Série 4 — avancé · Lignes remarquables du triangle · Kita י

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות במבנה של הבגרות: שאלה עם שני סעיפים במערכת צירים, היקף דרך התיכון ליתר, שטח דרך חוצה הזווית, ואנכים אמצעיים של משולש ישר זווית עם קודקודים נתונים.

בשאלה עם סעיפים, כל סעיף משתמש בתוצאה של הקודם. טעות בסעיף א עוברת הלאה, ולכן בודקים אותו לפני שממשיכים: יחס $2:1$ , סכום הקטעים, פיתגורס.

Exercices

Exercice 1

נתון משולש $A(3,\,9)$ , $B(0,\,0)$ , $C(6,\,0)$ . $AD$ תיכון לצלע $BC$ , $BE$ תיכון לצלע $AC$ , ו- $G$ נקודת המפגש שלהם. א. מצאו את $AG$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

\begin{aligned}D(3,\,0) \ \Rightarrow \ AD: \ x &= 3 \\ \quad AD &= 9\end{aligned}

אמצע $BC$ ; התיכון אנכי באורך $9$

\begin{aligned}AG &= \tfrac{2}{3} \cdot 9 \\ &= 6\end{aligned}

היחס $2:1$

$AG = 6$ , ולכן $G(3,\,3)$ . אפשר גם לחתוך עם $BE$ : $E(4.5,\,4.5)$ , $BE: y = x$ , וב- $x = 3$ מקבלים $y = 3$ ✓

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתון משולש $A(3,\,9)$ , $B(0,\,0)$ , $C(6,\,0)$ . $AD$ תיכון לצלע $BC$ , $BE$ תיכון לצלע $AC$ , ו- $G$ נקודת המפגש שלהם. ב. מצאו את שיפוע התיכון $BE$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

E\left(\frac{3 + 6}{2},\ \frac{9 + 0}{2}\right) = E(4.5,\,4.5)

אמצע $AC$

\begin{aligned}m_{BE} &= \frac{4.5 - 0}{4.5 - 0} \\ &= 1\end{aligned}

שיפוע דרך $B(0,\,0)$

$m = 1$ : התיכון $BE$ הוא הישר $y = x$ , והוא אכן עובר דרך $G(3,\,3)$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

במשולש $ABC$ הזווית $B$ ישרה, ו- $BM$ תיכון ליתר $AC$ . נתון $BM = 6.5$ ו- $BC = 5$ . חשבו את היקף המשולש $ABC$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 30

Corrigé :

\begin{aligned}AC &= 2 \cdot 6.5 \\ &= 13\end{aligned}

התיכון ליתר שווה למחצית היתר

\begin{aligned}AB &= \sqrt{169 - 25} \\ &= 12\end{aligned}

משפט פיתגורס

\begin{aligned}P &= 5 + 12 + 13 \\ &= 30\end{aligned}

היקף

$30$ . $BM$ לא חלק מההיקף: הוא קטע בתוך המשולש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

במשולש $ABC$ נתון $AB = 12$ , $AC = 18$ ו- $BC = 25$ . $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ). מצאו את $BD$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{12}{18} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית

\begin{aligned}BD &= \frac{2}{5} \cdot 25 \\ &= 10\end{aligned}

שני חלקים מחמישה

$BD = 10$ ו- $DC = 15$ . מצמצמים את היחס לפני שמחלקים: $12:18 = 2:3$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

שטח המשולש $ABC$ הוא $60$ סמ״ר. $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ), $AB = 10$ ו- $AC = 15$ . מצאו את שטח המשולש $ABD$ בסמ״ר.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 24

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}} &= \frac{AB}{AC} \\ &= \frac{10}{15} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

חוצה זווית מחלק את השטח ביחס הצלעות (הגבהים מ- $D$ אל השוקיים שווים)

\begin{aligned}S_{ABD} &= \frac{2}{5} \cdot 60 \\ &= 24\end{aligned}

שני חלקים מחמישה

$24$ סמ״ר. אפשר גם דרך משפט חוצה הזווית: $\frac{BD}{BC} = \frac{2}{5}$ , ואותו גובה מ- $A$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

$P$ נקודה הנמצאת על האנך האמצעי של $AB$ וגם על האנך האמצעי של $BC$ . הוכיחו או הפריכו: $PA = PC$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

PA = PB

$P$ על האנך האמצעי של $AB$

PB = PC

$P$ על האנך האמצעי של $BC$

PA = PC

שניהם שווים ל- $PB$

הטענה נכונה. וזו בדיוק ההוכחה ששלושת האנכים האמצעיים נפגשים: מ- $PA = PC$ נובע ש- $P$ גם על האנך האמצעי של $AC$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

במשולש $A(-2,\,0)$ , $B(4,\,0)$ , $C(4,\,8)$ מצאו את נקודת המפגש $O$ של האנכים האמצעיים ואת $OB$ .

$O($ ____ $,$ ____ $)$ , $OB =$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $O($ 1 $,$ 4 $)$ , $OB =$ 5

Corrigé :

x = 1

האנך האמצעי של $AB$ : $AB$ אופקי, אמצעו $(1,\,0)$

y = 4

האנך האמצעי של $BC$ : $BC$ אנכי, אמצעו $(4,\,4)$

O(1,\,4)

חיתוך. וזה אמצע היתר $AC$ : $\angle B = 90^\circ$

\begin{aligned}OB &= \sqrt{(4 - 1)^2 + (0 - 4)^2} \\ &= 5\end{aligned}

מרחק בין נקודות

$O(1,\,4)$ ו- $OB = 5$ . בדיקה: $AC = \sqrt{36 + 64} = 10$ , ו- $OB = \frac{AC}{2}$ ✓

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

במשולש $ABC$ , $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ). נתון $\frac{BD}{DC} = \frac{2}{3}$ ו- $AB = 10$ . מהו $AC$ ?

$15$
$12$
$20$
$6$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $15$

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{AB}{AC} &= \frac{BD}{DC} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית

\begin{aligned}\frac{10}{AC} &= \frac{2}{3} \ \Rightarrow \ AC \\ &= 15\end{aligned}

כפל בהצלבה

הנכונה: $15$ . $BD$ קטן מ- $DC$ , ולכן $AB$ קטן מ- $AC$ : התשובה חייבת להיות גדולה מ- $10$ . $6$ הופך את היחס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

במשולש $ABC$ נפגשים התיכונים $AD$ ו- $BE$ בנקודה $G$ . נתון $GD = 2.5$ ו- $BG = 6$ . מצאו את $BE$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

\begin{aligned}BG &= \tfrac{2}{3} BE \ \Rightarrow \ BE \\ &= \tfrac{3}{2} \cdot 6 \\ &= 9\end{aligned}

$BG$ הוא החלק ליד הקודקוד $B$ , שני שלישים מ- $BE$

$BE = 9$ . $GD = 2.5$ שייך לתיכון האחר, $AD = 7.5$ , והוא לא נחוץ כאן: כל תיכון מחולק בנפרד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AB = 10$ הוא היתר, ו- $CM$ תיכון ליתר. תלמיד חישב את שטח המשולש. שורה אחת שגויה, מצאו אותה ותקנו.

AB = 10

\begin{aligned}CM &= \frac{AB}{2} \\ &= 5\end{aligned}

\begin{aligned}S &= \frac{AB \cdot CM}{2} \\ &= 25\end{aligned}

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $S = \frac{AB \cdot CM}{2} = 25$ → $S = \frac{AC \cdot BC}{2}$

Corrigé :

CM = 5

התיכון ליתר, נכון

CM \not\perp AB

אבל תיכון אינו גובה: $CM$ לא מאונך ליתר

S = \frac{AC \cdot BC}{2}

שטח משולש ישר זווית: מחצית מכפלת הניצבים, ואותם לא נתנו

השורה השלישית מציבה תיכון במקום גובה. עם הנתונים האלה בלבד אי אפשר לחשב את השטח: היתר לבדו לא קובע את המשולש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev