Série 5 — vers le bagrout

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שתי שאלות בנוסח הבגרות, מחולקות לסעיפים: פרבולה וישר בגרף, ושבר אלגברי שמצמצמים ואז פותרים. ועוד שלוש שאלות קצרות: משוואה אי-רציונלית, דו-ריבועית, ושורשים. כל סעיף הוא תרגיל נפרד, וכולם על אותם נתונים.

כתבו כל סעיף כמו בבחינה: הצעד, החישוב, והבדיקה. סעיף שנשען על סעיף קודם — הפנו אליו: «לפי סעיף א, נקודות המפגש הן...».

Exercices

Exercice 1

f(x) = x² − 2x − 3 (כחול) ו-g(x) = x + 1 (כתום)

נתונות הפונקציות f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3 ו-g(x)=x+1g(x) = x + 1, המשורטטות בגרף. א. מצאו את נקודות המפגש של שני הגרפים. רשמו קודם את הנקודה עם ה-xx הקטן.

( ____ , ____ ) ו-( ____ , ____ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ( -1 , 0 ) ו-( 4 , 5 )

Corrigé :

x2−2x−3=x+1 ⇒ x2−3x−4=0\begin{aligned}x^2 - 2x - 3 &= x + 1 \ \Rightarrow \ x^2 - 3x - 4 \\ &= 0\end{aligned}

משווים ומעבירים אגף

(x−4)(x+1)=0 ⇒ x=−1 x=4\begin{aligned}(x - 4)(x + 1) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -1 \\ \ x &= 4\end{aligned}

מפרקים

x=−1 ⇒ y=0x=4 ⇒ y=5\begin{aligned}x &= -1 \ \Rightarrow \ y \\ &= 0 \\ \qquad x &= 4 \ \Rightarrow \ y \\ &= 5\end{aligned}

מציבים בישר

הגרף מאשר: (−1, 0)(-1,\,0) על ציר ה-xx, ו-(4, 5)(4,\,5) למעלה מימין. תשובה שלא מתאימה לגרף היא סימן לטעות סימן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

f(x) = x² − 2x − 3 (כחול) ו-g(x) = x + 1 (כתום)

נתונות הפונקציות f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3 ו-g(x)=x+1g(x) = x + 1, המשורטטות בגרף. ב. עבור אילו ערכי xx מתקיים f(x)<g(x)f(x) < g(x)?

  1. −1<x<3-1 < x < 3
  2. x<−1x < -1 או x>4x > 4
  3. x<4x < 4
  4. −1<x<4-1 < x < 4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D −1<x<4-1 < x < 4

Corrigé :

x=−1 x=4\begin{aligned}x &= -1 \\ \ x &= 4\end{aligned}

נקודות המפגש, לפי סעיף א

−1<x<4-1 < x < 4

הישר מעל הפרבולה בין המפגשים

x=0: f(0)=−3<g(0)=1\begin{aligned}x &= 0: \ f(0) \\ &= -3 < g(0) \\ &= 1\end{aligned}

בדיקה ✓

הנכונה: −1<x<4-1 < x < 4. −1<x<3-1 < x < 3 עונה על «איפה ff שלילית», שאלה אחרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

f(x) = x² − 2x − 3 (כחול) ו-g(x) = x + 1 (כתום)

נתונות הפונקציות f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3 ו-g(x)=x+1g(x) = x + 1, המשורטטות בגרף. ג. עבור אילו ערכי xx מתקיים f(x)<0f(x) < 0?

  1. x<3x < 3
  2. x<−1x < -1 או x>3x > 3
  3. −1<x<3-1 < x < 3
  4. −1<x<4-1 < x < 4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C −1<x<3-1 < x < 3

Corrigé :

x2−2x−3=(x−3)(x+1)=0 ⇒ x=−1 x=3\begin{aligned}x^2 - 2x - 3 &= (x - 3)(x + 1) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

חיתוך ff עם ציר ה-xx

−1<x<3-1 < x < 3

פתוחה כלפי מעלה: שלילית בין השורשים

הנכונה: −1<x<3-1 < x < 3. הפעם משווים את ff לציר ה-xx, לא ל-gg: השורשים −1-1 ו-33, ולא נקודות המפגש −1-1 ו-44.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

f(x) = x² − 2x − 3 (כחול) ו-g(x) = x + 1 (כתום)

נתונות הפונקציות f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3 ו-g(x)=x+1g(x) = x + 1, המשורטטות בגרף. ד. עבור איזה ערך של kk לישר y=ky = k ולפרבולה ff יש נקודה משותפת אחת בדיוק?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -4

Corrigé :

x2−2x−3=k ⇒ x2−2x−(3+k)=0\begin{aligned}x^2 - 2x - 3 &= k \ \Rightarrow \ x^2 - 2x - (3 + k) \\ &= 0\end{aligned}

משווים

4+4(3+k)=0 ⇒ 16+4k=0 ⇒ k=−4\begin{aligned}4 + 4(3 + k) &= 0 \ \Rightarrow \ 16 + 4k \\ &= 0 \ \Rightarrow \ k \\ &= -4\end{aligned}

פתרון אחד: דיסקרימיננטה אפס

f(1)=1−2−3=−4\begin{aligned}f(1) &= 1 - 2 - 3 \\ &= -4\end{aligned}

בדיקה: זה ערך הקודקוד, ב-x=1x = 1 ✓

ישר אופקי פוגש פרבולה בנקודה אחת רק כשהוא עובר בקודקוד. מתחת לקודקוד אין מפגש, מעליו שניים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתון הביטוי x2−16x2−8x+16\dfrac{x^2 - 16}{x^2 - 8x + 16}. א. איזה ערך של xx אסור?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

x2−8x+16=(x−4)2x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2

המכנה: ריבוע של הפרש

(x−4)2≠0 ⇒ x≠4(x - 4)^2 \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq 4

ערך אחד אסור

המכנה הוא ריבוע מושלם, ולכן יש לו שורש אחד בלבד. מי שענה ±4\pm 4 קרא אותו כהפרש ריבועים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתון הביטוי x2−16x2−8x+16\dfrac{x^2 - 16}{x^2 - 8x + 16}. ב. צמצמו את הביטוי.

  1. x+4(x−4)2\dfrac{x + 4}{(x - 4)^2}
  2. −16−8x+16\dfrac{-16}{-8x + 16}
  3. x−4x+4\dfrac{x - 4}{x + 4}
  4. x+4x−4\dfrac{x + 4}{x - 4}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D x+4x−4\dfrac{x + 4}{x - 4}

Corrigé :

x2−16=(x−4)(x+4)x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)

הפרש ריבועים במונה

(x−4)(x+4)(x−4)2=x+4x−4\frac{(x - 4)(x + 4)}{(x - 4)^2} = \frac{x + 4}{x - 4}

מצמצמים גורם x−4x - 4 אחד

הנכונה: x+4x−4\frac{x + 4}{x - 4}. −16−8x+16\frac{-16}{-8x + 16} «צמצמה» את x2x^2, איבר של סכום. בדיקה ב-x=0x = 0: −1616=−1\frac{-16}{16} = -1 ו-4−4=−1\frac{4}{-4} = -1 ✓

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתון הביטוי x2−16x2−8x+16\dfrac{x^2 - 16}{x^2 - 8x + 16}. ג. פתרו: x2−16x2−8x+16=3\dfrac{x^2 - 16}{x^2 - 8x + 16} = 3

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

x+4x−4=3\frac{x + 4}{x - 4} = 3

לפי סעיף ב

x+4=3(x−4) ⇒ x+4=3x−12 ⇒ x=8\begin{aligned}x + 4 &= 3(x - 4) \ \Rightarrow \ x + 4 \\ &= 3x - 12 \ \Rightarrow \ x \\ &= 8\end{aligned}

כופלים ב-x−4x - 4, מותר כי x≠4x \neq 4

64−1664−64+16=4816=3\begin{aligned}\frac{64 - 16}{64 - 64 + 16} &= \frac{48}{16} \\ &= 3\end{aligned}

בדיקה בביטוי המקורי ✓

x=8x = 8 בתחום (סעיף א). הצמצום מסעיף ב הפך משוואה ריבועית למשוואה ממעלה ראשונה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

פתרו: x+10=x−2\sqrt{x + 10} = x - 2

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

x+10=x2−4x+4x + 10 = x^2 - 4x + 4

מעלים בריבוע: (x−2)2(x - 2)^2 לפי הזהות

x2−5x−6=0 ⇒ (x−6)(x+1)=0\begin{aligned}x^2 - 5x - 6 &= 0 \ \Rightarrow \ (x - 6)(x + 1) \\ &= 0\end{aligned}

מועמדים 66 ו-−1-1

x=6: 16=4=6−2 ✓x=−1: 9=3≠−3\begin{aligned}x &= 6: \ \sqrt{16} \\ &= 4 \\ &= 6 - 2 \ \checkmark \qquad x \\ &= -1: \ \sqrt{9} \\ &= 3 \neq -3\end{aligned}

בדיקה: x=−1x = -1 נפסל

אגף ימין x−2x - 2 חייב להיות אי-שלילי: x≥2x \geq 2. זה פוסל את x=−1x = -1 עוד לפני ההצבה, אבל ההצבה היא מה שכותבים בבחינה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

פתרו: x4−17x2+16=0x^4 - 17x^2 + 16 = 0

  1. x=±2x = \pm 2 או x=±8x = \pm 8
  2. x=±4x = \pm 4
  3. x=±1x = \pm 1 או x=±4x = \pm 4
  4. x=1x = 1 או x=16x = 16
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C x=±1x = \pm 1 או x=±4x = \pm 4

Corrigé :

t=x2: t2−17t+16=0 ⇒ (t−1)(t−16)=0\begin{aligned}t &= x^2: \ t^2 - 17t + 16 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ (t - 1)(t - 16) \\ &= 0\end{aligned}

הצבה ופירוק: מכפלה 1616, סכום 1717

x2=1 ⇒ x=±1x2=16 ⇒ x=±4\begin{aligned}x^2 &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 1 \qquad x^2 \\ &= 16 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 4\end{aligned}

חוזרים ל-xx

x=4: 256−272+16=0\begin{aligned}x &= 4: \ 256 - 272 + 16 \\ &= 0\end{aligned}

בדיקה ✓

הנכונה: x=±1x = \pm 1 או x=±4x = \pm 4. «±2\pm 2 או ±8\pm 8» חילקה את tt ב-22 במקום להוציא שורש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

חשבו: 12⋅2732\dfrac{\sqrt{12} \cdot \sqrt{27}}{3^2}

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

12⋅27=324=18\begin{aligned}\sqrt{12} \cdot \sqrt{27} &= \sqrt{324} \\ &= 18\end{aligned}

שורש של מכפלה: 12⋅27=324=18212 \cdot 27 = 324 = 18^2

189=2\frac{18}{9} = 2

מחלקים ב-32=93^2 = 9

או דרך הוצאת גורמים: 23⋅33=6⋅3=182\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} = 6 \cdot 3 = 18. שתי הדרכים, אותה תשובה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe