq 2 ,\ x \neq -2

תחום ההגדרה, מהמכנה המקורי

x(x−2)(x−2)(x+2)\frac{x(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)}

גורם משותף במונה, הפרש ריבועים במכנה

=xx+2= \frac{x}{x + 2}

מצמצמים את הגורם x−2x - 2

x=3: 9−69−4=3535\begin{aligned}x &= 3: \ \frac{9 - 6}{9 - 4} \\ &= \frac{3}{5} \\ \quad \frac{3}{5}\end{aligned}

בדיקה במספר ✓

חיבור שברים אלגבריים

חשבו: 3x−2−1x\dfrac{3}{x - 2} - \dfrac{1}{x}.

x≠2, x≠0x \neq 2 ,\ x \neq 0

תחום ההגדרה

3xx(x−2)−x−2x(x−2)\frac{3x}{x(x - 2)} - \frac{x - 2}{x(x - 2)}

מכנה משותף x(x−2)x(x - 2): מרחיבים כל שבר

=3x−(x−2)x(x−2)=2x+2x(x−2)= \frac{3x - (x - 2)}{x(x - 2)} = \frac{2x + 2}{x(x - 2)}

המינוס חל על כל המונה x−2x - 2

שלוש הטעויות של הפרק.

x+33=x\frac{x + 3}{3} = x
לא ניתן לצמצום\text{לא ניתן לצמצום}

המונה הוא סכום ואין בו גורם משותף עם 33. בדיקה: x=3x = 3 נותן 2≠32 \neq 3.

(x−2)2=x2−4(x - 2)^2 = x^2 - 4
(x−2)2=x2−4x+4(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4

ריבוע של הפרש אינו הפרש ריבועים. האיבר האמצעי −2⋅x⋅2-2 \cdot x \cdot 2 אינו רשות.

x2−9x−3=x+3\frac{x^2 - 9}{x - 3} = x + 3
x2−9x−3=x+3 x≠3\begin{aligned}\frac{x^2 - 9}{x - 3} &= x + 3 \\ \ x \neq 3\end{aligned}

הצמצום נכון, אבל תחום ההגדרה נקבע לפי המכנה לפני הצמצום.

Exercices

Exercice 1

פרקו לגורמים באופן מלא: 2x2−82x^2 - 8

  1. (2x−4)(x+2)(2x-4)(x+2)
  2. 2(x−4)(x+2)2(x-4)(x+2)
  3. 2(x−2)(x+2)2(x-2)(x+2)
  4. 2(x2−8)2(x^2-8)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 2(x−2)(x+2)2(x-2)(x+2)

Corrigé :

2(x2−4)2(x^2 - 4)

קודם גורם משותף

2(x−2)(x+2)2(x-2)(x+2)

ואז הפרש ריבועים

תמיד גורם משותף ראשון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

פתחו: (x−5)2(x - 5)^2

  1. x2−10x−25x^2 - 10x - 25
  2. x2+25x^2 + 25
  3. x2−25x^2 - 25
  4. x2−10x+25x^2 - 10x + 25
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D x2−10x+25x^2 - 10x + 25

Corrigé :

a2−2ab+b2a^2 - 2ab + b^2

הזהות

x2−10x+25x^2 - 10x + 25

On remplace (מציבים)

האיבר האמצעי הוא פי שניים המכפלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

איך מפרקים את x2−9x^2 - 9?

  1. (x−9)(x+1)(x-9)(x+1)
  2. אי אפשר לפרק
  3. (x−3)(x+3)(x-3)(x+3)
  4. (x−3)2(x-3)^2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C (x−3)(x+3)(x-3)(x+3)

Corrigé :

a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

הפרש ריבועים

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

פרקו לגורמים: x2−7x+12x^2 - 7x + 12

  1. (x−2)(x−6)(x - 2)(x - 6)
  2. (x−12)(x+1)(x - 12)(x + 1)
  3. (x+3)(x+4)(x + 3)(x + 4)
  4. (x−3)(x−4)(x - 3)(x - 4)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D (x−3)(x−4)(x - 3)(x - 4)

Corrigé :

(−3)⋅(−4)=12(−3)+(−4)=−7\begin{aligned}(-3) \cdot (-4) &= 12 \\ \quad (-3) + (-4) &= -7\end{aligned}

מכפלה cc, סכום bb

(x−3)(x−4)(x - 3)(x - 4)

הפירוק

הנכונה: (x−3)(x−4)(x - 3)(x - 4). ב-(x+3)(x+4)(x + 3)(x + 4) הסכום הוא +7+7, סימן הפוך. ב-(x−2)(x−6)(x - 2)(x - 6) המכפלה נכונה אבל הסכום −8-8.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

פתחו לפי הזהות: (x+4)2(x + 4)^2 =

x בריבוע ועוד ____x ועוד ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x בריבוע ועוד 8x ועוד 16.

Corrigé :

(x+4)2=x2+8x+16(x+4)^2 = x^2 + 8x + 16

האיבר האמצעי — כפליים המכפלה

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

שורה אחת שגויה — מצאו אותה:

(a+b)2(a + b)^2
=a2+b2= a^2 + b^2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : =a2+b2= a^2 + b^2 → =a2+2ab+b2= a^2 + 2ab + b^2

Corrigé :

(3+4)2=49≠9+16(3+4)^2 = 49 \ne 9 + 16

האיבר האמצעי איננו רשות

הבדיקה המספרית הורגת את הטעות מיד: 49 מול 25.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

צמצמו: x2−9x+3\frac{x^2 - 9}{x + 3}

  1. x+3x + 3
  2. לא ניתן לצמצום
  3. x−3x - 3
  4. x2−3x^2 - 3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C x−3x - 3

Corrigé :

(x−3)(x+3)x+3\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}

הפרש ריבועים

x−3x - 3

מצמצמים

x≠−3x \neq -3

תחום הגדרה

רק אחרי הפירוק יש גורם משותף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

בשבר x+1x2−4\frac{x+1}{x^2 - 4}, כמה ערכים של xx אסורים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

x2−4=0x^2 - 4 = 0

מאפסים את המכנה

x=2  x=−2\begin{aligned}x &= 2 \ \\ \ x &= -2\end{aligned}

שני ערכים

שניהם מאפסים את המכנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

צמצמו: x2+6x+9x2−9\dfrac{x^2 + 6x + 9}{x^2 - 9}. השלימו את המונה ואת המכנה של השבר המצומצם.

המונה: x+x + ____ , המכנה: x−x - ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : המונה: x+x + 3 , המכנה: x−x - 3

Corrigé :

x2+6x+9=(x+3)2x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2

זהות במונה

x2−9=(x−3)(x+3)x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)

הפרש ריבועים במכנה

(x+3)2(x−3)(x+3)=x+3x−3\frac{(x + 3)^2}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{x + 3}{x - 3}

מצמצמים x+3x + 3 פעם אחת

x≠3, x≠−3x \neq 3 ,\ x \neq -3

תחום ההגדרה

מצמצמים גורם x+3x + 3 אחד: במונה הוא מופיע פעמיים, ואחד נשאר. תחום ההגדרה נקבע לפי המכנה המקורי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

חשבו את (x+3)2(x + 3)^2 עבור x=2x = 2:

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 25

Corrigé :

(2+3)2=52=25\begin{aligned}(2+3)^2 &= 5^2 \\ &= 25\end{aligned}

קודם הסוגריים

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe