Série 3 — difficile · Lignes remarquables du triangle · Kita י

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות שמשלבות שניים או שלושה משפטים: התיכון ליתר ואז פיתגורס ואז שטח, חוצה זווית עם היתר, שליש השטח של נקודת מפגש התיכונים, והמשולש שווה השוקיים שבו ארבעת הקווים מתלכדים.

כתבו את שם המשפט בכל שלב, גם כשהחישוב קצר. בשאלת הוכחה, הנימוק הוא התשובה.

Exercices

Exercice 1

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, ו- $CM$ תיכון ליתר $AB$ . נתון $CM = 10$ ו- $AC = 16$ . חשבו את שטח המשולש $ABC$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 96

Corrigé :

\begin{aligned}AB &= 2 \cdot CM \\ &= 20\end{aligned}

התיכון ליתר שווה למחצית היתר

\begin{aligned}BC &= \sqrt{20^2 - 16^2} \\ &= \sqrt{144} \\ &= 12\end{aligned}

משפט פיתגורס

\begin{aligned}S &= \frac{16 \cdot 12}{2} \\ &= 96\end{aligned}

שטח משולש ישר זווית

$96$ . שלושה משפטים בשלושה שלבים. השטח לא מחושב עם $CM$ : תיכון אינו גובה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

במשולש $ABC$ הזווית $B$ ישרה, $AB = 15$ ו- $BC = 20$ . $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ). מצאו את $DC$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12.5

Corrigé :

\begin{aligned}AC &= \sqrt{225 + 400} \\ &= 25\end{aligned}

משפט פיתגורס

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{AB}{AC} \\ &= \frac{15}{25} \\ &= \frac{3}{5}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית

\begin{aligned}DC &= \frac{5}{8} \cdot 20 \\ &= 12.5\end{aligned}

חמישה חלקים משמונה

$DC = 12.5$ ו- $BD = 7.5$ . שאלו $DC$ , החלק הגדול, ליד היתר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

במשולש $A(2,\,7)$ , $B(-1,\,1)$ , $C(8,\,1)$ מצאו את נקודת מפגש התיכונים $G$ .

$G($ ____ $,$ ____ $)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $G($ 3 $,$ 3 $)$

Corrigé :

\begin{aligned}D(3.5,\,1) \ \Rightarrow \ m_{AD} &= \frac{1 - 7}{3.5 - 2} \\ &= -4 \ \Rightarrow \ y \\ &= -4x + 15\end{aligned}

התיכון מ- $A$ לאמצע $BC$

\begin{aligned}E(5,\,4) \ \Rightarrow \ m_{BE} &= \frac{4 - 1}{5 + 1} \\ &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ y \\ &= \tfrac{1}{2}x + 1.5\end{aligned}

התיכון מ- $B$ לאמצע $AC$

\begin{aligned}-4x + 15 &= \tfrac{1}{2}x + 1.5 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3 \\ \ y &= 3\end{aligned}

חיתוך

$G(3,\,3)$ . בדיקה: ממוצע הקודקודים $\frac{2 - 1 + 8}{3} = 3$ ו- $\frac{7 + 1 + 1}{3} = 3$ ✓

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונות $A(2,\,2)$ ו- $B(8,\,6)$ . מצאו את שיעור ה- $y$ של נקודת החיתוך של האנך האמצעי של $AB$ עם ציר ה- $y$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 11.5

Corrigé :

M(5,\,4)

אמצע הקטע

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{6 - 2}{8 - 2} \\ &= \frac{2}{3} \ \Rightarrow \ m_{\perp} \\ &= -\frac{3}{2}\end{aligned}

שיפוע מאונך

\begin{aligned}y - 4 &= -\tfrac{3}{2}(x - 5) \ \Rightarrow \ y \\ &= -\tfrac{3}{2}x + 11.5\end{aligned}

משוואת האנך האמצעי

\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= 11.5\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה- $y$

$11.5$ . השיפוע $-\frac{3}{2}$ הוא הנגדי וההופכי של $\frac{2}{3}$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

הוכיחו או הפריכו: במשולש ישר זווית, נקודת מפגש התיכונים ונקודת מפגש האנכים האמצעיים מתלכדות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

O = M

מפגש האנכים האמצעיים הוא אמצע היתר $M$

CG = \tfrac{2}{3} CM

מפגש התיכונים $G$ נמצא על התיכון $CM$ , בשני שלישים מהדרך מ- $C$

G \neq M

$G$ בתוך המשולש, $M$ על היתר

הטענה לא נכונה. $G$ נמצא על התיכון ליתר, אבל בשני שלישים ממנו, ולא בקצהו. בכל משולש ישר זווית הן שונות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

שטח המשולש $ABC$ הוא $36$ סמ״ר, ו- $G$ נקודת מפגש התיכונים. $AD$ תיכון. מצאו את שטח המשולש $BGC$ בסמ״ר.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

\frac{GD}{AD} = \frac{1}{3}

נקודת מפגש התיכונים: $GD$ שליש מהתיכון

\begin{aligned}\frac{h_G}{h_A} &= \frac{GD}{AD} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

הגובה מ- $G$ אל $BC$ הוא שליש מהגובה מ- $A$ (משולשים דומים, או תאלס)

\begin{aligned}S_{BGC} &= \frac{BC \cdot h_G}{2} \\ &= \frac{1}{3} S_{ABC} \\ &= 12\end{aligned}

אותו בסיס $BC$ , גובה שליש

$12$ סמ״ר. שלושת המשולשים $BGC$ , $AGC$ ו- $AGB$ שווי שטח, שליש כל אחד: זו הסיבה ש- $G$ היא נקודת האיזון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

במשולש $A(0,\,6)$ , $B(0,\,0)$ , $C(6,\,0)$ , $O$ נקודת המפגש של האנכים האמצעיים. מצאו את $OB$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4.24

Corrigé :

O(3,\,3)

משולש ישר זווית: $O$ אמצע היתר $AC$

\begin{aligned}OB &= \sqrt{9 + 9} \\ &= \sqrt{18} \\ &= 3\sqrt{2} \approx 4.24\end{aligned}

מרחק מהראשית

$OB = 3\sqrt{2} \approx 4.24$ . התשובה המדויקת היא $3\sqrt{2}$ ; העיגול רק כי השאלה ביקשה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

במשולש $ABC$ נתון $AB = 7$ , $AC = 9$ ו- $BC = 12$ . $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ). מהו $BD$ ?

$5.25$
$\frac{28}{3}$
$6$
$6.75$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $5.25$

Corrigé :

\frac{BD}{DC} = \frac{7}{9}

משפט חוצה הזווית

\begin{aligned}BD &= \frac{7}{16} \cdot 12 \\ &= 5.25\end{aligned}

שבעה חלקים מ- $16$

הנכונה: $5.25$ . $6.75$ הוא $DC$ ; $6$ מניח תיכון; $\frac{28}{3}$ משווה את $BD$ לכל הצלע: $\frac{7}{9} \cdot 12$ . כשמתלבטים: $BD + DC$ חייב לתת $12$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

במשולש $ABC$ נתון $AB = AC = 13$ ו- $BC = 10$ . $AD$ הגובה לבסיס, ו- $G$ נקודת מפגש התיכונים. מצאו את $AG$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

BD = 5

במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון

\begin{aligned}AD &= \sqrt{169 - 25} \\ &= 12\end{aligned}

משפט פיתגורס

\begin{aligned}AG &= \tfrac{2}{3} \cdot 12 \\ &= 8\end{aligned}

$AD$ תיכון, ו- $G$ מחלקת אותו ביחס $2:1$

$AG = 8$ . המפתח: הגובה לבסיס במשולש שווה שוקיים הוא גם תיכון, ולכן $G$ נמצאת עליו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, ו- $M$ אמצע היתר $AB$ . הוכיחו: $\angle MCB = \angle MBC$ .

$\angle ACB = 90^\circ$
$AM = MB$

$\angle MCB = \angle MBC$

Voir la réponse et le corrigé

$CM$ תיכון ליתר — $M$ אמצע $AB$ , ו- $AB$ היתר
$CM = \frac{AB}{2}$ — במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר
$MB = \frac{AB}{2}$ — $M$ אמצע $AB$
$CM = MB$ — שניהם שווים למחצית $AB$
$\angle MCB = \angle MBC$ — במשולש $MCB$ מול צלעות שוות מונחות זוויות שוות (משולש שווה שוקיים)

Corrigé :

\begin{aligned}CM &= MB \\ &= \frac{AB}{2}\end{aligned}

התיכון ליתר, ואמצע היתר

\Rightarrow \ \angle MCB = \angle MBC

זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים $MCB$

המשפט על התיכון ליתר יוצר שני משולשים שווי שוקיים, $MCB$ ו- $MCA$ . זה הכלי לכל שאלת זוויות עם אמצע היתר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev