Série 3 — difficile

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות מאתגרות: מקבילית בתוך מלבן, מרחק מתחת לשורש, מלבן מתחת לגרף שורש, ושלוש שאלות שבהן התחום סגור והתשובה בקצה.

כשהנקודה החשודה יוצאת מחוץ לתחום, אל תמחקו את השאלה: בדקו את הסימן של הנגזרת בכל התחום, והתשובה בקצה.

Exercices

Exercice 1

ABCDPETQ
AB = 20, BC = 12. AQ = CE = x, AP = CT = 2x.

במלבן ABCDABCD, AB=20AB = 20 ו-BC=12BC = 12. על הצלעות נמצאות הנקודות P,E,T,QP, E, T, Q, כך ש-AQ=CE=xAQ = CE = x ו-AP=CT=2xAP = CT = 2x, כמו בשרטוט. PETQPETQ היא מקבילית. מהו השטח הגדול ביותר של המקבילית?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 121

Corrigé :

S(x)=240−2x2−(20−2x)(12−x)=44x−4x2\begin{aligned}S(x) &= 240 - 2x^2 - (20 - 2x)(12 - x) \\ &= 44x - 4x^2\end{aligned}

המלבן פחות ארבעת המשולשים

0<x≤100 < x \le 10

תחום: 2x≤202x \le 20

S′(x)=44−8x=0 ⇒ x=5.5\begin{aligned}S'(x) &= 44 - 8x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5.5\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

S(5.5)=242−121=121\begin{aligned}S(5.5) &= 242 - 121 \\ &= 121\end{aligned}

השטח; S(10)=40S(10) = 40

x=5.5x = 5.5 אינו שלם, וזה בסדר: אורך יכול להיות כל מספר חיובי. השטח 121121 הוא יותר מחצי משטח המלבן (240240).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

המרחק מ-A(9, 0) לנקודה P על y = √(4x)
AP0123456789101112-101234567xy
P היא נקודה כללית על הגרף.

מהו המרחק הקטן ביותר בין הנקודה A(9, 0)A(9,\,0) לבין הגרף y=4xy = \sqrt{4x}, כמו בשרטוט? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5.66

Corrigé :

d(x)=(x−9)2+4x=x2−14x+81\begin{aligned}d(x) &= \sqrt{(x - 9)^2 + 4x} \\ &= \sqrt{x^2 - 14x + 81}\end{aligned}

נוסחת המרחק

d′(x)=2x−142x2−14x+81d'(x) = \frac{2x - 14}{2\sqrt{x^2 - 14x + 81}}

נגזרת של שורש

d′(x)=0 ⇒ x=7\begin{aligned}d'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 7\end{aligned}

מ-−- ל-++: מינימום

d(7)=49−98+81=32=42≈5.66\begin{aligned}d(7) &= \sqrt{49 - 98 + 81} \\ &= \sqrt{32} \\ &= 4\sqrt{2} \approx 5.66\end{aligned}

המרחק

התשובה המדויקת 424\sqrt{2}. מי שעונה 32\sqrt{32} בלי לחשב, או מעגל ל-5.65.6, מאבד את הספרה השנייה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מלבן ברביע הראשון, P על הגרף y = √(27 − x)
P03691215182124270123456xy
צלע אחת על כל ציר, והקודקוד P על הגרף.

מלבן ברביע הראשון: שתי צלעות שלו על הצירים, והקודקוד PP על הגרף y=27−xy = \sqrt{27 - x}, כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 54

Corrigé :

S(x)=x27−x0<x<27\begin{aligned}S(x) &= x\sqrt{27 - x} \\ \quad 0 < x < 27\end{aligned}

רוחב xx, גובה 27−x\sqrt{27 - x}

S′(x)=27−x−x227−x=54−3x227−x\begin{aligned}S'(x) &= \sqrt{27 - x} - \frac{x}{2\sqrt{27 - x}} \\ &= \frac{54 - 3x}{2\sqrt{27 - x}}\end{aligned}

כלל המכפלה

S′(x)=0 ⇒ x=18\begin{aligned}S'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 18\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

S(18)=18⋅3=54\begin{aligned}S(18) &= 18 \cdot 3 \\ &= 54\end{aligned}

השטח

מכנה משותף הופך את הנגזרת לשבר אחד, והסימן נקבע לפי המונה 54−3x54 - 3x.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

במלון באילת 6060 חדרים. במחיר 400400 שקלים ללילה כל החדרים מלאים, וכל העלאה של 2020 שקלים משאירה חדר אחד ריק. ההנהלה מחליטה לא להעלות את המחיר יותר מ-1515 פעמים. מהי ההכנסה הגדולה ביותר ללילה, בשקלים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 31500

Corrigé :

R(x)=(400+20x)(60−x)0≤x≤15\begin{aligned}R(x) &= (400 + 20x)(60 - x) \\ \quad 0 \le x \le 15\end{aligned}

התחום סגור

R′(x)=800−40x=0 ⇒ x=20∉[0,15]\begin{aligned}R'(x) &= 800 - 40x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 20 \notin [0, 15]\end{aligned}

הנקודה החשודה מחוץ לתחום

R′(x)>0 בכל 0≤x≤15R'(x) > 0 \ \text{בכל} \ 0 \le x \le 15

ההכנסה עולה

R(15)=700⋅45=31500\begin{aligned}R(15) &= 700 \cdot 45 \\ &= 31500\end{aligned}

בקצה

מי שעונה 3200032000 השתמש ב-2020 העלאות, שאסורות כאן. ההכנסה עולה בכל התחום, ולכן היא הגדולה ביותר בקצה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

xx ו-yy מספרים חיוביים, ו-x+y=18x + y = 18. מהו הערך הגדול ביותר של x⋅y2x \cdot y^2?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 864

Corrigé :

P(x)=x(18−x)20<x<18\begin{aligned}P(x) &= x(18 - x)^2 \\ \quad 0 < x < 18\end{aligned}

מסלקים את yy

P′(x)=(18−x)2−2x(18−x)=(18−x)(18−3x)\begin{aligned}P'(x) &= (18 - x)^2 - 2x(18 - x) \\ &= (18 - x)(18 - 3x)\end{aligned}

כלל המכפלה

x=6(x=18∉(0,18))x = 6 \quad (x = 18 \notin (0, 18))

מ-++ ל-−-: מקסימום

P(6)=6⋅122=864\begin{aligned}P(6) &= 6 \cdot 12^2 \\ &= 864\end{aligned}

המספרים 66 ו-1212

המספרים במקסימום אינם שווים: y=2xy = 2x. ו-x=18x = 18 נותן y=0y = 0 ומכפלה 00.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

גיליון 30 על 14, ובכל פינה נגזר ריבוע שצלעו x
xxxx030014

מגיליון קרטון שממדיו 3030 ס״מ על 1414 ס״מ גוזרים בכל פינה ריבוע שצלעו xx ס״מ, ומקפלים לתיבה פתוחה, כמו בשרטוט. מהו תחום ההגדרה של הבעיה?

  1. 0<x<140 < x < 14
  2. 0<x<300 < x < 30
  3. 0<x<150 < x < 15
  4. 0<x<70 < x < 7
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 0<x<70 < x < 7

Corrigé :

30−2x>0 ⇒ x<1530 - 2x > 0 \ \Rightarrow \ x < 15

הצלע הארוכה

14−2x>0 ⇒ x<714 - 2x > 0 \ \Rightarrow \ x < 7

הצלע הקצרה

0<x<70 < x < 7

שני התנאים יחד

הנכונה: 0<x<70 < x < 7. שתי צלעות הבסיס חייבות להיות חיוביות, ולכן הצלע הקצרה קובעת. 0<x<150 < x < 15 בודק רק את הארוכה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

גיליון 30 על 14, ובכל פינה נגזר ריבוע שצלעו x
xxxx030014

מגיליון קרטון שממדיו 3030 ס״מ על 1414 ס״מ גוזרים בכל פינה ריבוע שצלעו xx ס״מ, ומקפלים לתיבה פתוחה, כמו בשרטוט. מהו הנפח הגדול ביותר של התיבה (בסמ״ק)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 576

Corrigé :

V(x)=x(30−2x)(14−2x)=4x3−88x2+420x0<x<7\begin{aligned}V(x) &= x(30 - 2x)(14 - 2x) \\ &= 4x^3 - 88x^2 + 420x \\ \quad 0 < x < 7\end{aligned}

הנפח והתחום

V′(x)=12x2−176x+420=4(3x−35)(x−3)\begin{aligned}V'(x) &= 12x^2 - 176x + 420 \\ &= 4(3x - 35)(x - 3)\end{aligned}

גזירה ופירוק

x=3(x=353∉(0,7))x = 3 \quad \left(x = \tfrac{35}{3} \notin (0, 7)\right)

מ-++ ל-−-: מקסימום

V(3)=3⋅24⋅8=576\begin{aligned}V(3) &= 3 \cdot 24 \cdot 8 \\ &= 576\end{aligned}

הנפח

המשוואה נותנת שני פתרונות, והתחום פוסל את 353\frac{35}{3}. הבסיס הוא 24×824 \times 8.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

f(x) = 6√x ו-g(x) = x
ABfg0481216202428323604812162024283236xy
A על f ו-B על g, באותו x. הגרפים נחתכים ב-x = 0 וב-x = 36.

נתונות f(x)=6xf(x) = 6\sqrt{x} ו-g(x)=xg(x) = x. ישר המקביל לציר ה-yy חותך את ff ב-AA ואת gg ב-BB, בתחום 0≤x≤360 \le x \le 36, כמו בשרטוט. מהו האורך הגדול ביותר של ABAB?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

L(x)=6x−x0≤x≤36\begin{aligned}L(x) &= 6\sqrt{x} - x \\ \quad 0 \le x \le 36\end{aligned}

f(9)=18>g(9)=9f(9) = 18 > g(9) = 9: ff העליון

L′(x)=3x−1L'(x) = \frac{3}{\sqrt{x}} - 1

נגזרת של שורש

L′(x)=0 ⇒ x=3 ⇒ x=9\begin{aligned}L'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{x} \\ &= 3 \ \Rightarrow \ x \\ &= 9\end{aligned}

בתוך התחום

L(9)=18−9=9L(0)=L(36)=0\begin{aligned}L(9) &= 18 - 9 \\ &= 9 \\ \quad L(0) &= L(36) \\ &= 0\end{aligned}

משווים לקצוות

הנגזרת של 6x6\sqrt{x} היא 62x=3x\frac{6}{2\sqrt{x}} = \frac{3}{\sqrt{x}}. מי שכותב 6x\frac{6}{\sqrt{x}} מקבל x=36x = 36, ושם האורך 00.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

ABCD
הקטע המודגש AD הוא הקיר, ואורכו 20 מ׳. AB = CD = x.

גודרים חלקה צמודה לקיר, כמו בשרטוט, עם 6060 מ׳ גדר. אורך הקיר ADAD הוא 2020 מ׳ בלבד, ולכן BC≤20BC \le 20. הוכיחו או הפריכו: השטח הגדול ביותר מתקבל כש-AB=15AB = 15 מ׳.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

BC=60−2x≤20 ⇒ x≥20BC = 60 - 2x \le 20 \ \Rightarrow \ x \ge 20

הקיר מגביל

S′(x)=60−4x=0 ⇒ x=15∉[20,30)\begin{aligned}S'(x) &= 60 - 4x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 15 \notin [20, 30)\end{aligned}

הנקודה החשודה מחוץ לתחום

S′(x)=60−4x<0 ל-x≥20S'(x) = 60 - 4x < 0 \ \text{ל-} x \ge 20

השטח יורד בכל התחום

S(20)=20⋅20=400\begin{aligned}S(20) &= 20 \cdot 20 \\ &= 400\end{aligned}

המקסימום בקצה x=20x = 20

הטענה לא נכונה. ב-AB=15AB = 15 הצלע BC=30BC = 30, ארוכה מהקיר. השטח הגדול ביותר מתקבל ב-AB=20AB = 20, והוא 400400 מ״ר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

חברה משקיעה בפרסום xx אלפי שקלים, והפרסום מביא הכנסה נוספת של 20x20\sqrt{x} אלפי שקלים. לכל אלף שקלים של השקעה יש עוד הוצאה של אלף שקלים על עיצוב, ולכן ההוצאה הכוללת היא 2x2x אלפי שקלים. מהו הרווח הנקי הגדול ביותר, באלפי שקלים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 50

Corrigé :

R(x)=20x−2xx≥0\begin{aligned}R(x) &= 20\sqrt{x} - 2x \\ \quad x \ge 0\end{aligned}

ההכנסה פחות ההוצאה

R′(x)=10x−2R'(x) = \frac{10}{\sqrt{x}} - 2

נגזרת של שורש

R′(x)=0 ⇒ x=5 ⇒ x=25\begin{aligned}R'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{x} \\ &= 5 \ \Rightarrow \ x \\ &= 25\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

R(25)=100−50=50\begin{aligned}R(25) &= 100 - 50 \\ &= 50\end{aligned}

הרווח

ההשקעה היא 2525 אלף, והרווח 5050 אלף. מציבים ב-RR, לא ב-20x20\sqrt{x} לבד.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe