Série 5 — vers le bagrout

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שאלות בנוסח הבגרות. כל שאלה מחולקת לסעיפים א, ב, ג, וכל סעיף הוא תרגיל. הסעיפים של אותה שאלה מתחילים באותו נתון.

כתבו כמו בבחינה: סימון המשתנה במילים, הפונקציה, התחום, הנגזרת, טבלת סימנים, ותשובה עם יחידות.

Exercices

Exercice 1

חנות בגדים בבאר שבע מוכרת 150150 חולצות בחודש, במחיר 8080 שקלים לחולצה. כל חולצה עולה לחנות 4040 שקלים. כל הורדה של שקל אחד במחיר מוסיפה 55 חולצות למכירות. xx היא ההורדה בשקלים. א. מהי הפונקציה של הרווח החודשי?

  1. P(x)=(40−5x)(150+x)P(x) = (40 - 5x)(150 + x)
  2. P(x)=(40−x)(150+5x)P(x) = (40 - x)(150 + 5x)
  3. P(x)=(40−x)(150+x)P(x) = (40 - x)(150 + x)
  4. P(x)=(80−x)(150+5x)P(x) = (80 - x)(150 + 5x)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B P(x)=(40−x)(150+5x)P(x) = (40 - x)(150 + 5x)

Corrigé :

80−x−40=40−x80 - x - 40 = 40 - x

הרווח לחולצה

150+5x150 + 5x

מספר החולצות

P(x)=(40−x)(150+5x)P(x) = (40 - x)(150 + 5x)

הרווח

הנכונה: P(x)=(40−x)(150+5x)P(x) = (40 - x)(150 + 5x). (80−x)(150+5x)(80 - x)(150 + 5x) היא ההכנסה. ב-(40−5x)(150+x)(40 - 5x)(150 + x) החליפו בין ההורדה לתוספת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

חנות בגדים מוכרת 150150 חולצות בחודש, במחיר 8080 שקלים לחולצה. כל חולצה עולה לחנות 4040 שקלים. כל הורדה של שקל אחד במחיר מוסיפה 55 חולצות. ב. באיזה מחיר לחולצה הרווח החודשי הגדול ביותר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 75

Corrigé :

P(x)=(40−x)(150+5x)0≤x≤40\begin{aligned}P(x) &= (40 - x)(150 + 5x) \\ \quad 0 \le x \le 40\end{aligned}

מסעיף א, עם התחום

P′(x)=−(150+5x)+5(40−x)=50−10x\begin{aligned}P'(x) &= -(150 + 5x) + 5(40 - x) \\ &= 50 - 10x\end{aligned}

כלל המכפלה

P′(x)=0 ⇒ x=5\begin{aligned}P'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

80−5=7580 - 5 = 75

המחיר

התשובה היא המחיר 7575, לא ההורדה 55.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

חנות בגדים מוכרת 150150 חולצות בחודש, במחיר 8080 שקלים לחולצה. כל חולצה עולה לחנות 4040 שקלים. כל הורדה של שקל אחד במחיר מוסיפה 55 חולצות. ג. מהו הרווח החודשי הגדול ביותר, בשקלים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6125

Corrigé :

x=5x = 5

מסעיף ב

P(5)=35⋅175=6125\begin{aligned}P(5) &= 35 \cdot 175 \\ &= 6125\end{aligned}

רווח לחולצה 3535, ו-175175 חולצות

P(0)=6000P(40)=0\begin{aligned}P(0) &= 6000 \\ \quad P(40) &= 0\end{aligned}

בקצוות: פחות

ההורדה מוסיפה 125125 שקלים לחודש לעומת P(0)=6000P(0) = 6000. 75⋅175=1312575 \cdot 175 = 13125 היא ההכנסה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

ABCDPETQ
AB = 14, BC = 10. AP = CT = x, AQ = CE = x.

במלבן ABCDABCD, AB=14AB = 14 ו-BC=10BC = 10. על הצלעות נמצאות הנקודות P,E,T,QP, E, T, Q, כך ש-AP=AQ=CT=CE=xAP = AQ = CT = CE = x, כמו בשרטוט. PETQPETQ היא מקבילית. א. מצאו את xx שעבורו שטח המקבילית הגדול ביותר.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

S(x)=140−x2−(14−x)(10−x)=24x−2x2\begin{aligned}S(x) &= 140 - x^2 - (14 - x)(10 - x) \\ &= 24x - 2x^2\end{aligned}

המלבן פחות ארבעת המשולשים

0<x≤100 < x \le 10

תחום: QQ על ADAD, ולכן x≤10x \le 10

S′(x)=24−4x=0 ⇒ x=6\begin{aligned}S'(x) &= 24 - 4x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

בפינות AA ו-CC המשולשים שווי שוקיים, ושטח כל אחד x22\frac{x^2}{2}. יחד: x2x^2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

ABCDPETQ
AB = 14, BC = 10. AP = CT = x, AQ = CE = x.

במלבן ABCDABCD, AB=14AB = 14 ו-BC=10BC = 10. על הצלעות נמצאות הנקודות P,E,T,QP, E, T, Q, כך ש-AP=AQ=CT=CE=xAP = AQ = CT = CE = x, כמו בשרטוט. PETQPETQ היא מקבילית. ב. מהו השטח הגדול ביותר של המקבילית?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 72

Corrigé :

x=6x = 6

מסעיף א

S(6)=144−72=72\begin{aligned}S(6) &= 144 - 72 \\ &= 72\end{aligned}

On remplace (מציבים)

S(10)=240−200=40<72\begin{aligned}S(10) &= 240 - 200 \\ &= 40 < 72\end{aligned}

הקצה

מציבים ב-SS. בדיקה: המשולשים בפינות A,CA, C שטחם 1818 כל אחד, ובפינות B,DB, D שטחם 1616. 140−36−32=72140 - 36 - 32 = 72 ✓.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ABCDPETQ
AB = 14, BC = 10. AP = CT = x, AQ = CE = x.

במלבן ABCDABCD, AB=14AB = 14 ו-BC=10BC = 10. על הצלעות נמצאות הנקודות P,E,T,QP, E, T, Q, כך ש-AP=AQ=CT=CE=xAP = AQ = CT = CE = x, כמו בשרטוט. ג. הוכיחו או הפריכו: השטח הגדול ביותר של המקבילית PETQPETQ גדול מחצי משטח המלבן.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

Smax=72S_{max} = 72

מסעיף ב

12⋅140=70\tfrac{1}{2} \cdot 140 = 70

חצי משטח המלבן

72>7072 > 70

השוואה

הטענה נכונה, אבל בקושי: 7272 לעומת 7070. מי שמשווה לכל המלבן (140140) או שוכח את החצי, עונה על שאלה אחרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הנקודה PP נמצאת על הגרף y=2x+5y = \sqrt{2x + 5}, ו-AA היא הנקודה (6, 0)(6,\,0). d(x)d(x) הוא המרחק APAP. א. מהי הנגזרת d′(x)d'(x)?

  1. x−6x2−12x+36\frac{x - 6}{\sqrt{x^2 - 12x + 36}}
  2. 2x−10x2−10x+41\frac{2x - 10}{\sqrt{x^2 - 10x + 41}}
  3. x−5x2−10x+41\frac{x - 5}{\sqrt{x^2 - 10x + 41}}
  4. 12x2−10x+41\frac{1}{2\sqrt{x^2 - 10x + 41}}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C x−5x2−10x+41\frac{x - 5}{\sqrt{x^2 - 10x + 41}}

Corrigé :

d(x)=(x−6)2+2x+5=x2−10x+41\begin{aligned}d(x) &= \sqrt{(x - 6)^2 + 2x + 5} \\ &= \sqrt{x^2 - 10x + 41}\end{aligned}

נוסחת המרחק

d′(x)=2x−102x2−10x+41=x−5x2−10x+41\begin{aligned}d'(x) &= \frac{2x - 10}{2\sqrt{x^2 - 10x + 41}} \\ &= \frac{x - 5}{\sqrt{x^2 - 10x + 41}}\end{aligned}

נגזרת של שורש, ומצמצמים ב-22

הנכונה: x−5x2−10x+41\frac{x - 5}{\sqrt{x^2 - 10x + 41}}. 2x−10…\frac{2x - 10}{\sqrt{\ldots}} שוכח את ה-22 במכנה. 12…\frac{1}{2\sqrt{\ldots}} שוכח את הנגזרת הפנימית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

המרחק מ-A(6, 0) לנקודה P על y = √(2x + 5)
AP-3-2-1012345678910-112345xy
P היא נקודה כללית על הגרף. הגרף מתחיל ב-x = −2.5.

הנקודה PP נמצאת על הגרף y=2x+5y = \sqrt{2x + 5}, ו-AA היא הנקודה (6, 0)(6,\,0), כמו בשרטוט. ב. מצאו את שיעור ה-xx של הנקודה PP הקרובה ביותר ל-AA.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

x≥−2.5x \ge -2.5

תחום: 2x+5≥02x + 5 \ge 0

d′(x)=0 ⇒ x=5\begin{aligned}d'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

בתוך התחום

d′(4)<0,d′(6)>0d'(4) < 0 ,\quad d'(6) > 0

מ-−- ל-++: מינימום

המכנה x2−10x+41\sqrt{x^2 - 10x + 41} חיובי תמיד, ולכן הסימן נקבע לפי x−5x - 5 בלבד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

המרחק מ-A(6, 0) לנקודה P על y = √(2x + 5)
AP-3-2-1012345678910-112345xy
P היא נקודה כללית על הגרף. הגרף מתחיל ב-x = −2.5.

הנקודה PP נמצאת על הגרף y=2x+5y = \sqrt{2x + 5}, ו-AA היא הנקודה (6, 0)(6,\,0), כמו בשרטוט. ג. מהו המרחק הקטן ביותר בין AA לבין הגרף?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

x=5x = 5

מסעיף ב

d(5)=25−50+41=16=4\begin{aligned}d(5) &= \sqrt{25 - 50 + 41} \\ &= \sqrt{16} \\ &= 4\end{aligned}

מציבים ב-dd

P=(5, 15)P = \left(5,\,\sqrt{15}\right)

הנקודה הקרובה ביותר

בדיקה: (5−6)2+(15)2=1+15=16(5 - 6)^2 + (\sqrt{15})^2 = 1 + 15 = 16 ✓. הנקודה (6, 17)(6,\,\sqrt{17}) שמעל AA רחוקה יותר: 17>4\sqrt{17} > 4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

הקטע AB על הישר x = k, כש-1 ≤ k ≤ 3
ABfg012340246810121416xy
A על f ו-B על g, באותו x. הקווים המקווקווים הם x = 1 ו-x = 3.

נתונות f(x)=−x2+8xf(x) = -x^2 + 8x ו-g(x)=x2g(x) = x^2. הישר x=kx = k חותך את ff ב-AA ואת gg ב-BB, כאשר 1≤k≤31 \le k \le 3, כמו בשרטוט. מהו האורך הקטן ביותר של הקטע ABAB?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

L(k)=f(k)−g(k)=−2k2+8k1≤k≤3\begin{aligned}L(k) &= f(k) - g(k) \\ &= -2k^2 + 8k \\ \quad 1 \le k \le 3\end{aligned}

תחום סגור

L′(k)=−4k+8=0 ⇒ k=2\begin{aligned}L'(k) &= -4k + 8 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ k \\ &= 2\end{aligned}

שם מקסימום: L(2)=8L(2) = 8

L(1)=6L(3)=−18+24=6\begin{aligned}L(1) &= 6 \\ \quad L(3) &= -18 + 24 \\ &= 6\end{aligned}

הקצוות

min⁡=6\min = 6

בשני הקצוות

הנקודה החשודה נותנת את האורך הגדול ביותר. את הקטן ביותר מוצאים רק בקצוות, ולכן בתחום סגור בודקים אותם תמיד.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe