Les cinq étapes : problèmes de nombres

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

סכום של שני מספרים חיוביים הוא 1616. מהי המכפלה הגדולה ביותר שלהם? נסו כמה זוגות: 1⋅15=151 \cdot 15 = 15, 4⋅12=484 \cdot 12 = 48, 8⋅8=648 \cdot 8 = 64, 12⋅4=4812 \cdot 4 = 48. המכפלה עולה, מגיעה לשיא ויורדת. כל זוג הוא נקודה על גרף, והשיא של הגרף הוא התשובה.

המכפלה P(x) = x(16 − x) כשסכום שני המספרים 16
(1,15)(4,48)(8,64)(12,48)(15,15)0246810121416010203040506070xy
על ציר ה-xx המספר הראשון, ועל ציר ה-yy המכפלה P(x)=x(16−x)P(x) = x(16 - x). בשיא הגרף המשיק אופקי, ושם P′(x)=0P'(x) = 0.

לפי הגרף: באיזה xx המכפלה הגדולה ביותר? ומה קורה למכפלה כש-xx מתקרב ל-00 או ל-1616?

Voir la réponse et le corrigé

השיא ב-x=8x = 8, והמכפלה 6464. בשני הקצוות המכפלה מתקרבת ל-00, כי אחד המספרים כמעט 00. המספרים חיוביים, ולכן x=0x = 0 ו-x=16x = 16 אינם מותרים. התחום פתוח: 0<x<160 < x < 16.

חמשת השלבים, תמיד באותו סדר

11

סימון המשתנה. בוחרים משתנה xx וכותבים במילים מה הוא: «xx — המספר הראשון».

22

הבעת הגודל כפונקציה. כותבים את הגודל שרוצים להגדיל או להקטין באמצעות xx בלבד. אם יש משתנה שני, מסלקים אותו בעזרת הנתון הקבוע: y=16−xy = 16 - x.

33

תחום ההגדרה של הבעיה. אילו ערכי xx אפשריים בסיפור? תחום פתוח כשהקצה אסור, תחום סגור כשגם הקצה אפשרי.

44

גזירה והשוואה לאפס. גוזרים, פותרים f′(x)=0f'(x) = 0, ומשאירים רק פתרונות בתוך התחום.

55

בדיקת סוג הקיצון ותשובה לשאלה. טבלת סימנים של f′f' (ובתחום סגור: השוואה לערכים בקצוות). אחר כך עונים על מה שנשאל: המספר, או הערך.

המכפלה הגדולה ביותר, בחמישה שלבים

סכום של שני מספרים חיוביים הוא 1616. מצאו את המכפלה הגדולה ביותר שלהם.

x ,  16−xx \ ,\ \ 16 - x

שלב 1: xx המספר הראשון, ולכן השני 16−x16 - x

P(x)=x(16−x)=16x−x2\begin{aligned}P(x) &= x(16 - x) \\ &= 16x - x^2\end{aligned}

שלב 2: המכפלה באמצעות xx בלבד

0<x<160 < x < 16

שלב 3: שני המספרים חיוביים

P′(x)=16−2x=0 ⇒ x=8\begin{aligned}P'(x) &= 16 - 2x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 8\end{aligned}

שלב 4: ו-88 בתוך התחום

P(8)=8⋅8=64\begin{aligned}P(8) &= 8 \cdot 8 \\ &= 64\end{aligned}

שלב 5: אחרי טבלת הסימנים שלמטה, המכפלה הגדולה ביותר היא 6464

מספר והחזקה השנייה שלו

מהו המספר xx שעבורו ההפרש x−x2x - x^2 הגדול ביותר? כאן יש מספר אחד בלבד, ולכן שלבים 1 ו-2 נכתבים בשורה אחת: f(x)=x−x2f(x) = x - x^2. אין הגבלה על xx, והתחום הוא כל xx.

גזרו, ומצאו את xx ואת ההפרש הגדול ביותר.

Voir la réponse et le corrigé

f′(x)=1−2x=0f'(x) = 1 - 2x = 0, ולכן x=12x = \frac{1}{2}. משמאל הנגזרת חיובית ומימין שלילית: מקסימום. f(12)=12−14=14f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}.

(x)′=12x(f(x))′=f′(x)2f(x)\begin{aligned}(\sqrt{x})' &= \frac{1}{2\sqrt{x}} \qquad \left(\sqrt{f(x)}\right)' \\ &= \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}\end{aligned}

גם שורש יכול להופיע בבעיה, למשל ההפרש x−x\sqrt{x} - x. גוזרים אותו לפי שני הכללים האלה.

תחום סגור: משווים גם לקצוות

לפעמים הבעיה מגבילה את המשתנה כולל הקצוות, למשל «xx בין 22 ל-77». אז התחום סגור, 2≤x≤72 \le x \le 7, ושלב 5 משתנה: מחשבים את הגודל בנקודות החשודות שבתוך התחום וגם בשני הקצוות, ובוחרים את הגדול ביותר או את הקטן ביותר.

הערך הגדול והקטן ביותר בתחום סגור

ידוע ש-x+y=10x + y = 10 ו-2≤x≤72 \le x \le 7. מצאו את הערך הקטן ביותר ואת הערך הגדול ביותר של x2+y2x^2 + y^2.

f(x)=x2+(10−x)2=2x2−20x+100\begin{aligned}f(x) &= x^2 + (10 - x)^2 \\ &= 2x^2 - 20x + 100\end{aligned}

שלבים 1 ו-2: y=10−xy = 10 - x

2≤x≤72 \le x \le 7

שלב 3: תחום סגור

f′(x)=4x−20=0 ⇒ x=5\begin{aligned}f'(x) &= 4x - 20 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

שלב 4: 55 בתוך התחום

f(5)=50f(2)=68f(7)=58\begin{aligned}f(5) &= 50 \\ \quad f(2) &= 68 \\ \quad f(7) &= 58\end{aligned}

שלב 5: הנקודה החשודה ושני הקצוות

min⁡=50 (x=5)max⁡=68 (x=2)\begin{aligned}\min &= 50 \ (x = 5) \qquad \max \\ &= 68 \ (x = 2)\end{aligned}

הערך הגדול ביותר נמצא בקצה, ושם הנגזרת אינה אפס

ואם התחום היה 2≤x≤42 \le x \le 4, היכן הערך הקטן ביותר של x2+y2x^2 + y^2?

Voir la réponse et le corrigé

x=5x = 5 נמצא מחוץ לתחום, ולכן הנקודה החשודה נפסלת. f′(x)=4x−20<0f'(x) = 4x - 20 < 0 בכל התחום, ולכן ff יורדת. הערך הקטן ביותר נמצא בקצה הימני: f(4)=16+36=52f(4) = 16 + 36 = 52.

בדיקה מהירה אחרי כל תשובה: הציבו ערך אחר מהתחום, וודאו שהוא נותן פחות (או יותר). P(7)=63<64P(7) = 63 < 64 ✓. הבדיקה לא מחליפה את טבלת הסימנים, אבל היא תופסת טעויות חשבון.

שלוש הטעויות של בעיות הקיצון.

x=8x = 8
Pmax=P(8)=64\begin{aligned}P_{max} &= P(8) \\ &= 64\end{aligned}

נשאלתם על המכפלה. מי שעוצר ב-xx עונה על שאלה אחרת.

P′(x)=0⇒x=9\begin{aligned}P'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 9\end{aligned}
x=9∉(0,9)⇒x=3\begin{aligned}x &= 9 \notin (0, 9) \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

פתרון של f′(x)=0f'(x) = 0 שאינו בתחום אינו פתרון של הבעיה. תמיד חוזרים לתחום.

max⁡=f(5)\max = f(5)
max⁡=f(2)=68\begin{aligned}\max &= f(2) \\ &= 68\end{aligned}

בתחום סגור בודקים גם את הקצוות. הנגזרת לא «רואה» אותם.

Exercices

Exercice 1

סדרו את חמשת השלבים של פתרון בעיית קיצון.

  • בדיקת סוג הקיצון ותשובה לשאלה
  • גזירה והשוואה לאפס
  • הבעת הגודל כפונקציה
  • סימון המשתנה
  • תחום ההגדרה של הבעיה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : סימון המשתנה · הבעת הגודל כפונקציה · תחום ההגדרה של הבעיה · גזירה והשוואה לאפס · בדיקת סוג הקיצון ותשובה לשאלה

Corrigé :

1→2→3→4→51 \to 2 \to 3 \to 4 \to 5

התחום נקבע לפני הגזירה

התחום בא לפני הגזירה, כי הוא מחליט אילו פתרונות של f′(x)=0f'(x) = 0 נשארים. מי שקובע אותו בסוף נוטה «להתאים» אותו לתשובה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

סכום של שני מספרים חיוביים הוא 3030. xx הוא המספר הראשון. מהי הפונקציה שמבטאת את המכפלה שלהם?

  1. P(x)=30xP(x) = 30x
  2. P(x)=x(x−30)P(x) = x(x - 30)
  3. P(x)=x+(30−x)P(x) = x + (30 - x)
  4. P(x)=x(30−x)P(x) = x(30 - x)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D P(x)=x(30−x)P(x) = x(30 - x)

Corrigé :

y=30−xy = 30 - x

המספר השני, מתוך הסכום

P(x)=x⋅y=x(30−x)\begin{aligned}P(x) &= x \cdot y \\ &= x(30 - x)\end{aligned}

מכפלה

הנכונה: P(x)=x(30−x)P(x) = x(30 - x). x(x−30)x(x - 30) נותן מכפלה שלילית לכל 0<x<300 < x < 30. x+(30−x)=30x + (30 - x) = 30 הוא הסכום, לא המכפלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

סכום של שני מספרים חיוביים הוא 3030. מהי המכפלה הגדולה ביותר שלהם?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 225

Corrigé :

P(x)=x(30−x)=30x−x20<x<30\begin{aligned}P(x) &= x(30 - x) \\ &= 30x - x^2 \\ \quad 0 < x < 30\end{aligned}

שלבים 1 עד 3

P′(x)=30−2x=0 ⇒ x=15\begin{aligned}P'(x) &= 30 - 2x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 15\end{aligned}

שלב 4

P′(10)=10>0P′(20)=−10<0\begin{aligned}P'(10) &= 10 > 0 \\ \quad P'(20) &= -10 < 0\end{aligned}

שלב 5: מקסימום

P(15)=15⋅15=225\begin{aligned}P(15) &= 15 \cdot 15 \\ &= 225\end{aligned}

התשובה לשאלה

התשובה היא המכפלה 225225, לא x=15x = 15. המכפלה הגדולה ביותר מתקבלת כששני המספרים שווים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

xx ו-yy מספרים חיוביים, ו-x+y=10x + y = 10. מהו הערך הקטן ביותר של x2+y2x^2 + y^2?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 50

Corrigé :

f(x)=x2+(10−x)2=2x2−20x+1000<x<10\begin{aligned}f(x) &= x^2 + (10 - x)^2 \\ &= 2x^2 - 20x + 100 \\ \quad 0 < x < 10\end{aligned}

מסלקים את yy

f′(x)=4x−20=0 ⇒ x=5\begin{aligned}f'(x) &= 4x - 20 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

נקודה חשודה

f′(1)<0,f′(6)>0f'(1) < 0 ,\quad f'(6) > 0

מ-−- ל-++: מינימום

f(5)=25+25=50\begin{aligned}f(5) &= 25 + 25 \\ &= 50\end{aligned}

הערך הקטן ביותר

כאן מחפשים מינימום, והנגזרת עוברת מ-−- ל-++. מי שכותב (10−x)2=100−x2(10 - x)^2 = 100 - x^2 שכח את האיבר האמצעי −20x-20x.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מהו הערך הגדול ביותר של ההפרש בין מספר xx לבין פעמיים x2x^2, כלומר של x−2x2x - 2x^2? כתבו תשובה עשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.125

Corrigé :

f(x)=x−2x2f(x) = x - 2x^2

שלבים 1 ו-2. אין הגבלה על xx

f′(x)=1−4x=0 ⇒ x=14\begin{aligned}f'(x) &= 1 - 4x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

שלב 4

f′(0)=1>0f′(1)=−3<0\begin{aligned}f'(0) &= 1 > 0 \\ \quad f'(1) &= -3 < 0\end{aligned}

שלב 5: מקסימום

f(14)=14−2⋅116=18=0.125\begin{aligned}f\left(\tfrac{1}{4}\right) &= \tfrac{1}{4} - 2 \cdot \tfrac{1}{16} \\ &= \tfrac{1}{8} \\ &= 0.125\end{aligned}

La valeur

נשאלתם על ההפרש, ולכן התשובה 0.1250.125 ולא x=0.25x = 0.25. ו-2x22x^2 ב-x=14x = \frac{1}{4} הוא 216\frac{2}{16}, לא 14\frac{1}{4}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

הוכיחו או הפריכו: בתחום סגור, הערך הגדול ביותר של הגודל מתקבל תמיד בנקודה שבה הנגזרת מתאפסת.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

f(x)=x2+(10−x)22≤x≤7\begin{aligned}f(x) &= x^2 + (10 - x)^2 \\ \quad 2 \le x \le 7\end{aligned}

דוגמה נגדית

f′(x)=0 ⇒ x=5f(5)=50\begin{aligned}f'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5 \\ \quad f(5) &= 50\end{aligned}

בנקודה החשודה: מינימום

f(2)=68>50f(2) = 68 > 50

הערך הגדול ביותר נמצא בקצה

הטענה לא נכונה. בתחום סגור הערך הגדול ביותר יכול להיות בקצה, ושם הנגזרת אינה אפס. לכן משווים תמיד לקצוות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

ידוע ש-x+y=10x + y = 10 ו-1≤x≤61 \le x \le 6. מהו הערך הגדול ביותר של x2+y2x^2 + y^2?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 82

Corrigé :

f(x)=2x2−20x+1001≤x≤6\begin{aligned}f(x) &= 2x^2 - 20x + 100 \\ \quad 1 \le x \le 6\end{aligned}

מסלקים את yy. התחום סגור

f′(x)=4x−20=0 ⇒ x=5\begin{aligned}f'(x) &= 4x - 20 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

בתוך התחום

f(5)=50f(1)=1+81=82f(6)=36+16=52\begin{aligned}f(5) &= 50 \\ \quad f(1) &= 1 + 81 \\ &= 82 \\ \quad f(6) &= 36 + 16 \\ &= 52\end{aligned}

הנקודה החשודה ושני הקצוות

max⁡=82 (x=1)\max = 82 \ (x = 1)

הגדול מבין השלושה

הנקודה החשודה x=5x = 5 היא מינימום, לא מקסימום. הערך הגדול ביותר נמצא בקצה x=1x = 1, ורק ההשוואה לקצוות מגלה אותו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מספר אחד גדול ממספר שני ב-88. מהי המכפלה הקטנה ביותר של שני המספרים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -16

Corrigé :

x ,  x−8x \ ,\ \ x - 8

סימון: xx המספר הגדול

P(x)=x(x−8)=x2−8x\begin{aligned}P(x) &= x(x - 8) \\ &= x^2 - 8x\end{aligned}

אין הגבלה על xx: המספרים לא חייבים להיות חיוביים

P′(x)=2x−8=0 ⇒ x=4\begin{aligned}P'(x) &= 2x - 8 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

נקודה חשודה; מ-−- ל-++: מינימום

P(4)=4⋅(−4)=−16\begin{aligned}P(4) &= 4 \cdot (-4) \\ &= -16\end{aligned}

המספרים 44 ו-−4-4

המכפלה הקטנה ביותר שלילית: 4⋅(−4)=−164 \cdot (-4) = -16. מי שמניח שהמספרים חיוביים מחפש תחום שלא ניתן בשאלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

xx ו-yy מספרים חיוביים, ו-x+y=9x + y = 9. מחפשים את הערך הגדול ביותר של x⋅y2x \cdot y^2. שורה אחת בפתרון שגויה. מצאו אותה.

P(x)=x(9−x)2P(x) = x(9 - x)^2
0<x<90 < x < 9
P′(x)=(9−x)(9−3x)P'(x) = (9 - x)(9 - 3x)
x=9 ⇒ P(9)=0\begin{aligned}x &= 9 \ \Rightarrow \ P(9) \\ &= 0\end{aligned}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=9 ⇒ P(9)=0x = 9 \ \Rightarrow \ P(9) = 0 → x=3 ⇒ P(3)=3⋅36=108x = 3 \ \Rightarrow \ P(3) = 3 \cdot 36 = 108

Corrigé :

P′(x)=0 ⇒ x=9 או x=3\begin{aligned}P'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 9 \ \text{או} \ x \\ &= 3\end{aligned}

שני פתרונות

9∉(0,9)9 \notin (0, 9)

התחום פוסל את x=9x = 9

P(3)=3⋅62=108\begin{aligned}P(3) &= 3 \cdot 6^2 \\ &= 108\end{aligned}

מקסימום: הנגזרת עוברת מ-++ ל-−-

ב-x=9x = 9 המספר yy הוא 00, והמכפלה 00: זו הקטנה ביותר, לא הגדולה. פתרון של P′(x)=0P'(x) = 0 שנמצא מחוץ לתחום נפסל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מהו הערך הגדול ביותר של ההפרש x−x\sqrt{x} - x? כתבו תשובה עשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.25

Corrigé :

f(x)=x−xx≥0\begin{aligned}f(x) &= \sqrt{x} - x \\ \quad x \ge 0\end{aligned}

תחום: שורש מוגדר רק ל-x≥0x \ge 0

f′(x)=12x−1=0 ⇒ x=12 ⇒ x=14\begin{aligned}f'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{x} \\ &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ x \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

גזירה והשוואה לאפס

f′(19)=32−1>0f′(1)=−12<0\begin{aligned}f'\left(\tfrac{1}{9}\right) &= \tfrac{3}{2} - 1 > 0 \\ \quad f'(1) &= -\tfrac{1}{2} < 0\end{aligned}

מקסימום

f(14)=12−14=14\begin{aligned}f\left(\tfrac{1}{4}\right) &= \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{4} \\ &= \tfrac{1}{4}\end{aligned}

La valeur

בין 00 ל-11 השורש גדול מהמספר עצמו: 0.25=0.5>0.25\sqrt{0.25} = 0.5 > 0.25. לכן ההפרש חיובי שם, והשיא שלו 0.250.25.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe