Série 4 — avancé

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות מתקדמות: מרחק שבו יש שלוש נקודות חשודות, משולש מתחת לפרבולה, מחיר שהביקוש תלוי בו, משולש שווה שוקיים עם שורש, ותחום סגור.

כשיש כמה נקודות חשודות, חשבו את הערך בכל אחת, ובתחום סגור גם בקצוות. התשובה היא הגדול או הקטן מביניהם.

Exercices

Exercice 1

המרחק מ-A(0, 4.25) לנקודה P על y = x²

מהו המרחק הקטן ביותר בין הנקודה A(0, 4.25)A(0,\,4.25) לבין הגרף y=x2y = x^2, כמו בשרטוט?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

d(x)=x2+(x2−4.25)2=x4−7.5x2+18.0625\begin{aligned}d(x) &= \sqrt{x^2 + (x^2 - 4.25)^2} \\ &= \sqrt{x^4 - 7.5x^2 + 18.0625}\end{aligned}

נקודה על הגרף: (x, x2)(x,\,x^2)

d′(x)=4x3−15x2x4−7.5x2+18.0625d'(x) = \frac{4x^3 - 15x}{2\sqrt{x^4 - 7.5x^2 + 18.0625}}

נגזרת של שורש

x(4x2−15)=0 ⇒ x=0 x2=3.75\begin{aligned}x(4x^2 - 15) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x^2 &= 3.75\end{aligned}

שלוש נקודות חשודות

d(0)=4.25d=3.75+0.25=2 ב-x2=3.75\begin{aligned}d(0) &= 4.25 \\ \quad d &= \sqrt{3.75 + 0.25} \\ &= 2 \ \text{ב-} x^2 \\ &= 3.75\end{aligned}

משווים

ב-x=0x = 0 המרחק 4.254.25: שם יש מקסימום מקומי, לא מינימום. המרחק הקטן ביותר 22.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

ABCDEFGH
AD הוא הקיר. AB = EF = GH = CD = x, ושתי הגדרות EF ו-GH מחלקות את החלקה לשלוש חלקות.

גודרים חלקה צמודה לקיר, ומחלקים אותה בשתי גדרות לשלוש חלקות, כמו בשרטוט. לאורך הקיר ADAD לא גודרים. לרשותנו 160160 מ׳ גדר. מהו השטח הכולל הגדול ביותר (במ״ר)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1600

Corrigé :

4x+BC=160 ⇒ BC=160−4x\begin{aligned}4x + BC &= 160 \ \Rightarrow \ BC \\ &= 160 - 4x\end{aligned}

ארבע גדרות ניצבות לקיר

S(x)=x(160−4x)0<x<40\begin{aligned}S(x) &= x(160 - 4x) \\ \quad 0 < x < 40\end{aligned}

השטח והתחום

S′(x)=160−8x=0 ⇒ x=20\begin{aligned}S'(x) &= 160 - 8x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 20\end{aligned}

מקסימום

S(20)=20⋅80=1600\begin{aligned}S(20) &= 20 \cdot 80 \\ &= 1600\end{aligned}

השטח

שתי צלעות קצה ועוד שתי גדרות מחלקות: ארבע פעמים xx. מי שסופר שלוש מקבל BC=160−3xBC = 160 - 3x.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

המשולש OAP, והנקודה P על y = 9 − x²

הנקודה PP נמצאת על הגרף y=9−x2y = 9 - x^2 ברביע הראשון. AA היא ההיטל של PP על ציר ה-xx, ו-OO היא ראשית הצירים, כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המשולש OAPOAP? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5.2

Corrigé :

S(x)=12x(9−x2)=4.5x−0.5x30<x<3\begin{aligned}S(x) &= \tfrac{1}{2} x(9 - x^2) \\ &= 4.5x - 0.5x^3 \\ \quad 0 < x < 3\end{aligned}

משולש ישר זווית: ניצבים xx ו-9−x29 - x^2

S′(x)=4.5−1.5x2=0 ⇒ x=3\begin{aligned}S'(x) &= 4.5 - 1.5x^2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \sqrt{3}\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

S(3)=123⋅6=33≈5.20\begin{aligned}S(\sqrt{3}) &= \tfrac{1}{2}\sqrt{3} \cdot 6 \\ &= 3\sqrt{3} \approx 5.20\end{aligned}

השטח

במשולש ישר זווית השטח הוא חצי מכפלת הניצבים. מי ששוכח את החצי מקבל 10.3910.39.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

חנות מוכרת מוצר במחיר pp שקלים, וכמות המכירות היא 300−5p300 - 5p יחידות בשבוע. כל יחידה עולה לחנות 2020 שקלים. א. באיזה מחיר הרווח השבועי הגדול ביותר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 40

Corrigé :

P(p)=(p−20)(300−5p)20≤p≤60\begin{aligned}P(p) &= (p - 20)(300 - 5p) \\ \quad 20 \le p \le 60\end{aligned}

רווח ליחידה כפול כמות. הכמות אי-שלילית

P′(p)=(300−5p)−5(p−20)=400−10p\begin{aligned}P'(p) &= (300 - 5p) - 5(p - 20) \\ &= 400 - 10p\end{aligned}

כלל המכפלה

P′(p)=0 ⇒ p=40\begin{aligned}P'(p) &= 0 \ \Rightarrow \ p \\ &= 40\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

כאן המשתנה הוא המחיר עצמו, לא ההורדה. התחום: לא מוכרים מתחת לעלות, והכמות לא שלילית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

חנות מוכרת מוצר במחיר pp שקלים, וכמות המכירות היא 300−5p300 - 5p יחידות בשבוע. כל יחידה עולה לחנות 2020 שקלים. ב. מהו הרווח השבועי הגדול ביותר, בשקלים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2000

Corrigé :

p=40p = 40

מסעיף א

P(40)=20⋅100=2000\begin{aligned}P(40) &= 20 \cdot 100 \\ &= 2000\end{aligned}

רווח ליחידה 2020, ו-100100 יחידות

ההכנסה היא 40⋅100=400040 \cdot 100 = 4000. הרווח קטן ממנה, כי מחסרים את העלות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

BCAD
AB = AC = 10, BD = DC = x, ו-AD הגובה לבסיס.

במשולש שווה שוקיים ABCABC השוקיים AB=AC=10AB = AC = 10, והבסיס BC=2xBC = 2x, כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המשולש?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 50

Corrigé :

AD=100−x2AD = \sqrt{100 - x^2}

הגובה לבסיס חוצה אותו; משפט פיתגורס במשולש ADCADC

S(x)=12⋅2x⋅100−x2=x100−x20<x<10\begin{aligned}S(x) &= \tfrac{1}{2} \cdot 2x \cdot \sqrt{100 - x^2} \\ &= x\sqrt{100 - x^2} \\ \quad 0 < x < 10\end{aligned}

השטח והתחום

S′(x)=100−2x2100−x2=0 ⇒ x=52\begin{aligned}S'(x) &= \frac{100 - 2x^2}{\sqrt{100 - x^2}} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\sqrt{2}\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

S=52⋅50=50\begin{aligned}S &= 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{50} \\ &= 50\end{aligned}

השטח

במקסימום הזווית AA ישרה: BC=102BC = 10\sqrt{2}, בדיוק לפי משפט פיתגורס. הבסיס הוא 2x2x, לא xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

ידוע ש-x+y=6x + y = 6 ו-1≤x≤51 \le x \le 5. מהו הערך הגדול ביותר של x3+y3x^3 + y^3?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 126

Corrigé :

f(x)=x3+(6−x)3=18x2−108x+216\begin{aligned}f(x) &= x^3 + (6 - x)^3 \\ &= 18x^2 - 108x + 216\end{aligned}

מסלקים את yy ופותחים

f′(x)=36x−108=0 ⇒ x=3\begin{aligned}f'(x) &= 36x - 108 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

בתוך התחום

f(3)=54f(1)=1+125=126f(5)=125+1=126\begin{aligned}f(3) &= 54 \\ \quad f(1) &= 1 + 125 \\ &= 126 \\ \quad f(5) &= 125 + 1 \\ &= 126\end{aligned}

הנקודה החשודה והקצוות

max⁡=126\max = 126

בשני הקצוות

הנקודה החשודה x=3x = 3 היא מינימום. הערך הגדול ביותר בקצוות. מי שעונה 5454 לא השווה לקצוות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הנקודה PP נמצאת על הגרף y=xy = \sqrt{x}. מהו המרחק d(x)d(x) בין PP לבין הנקודה A(3, 0)A(3,\,0)?

  1. x2−6x+9\sqrt{x^2 - 6x + 9}
  2. x2−5x+9\sqrt{x^2 - 5x + 9}
  3. x−3+xx - 3 + \sqrt{x}
  4. x2+x+9\sqrt{x^2 + x + 9}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B x2−5x+9\sqrt{x^2 - 5x + 9}

Corrigé :

P=(x, x)P = \left(x,\,\sqrt{x}\right)

נקודה על הגרף

d2=(x−3)2+(x)2=x2−6x+9+x\begin{aligned}d^2 &= (x - 3)^2 + \left(\sqrt{x}\right)^2 \\ &= x^2 - 6x + 9 + x\end{aligned}

נוסחת המרחק

d(x)=x2−5x+9d(x) = \sqrt{x^2 - 5x + 9}

מכנסים

הנכונה: x2−5x+9\sqrt{x^2 - 5x + 9}. x2−6x+9\sqrt{x^2 - 6x + 9} שוכח את (x)2=x(\sqrt{x})^2 = x. ו-x−3+xx - 3 + \sqrt{x} מחבר הפרשים במקום נוסחת המרחק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הוכיחו או הפריכו: אם d(x)=g(x)d(x) = \sqrt{g(x)} ו-g(x)>0g(x) > 0, אז dd ו-gg מקבלות מינימום באותו xx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

d′(x)=g′(x)2g(x)d'(x) = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}

נגזרת של שורש

2g(x)>02\sqrt{g(x)} > 0

המכנה חיובי

סימן(d′)=סימן(g′)\text{סימן}(d') = \text{סימן}(g')

לנגזרות אותו סימן בכל xx

הטענה נכונה. הנגזרות מתאפסות באותן נקודות ומחליפות סימן באותו אופן. אבל הערך שונה: dmin=gmind_{min} = \sqrt{g_{min}}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

גיליון 36 על 36, ובכל פינה נגזר ריבוע שצלעו x
xxxx036036

מגיליון 36×3636 \times 36 בונים תיבה פתוחה, כמו בשרטוט. שורה אחת בפתרון שגויה. מצאו אותה.

V(x)=x(36−2x)2V(x) = x(36 - 2x)^2
0<x<360 < x < 36
V′(x)=(36−2x)(36−6x)V'(x) = (36 - 2x)(36 - 6x)
x=6V(6)=6⋅242=3456\begin{aligned}x &= 6 \\ \quad V(6) &= 6 \cdot 24^2 \\ &= 3456\end{aligned}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0<x<360 < x < 36 → 0<x<180 < x < 18

Corrigé :

36−2x>0 ⇒ x<1836 - 2x > 0 \ \Rightarrow \ x < 18

צלע הבסיס חיובית

x=18∉(0,18)x = 18 \notin (0, 18)

ולכן נשאר רק x=6x = 6

התחום נקבע לפי צלע הבסיס 36−2x36 - 2x, לא לפי אורך הגיליון. עם 0<x<360 < x < 36 גם x=18x = 18 נראה «חוקי».

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe