Série 2 — moyen

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות בינוניות. כאן צריך לבנות את הפונקציה בעצמכם: תיבה, קטע בין גרפים, השכרת אופניים. ויש שורש אחד.

לפני הגזירה, בדקו את הפונקציה בנקודה אחת: אם x=1x = 1 נותן ערך מוזר (שטח שלילי, כמות שלילית), הביטוי שגוי.

Exercices

Exercice 1

xx ו-yy מספרים חיוביים, ו-x+y=8x + y = 8. מהו הערך הקטן ביותר של x2+3y2x^2 + 3y^2?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 48

Corrigé :

f(x)=x2+3(8−x)2=4x2−48x+1920<x<8\begin{aligned}f(x) &= x^2 + 3(8 - x)^2 \\ &= 4x^2 - 48x + 192 \\ \quad 0 < x < 8\end{aligned}

מסלקים את yy

f′(x)=8x−48=0 ⇒ x=6\begin{aligned}f'(x) &= 8x - 48 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}

מ-−- ל-++: מינימום

f(6)=36+3⋅4=48\begin{aligned}f(6) &= 36 + 3 \cdot 4 \\ &= 48\end{aligned}

המספרים 66 ו-22

המקדם 33 «מושך» את yy להיות קטן: המינימום אינו ב-x=y=4x = y = 4. בדיקה: f(4)=16+48=64>48f(4) = 16 + 48 = 64 > 48.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

גיליון 30 על 30, ובכל פינה נגזר ריבוע שצלעו x
xxxx030030

מגיליון קרטון ריבועי שצלעו 3030 ס״מ גוזרים בכל פינה ריבוע שצלעו xx ס״מ, ומקפלים לתיבה פתוחה, כמו בשרטוט. א. מצאו את xx שעבורו נפח התיבה הגדול ביותר.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

V(x)=x(30−2x)20<x<15\begin{aligned}V(x) &= x(30 - 2x)^2 \\ \quad 0 < x < 15\end{aligned}

בסיס (30−2x)2(30 - 2x)^2, גובה xx

V′(x)=(30−2x)2−4x(30−2x)=(30−2x)(30−6x)\begin{aligned}V'(x) &= (30 - 2x)^2 - 4x(30 - 2x) \\ &= (30 - 2x)(30 - 6x)\end{aligned}

כלל המכפלה

x=5(x=15∉(0,15))x = 5 \quad (x = 15 \notin (0, 15))

מ-++ ל-−-: מקסימום

בנגזרת של (30−2x)2(30 - 2x)^2 מכפילים בנגזרת הפנימית −2-2: מקבלים −4(30−2x)-4(30 - 2x). ו-x=15x = 15 נפסל, כי שם אין בסיס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

גיליון 30 על 30, ובכל פינה נגזר ריבוע שצלעו x
xxxx030030

מגיליון קרטון ריבועי שצלעו 3030 ס״מ גוזרים בכל פינה ריבוע שצלעו xx ס״מ, ומקפלים לתיבה פתוחה, כמו בשרטוט. ב. מהו הנפח הגדול ביותר של התיבה (בסמ״ק)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2000

Corrigé :

x=5x = 5

מסעיף א

V(5)=5⋅202=2000\begin{aligned}V(5) &= 5 \cdot 20^2 \\ &= 2000\end{aligned}

בסיס 20×2020 \times 20, גובה 55

הבסיס הוא 30−2⋅5=2030 - 2 \cdot 5 = 20, לא 2525.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הקטע האנכי AB בין f ל-g
ABfg012345678-4-20246810121416xy
A על f ו-B על g, באותו x, בין נקודות החיתוך של הגרפים.

נתונות f(x)=−x2+6x+5f(x) = -x^2 + 6x + 5 ו-g(x)=12−2xg(x) = 12 - 2x. ישר המקביל לציר ה-yy חותך את ff ב-AA ואת gg ב-BB, בין נקודות החיתוך של הגרפים, כמו בשרטוט. מהו האורך הגדול ביותר של ABAB?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

−x2+6x+5=12−2x ⇒ x2−8x+7=0 ⇒ x=1 x=7\begin{aligned}-x^2 + 6x + 5 &= 12 - 2x \ \Rightarrow \ x^2 - 8x + 7 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= 7\end{aligned}

התחום: 1<x<71 < x < 7

L(x)=f(x)−g(x)=−x2+8x−7\begin{aligned}L(x) &= f(x) - g(x) \\ &= -x^2 + 8x - 7\end{aligned}

f(4)=13>g(4)=4f(4) = 13 > g(4) = 4

L′(x)=−2x+8=0 ⇒ x=4\begin{aligned}L'(x) &= -2x + 8 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

מקסימום

L(4)=−16+32−7=9\begin{aligned}L(4) &= -16 + 32 - 7 \\ &= 9\end{aligned}

האורך

האורך הגדול ביותר 99 אינו בקודקוד הפרבולה (x=3x = 3): שם L(3)=8L(3) = 8.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

בטבריה משכירים 4040 אופניים ביום, במחיר 5050 שקלים. כל העלאה של 55 שקלים במחיר מורידה 22 אופניים מההשכרות. xx הוא מספר ההעלאות. מהי הפונקציה של ההכנסה היומית?

  1. R(x)=(50+5x)(40−x)R(x) = (50 + 5x)(40 - x)
  2. R(x)=(50+5x)(40−2x)R(x) = (50 + 5x)(40 - 2x)
  3. R(x)=(50−5x)(40+2x)R(x) = (50 - 5x)(40 + 2x)
  4. R(x)=(50+x)(40−x)R(x) = (50 + x)(40 - x)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B R(x)=(50+5x)(40−2x)R(x) = (50 + 5x)(40 - 2x)

Corrigé :

50+5x50 + 5x

המחיר אחרי xx העלאות

40−2x40 - 2x

מספר האופניים

R(x)=(50+5x)(40−2x)R(x) = (50 + 5x)(40 - 2x)

מחיר כפול כמות

הנכונה: R(x)=(50+5x)(40−2x)R(x) = (50 + 5x)(40 - 2x). xx סופר העלאות, ולכן כל העלאה מוסיפה 55 ומורידה 22.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

בטבריה משכירים 4040 אופניים ביום, במחיר 5050 שקלים. כל העלאה של 55 שקלים במחיר מורידה 22 אופניים מההשכרות. מהי ההכנסה היומית הגדולה ביותר, בשקלים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2250

Corrigé :

R(x)=(50+5x)(40−2x)0≤x≤20\begin{aligned}R(x) &= (50 + 5x)(40 - 2x) \\ \quad 0 \le x \le 20\end{aligned}

ההכנסה והתחום

R′(x)=5(40−2x)−2(50+5x)=100−20x\begin{aligned}R'(x) &= 5(40 - 2x) - 2(50 + 5x) \\ &= 100 - 20x\end{aligned}

כלל המכפלה

R′(x)=0 ⇒ x=5\begin{aligned}R'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

מקסימום

R(5)=75⋅30=2250\begin{aligned}R(5) &= 75 \cdot 30 \\ &= 2250\end{aligned}

מחיר 7575, 3030 אופניים

בלי העלאה ההכנסה 20002000. ההעלאה ל-7575 שקלים מגדילה את ההכנסה, אף שמשכירים פחות אופניים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מהו הערך הקטן ביותר של הביטוי x−4xx - 4\sqrt{x}?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -4

Corrigé :

f(x)=x−4xx≥0\begin{aligned}f(x) &= x - 4\sqrt{x} \\ \quad x \ge 0\end{aligned}

תחום השורש

f′(x)=1−42x=1−2x\begin{aligned}f'(x) &= 1 - \frac{4}{2\sqrt{x}} \\ &= 1 - \frac{2}{\sqrt{x}}\end{aligned}

נגזרת של שורש

f′(x)=0 ⇒ x=2 ⇒ x=4\begin{aligned}f'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{x} \\ &= 2 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

מ-−- ל-++: מינימום

f(4)=4−8=−4\begin{aligned}f(4) &= 4 - 8 \\ &= -4\end{aligned}

La valeur

הערך הקטן ביותר שלילי: −4-4. מי שעונה 44 נתן את xx, לא את הערך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

ABCD
הקטע המודגש AD הוא הקיר, ולאורכו לא גודרים. AB = CD = x.

גודרים חלקה צמודה לקיר, כמו בשרטוט, עם 4040 מ׳ גדר. שורה אחת בפתרון שגויה. מצאו אותה.

AB=CD=xBC=40−2x\begin{aligned}AB &= CD \\ &= x \\ \quad BC &= 40 - 2x\end{aligned}
S(x)=x(40−2x)=40x−2x2\begin{aligned}S(x) &= x(40 - 2x) \\ &= 40x - 2x^2\end{aligned}
S′(x)=40−2x=0 ⇒ x=20\begin{aligned}S'(x) &= 40 - 2x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 20\end{aligned}
S(10)=10⋅20=200\begin{aligned}S(10) &= 10 \cdot 20 \\ &= 200\end{aligned}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : S′(x)=40−2x=0 ⇒ x=20S'(x) = 40 - 2x = 0 \ \Rightarrow \ x = 20 → S′(x)=40−4x=0 ⇒ x=10S'(x) = 40 - 4x = 0 \ \Rightarrow \ x = 10

Corrigé :

(−2x2)′=−4x(-2x^2)' = -4x

הנגזרת של האיבר הריבועי

S′(x)=40−4x=0 ⇒ x=10\begin{aligned}S'(x) &= 40 - 4x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}

התיקון

x=20 ⇒ BC=0\begin{aligned}x &= 20 \ \Rightarrow \ BC \\ &= 0\end{aligned}

עם הטעות, אין חלקה

הנגזרת של −2x2-2x^2 היא −4x-4x. עם x=20x = 20 הצלע BCBC היא 00: זה סימן שמשהו שגוי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הוכיחו או הפריכו: כשסכום של שני מספרים חיוביים קבוע, המכפלה שלהם הגדולה ביותר כשהם שווים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

x+y=k ⇒ P(x)=x(k−x)0<x<k\begin{aligned}x + y &= k \ \Rightarrow \ P(x) \\ &= x(k - x) \\ \quad 0 < x < k\end{aligned}

סכום קבוע kk

P′(x)=k−2x=0 ⇒ x=k2\begin{aligned}P'(x) &= k - 2x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \frac{k}{2}\end{aligned}

מקסימום

y=k−k2=k2=x\begin{aligned}y &= k - \frac{k}{2} \\ &= \frac{k}{2} \\ &= x\end{aligned}

שני המספרים שווים

הטענה נכונה למכפלה x⋅yx \cdot y. אבל לביטוי כמו x2⋅yx^2 \cdot y היא לא נכונה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מלבן ברביע הראשון, P על הישר y = 12 − 3x

מלבן ברביע הראשון: שתי צלעות שלו על הצירים, והקודקוד PP על הישר y=12−3xy = 12 - 3x, כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

S(x)=x(12−3x)0<x<4\begin{aligned}S(x) &= x(12 - 3x) \\ \quad 0 < x < 4\end{aligned}

P=(x, 12−3x)P = (x,\,12 - 3x)

S′(x)=12−6x=0 ⇒ x=2\begin{aligned}S'(x) &= 12 - 6x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

מקסימום

S(2)=2⋅6=12\begin{aligned}S(2) &= 2 \cdot 6 \\ &= 12\end{aligned}

השטח

המלבן מתחיל בראשית, ולכן הרוחב xx ולא 2x2x. הגובה הוא שיעור ה-yy של PP.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe