Entraînement

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשרה תרגילים על כל הפרק: מספרים, גאומטריה, גרפים וכלכלה, בתחום פתוח ובתחום סגור. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

Exercices

Série A — Facile

Exercice 1

סכום של שני מספרים חיוביים הוא 1414. מהי המכפלה הגדולה ביותר שלהם?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 49

Corrigé :

P(x)=x(14−x)0<x<14\begin{aligned}P(x) &= x(14 - x) \\ \quad 0 < x < 14\end{aligned}
P′(x)=14−2x=0 ⇒ x=7\begin{aligned}P'(x) &= 14 - 2x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 7\end{aligned}

מקסימום

P(7)=49P(7) = 49

המכפלה

התשובה היא המכפלה 4949, לא x=7x = 7.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

ABCD
היקף המלבן ABCD הוא 32 ס״מ. AB = x.

היקף המלבן ABCDABCD הוא 3232 ס״מ, כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן (בסמ״ר)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 64

Corrigé :

S(x)=x(16−x)0<x<16\begin{aligned}S(x) &= x(16 - x) \\ \quad 0 < x < 16\end{aligned}

חצי היקף 1616

S′(x)=16−2x=0 ⇒ x=8\begin{aligned}S'(x) &= 16 - 2x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 8\end{aligned}

מקסימום

S(8)=64S(8) = 64

ריבוע 8×88 \times 8

חצי ההיקף הוא 1616, לא 3232.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

בפתרון של בעיית קיצון כתבתם את הגודל המבוקש כפונקציה של xx. מה השלב הבא?

  1. סימון המשתנה
  2. תחום ההגדרה של הבעיה
  3. בדיקת סוג הקיצון
  4. גזירה והשוואה לאפס
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B תחום ההגדרה של הבעיה

Corrigé :

1→2→3→4→51 \to 2 \to 3 \to 4 \to 5

סימון, הבעה, תחום, גזירה, סוג ותשובה

הנכונה: תחום ההגדרה של הבעיה. התחום בא לפני הגזירה, כי הוא מחליט אילו פתרונות של f′(x)=0f'(x) = 0 נשארים.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ב — בינוני

Exercice 4

ABCD
הקטע המודגש AD הוא הקיר, ולאורכו לא גודרים. AB = CD = x.

גודרים חלקה צמודה לקיר, כמו בשרטוט. לאורך הקיר ADAD לא גודרים, ולרשותנו 120120 מ׳ גדר. מהו השטח הגדול ביותר של החלקה (במ״ר)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1800

Corrigé :

S(x)=x(120−2x)0<x<60\begin{aligned}S(x) &= x(120 - 2x) \\ \quad 0 < x < 60\end{aligned}

BC=120−2xBC = 120 - 2x

S′(x)=120−4x=0 ⇒ x=30\begin{aligned}S'(x) &= 120 - 4x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 30\end{aligned}

מקסימום

S(30)=30⋅60=1800\begin{aligned}S(30) &= 30 \cdot 60 \\ &= 1800\end{aligned}

השטח

שתי צלעות ניצבות לקיר ואחת מקבילה לו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

לטיול מאורגן לגליל יש 8080 מקומות באוטובוס, במחיר 100100 שקלים למקום, וכולם נמכרים. כל העלאה של 1010 שקלים במחיר מורידה 44 משתתפים. מהי ההכנסה הגדולה ביותר, בשקלים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9000

Corrigé :

R(x)=(100+10x)(80−4x)0≤x≤20\begin{aligned}R(x) &= (100 + 10x)(80 - 4x) \\ \quad 0 \le x \le 20\end{aligned}

xx מספר ההעלאות

R′(x)=10(80−4x)−4(100+10x)=400−80x\begin{aligned}R'(x) &= 10(80 - 4x) - 4(100 + 10x) \\ &= 400 - 80x\end{aligned}

כלל המכפלה

R′(x)=0 ⇒ x=5\begin{aligned}R'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

מקסימום

R(5)=150⋅60=9000\begin{aligned}R(5) &= 150 \cdot 60 \\ &= 9000\end{aligned}

מחיר 150150, 6060 משתתפים

אוטובוס מלא נותן רק 80008000. ההכנסה הגדולה ביותר מתקבלת עם 2020 מקומות ריקים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מלבן מתחת לגרף y = 48 − x²

הקודקודים PP ו-QQ של מלבן נמצאים על הגרף y=48−x2y = 48 - x^2, ושני הקודקודים האחרים על ציר ה-xx, כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 256

Corrigé :

S(x)=2x(48−x2)=96x−2x30<x<48\begin{aligned}S(x) &= 2x(48 - x^2) \\ &= 96x - 2x^3 \\ \quad 0 < x < \sqrt{48}\end{aligned}

רוחב 2x2x

S′(x)=96−6x2=0 ⇒ x=4\begin{aligned}S'(x) &= 96 - 6x^2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

מקסימום

S(4)=8⋅32=256\begin{aligned}S(4) &= 8 \cdot 32 \\ &= 256\end{aligned}

השטח

הרוחב 2x2x. מי שכותב x(48−x2)x(48 - x^2) מקבל 128128.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מהו הערך הקטן ביותר של הביטוי x−6xx - 6\sqrt{x}?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -9

Corrigé :

f′(x)=1−3xx>0\begin{aligned}f'(x) &= 1 - \frac{3}{\sqrt{x}} \\ \quad x > 0\end{aligned}

נגזרת של שורש

f′(x)=0 ⇒ x=3 ⇒ x=9\begin{aligned}f'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{x} \\ &= 3 \ \Rightarrow \ x \\ &= 9\end{aligned}

מ-−- ל-++: מינימום

f(9)=9−18=−9\begin{aligned}f(9) &= 9 - 18 \\ &= -9\end{aligned}

La valeur

הערך הקטן ביותר −9-9 ומתקבל ב-x=9x = 9. אל תבלבלו בין השניים.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ג — מאתגר

Exercice 8

גיליון 21 על 16, ובכל פינה נגזר ריבוע שצלעו x
xxxx021016

מגיליון קרטון שממדיו 2121 ס״מ על 1616 ס״מ גוזרים בכל פינה ריבוע שצלעו xx ס״מ, ומקפלים לתיבה פתוחה, כמו בשרטוט. מהו הנפח הגדול ביותר של התיבה (בסמ״ק)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 450

Corrigé :

V(x)=x(21−2x)(16−2x)=4x3−74x2+336x0<x<8\begin{aligned}V(x) &= x(21 - 2x)(16 - 2x) \\ &= 4x^3 - 74x^2 + 336x \\ \quad 0 < x < 8\end{aligned}

התחום לפי הצלע הקצרה

V′(x)=12x2−148x+336=4(3x−28)(x−3)\begin{aligned}V'(x) &= 12x^2 - 148x + 336 \\ &= 4(3x - 28)(x - 3)\end{aligned}

גזירה ופירוק

x=3(x=283∉(0,8))x = 3 \quad \left(x = \tfrac{28}{3} \notin (0, 8)\right)

מקסימום

V(3)=3⋅15⋅10=450\begin{aligned}V(3) &= 3 \cdot 15 \cdot 10 \\ &= 450\end{aligned}

הנפח

התחום פוסל את 283\frac{28}{3}: שם 16−2x<016 - 2x < 0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

המרחק מ-A(2.5, 0) לנקודה P על y = √x
AP0123456-0.500.511.522.5xy
P היא נקודה כללית על הגרף.

מהו המרחק הקטן ביותר בין הנקודה A(2.5, 0)A(2.5,\,0) לבין הגרף y=xy = \sqrt{x}, כמו בשרטוט? כתבו תשובה עשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.5

Corrigé :

d(x)=(x−2.5)2+x=x2−4x+6.25\begin{aligned}d(x) &= \sqrt{(x - 2.5)^2 + x} \\ &= \sqrt{x^2 - 4x + 6.25}\end{aligned}

נוסחת המרחק

d′(x)=2x−42x2−4x+6.25d'(x) = \frac{2x - 4}{2\sqrt{x^2 - 4x + 6.25}}

נגזרת של שורש

d′(x)=0 ⇒ x=2\begin{aligned}d'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

מ-−- ל-++: מינימום

d(2)=4−8+6.25=2.25=1.5\begin{aligned}d(2) &= \sqrt{4 - 8 + 6.25} \\ &= \sqrt{2.25} \\ &= 1.5\end{aligned}

המרחק

הנקודה הקרובה ביותר (2, 2)(2,\,\sqrt{2}). המרחק מ-AA לראשית הוא 2.52.5, יותר מ-1.51.5.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

חנות מוכרת 100100 יחידות בשבוע, במחיר 4545 שקלים ליחידה. כל יחידה עולה לה 2020 שקלים. כל הורדה של שקל אחד במחיר מוסיפה 1010 יחידות. אסור להוריד את המחיר ביותר מ-55 שקלים. מהו הרווח השבועי הגדול ביותר, בשקלים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3000

Corrigé :

P(x)=(25−x)(100+10x)0≤x≤5\begin{aligned}P(x) &= (25 - x)(100 + 10x) \\ \quad 0 \le x \le 5\end{aligned}

תחום סגור

P′(x)=150−20x=0 ⇒ x=7.5∉[0,5]\begin{aligned}P'(x) &= 150 - 20x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 7.5 \notin [0, 5]\end{aligned}

מחוץ לתחום

P′(x)>0 בכל התחוםP'(x) > 0 \ \text{בכל התחום}

הרווח עולה

P(5)=20⋅150=3000\begin{aligned}P(5) &= 20 \cdot 150 \\ &= 3000\end{aligned}

בקצה

ב-x=7.5x = 7.5 הרווח היה גדול יותר, אבל ההורדה הזאת אסורה. בתחום סגור התשובה יכולה להיות בקצה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe