Fonctions puissance et racine

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עד עכשיו אפשר היה להציב כל מספר. בפונקציות האלה — לא, ולכן השאלה הראשונה תמיד «מה מותר להציב».

תחום הגדרה

f(x)⇒f(x)≥0\sqrt{f(x)} \Rightarrow f(x) \geq 0

שורש — אי אפשר להוציא שורש ממספר שלילי.

1f(x)⇒f(x)≠0\frac{1}{f(x)} \Rightarrow f(x) \neq 0

מכנה — אין חלוקה באפס.

שימו לב להבדל: בשורש התנאי הוא גדול או שווה (אפס מותר, 0=0\sqrt{0} = 0), ובמכנה הוא שונה מ. ההבדל בסימן עולה נקודות.

תחום הגדרה

מהו תחום ההגדרה של y=x−4y = \sqrt{x - 4}?

x−4≥0x - 4 \geq 0

מה שמתחת לשורש חייב להיות אי-שלילי

x≥4x \geq 4

התחום

שני התנאים יחד

כשיש בפונקציה גם שורש וגם מכנה, כותבים את שני התנאים, ושניהם חייבים להתקיים בו-זמנית. תחום ההגדרה הוא החיתוך של שני התנאים, לא האיחוד.

שורש ומכנה באותה פונקציה

מהו תחום ההגדרה של f(x)=x−1x−3f(x) = \dfrac{\sqrt{x - 1}}{x - 3}?

x−1≥0 ⇒ x≥1x - 1 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq 1

תנאי השורש

x−3≠0 ⇒ x≠3x - 3 \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq 3

תנאי המכנה

x≥1 וגם x≠3x \geq 1 \ \text{וגם} \ x \neq 3

שני התנאים יחד: מ-1 והלאה, בלי הנקודה 3

מהו תחום ההגדרה של g(x)=5x+2g(x) = \dfrac{5}{\sqrt{x + 2}}?

Voir la réponse et le corrigé

x>−2x > -2. השורש דורש x+2≥0x + 2 \geq 0, אבל הוא במכנה, ולכן אסור שיתאפס: x+2>0x + 2 > 0. אי-שוויון חזק — הנקודה −2-2 עצמה מחוץ לתחום.

פונקציית חזקה

הצורה y=xny = x^n. הכול תלוי בזוגיות של nn:

n זוגיn \ \text{זוגי}

הגרף סימטרי לציר ה-yy, כמו פרבולה. הפונקציה זוגית.

n אי-זוגיn \ \text{אי-זוגי}

הגרף סימטרי לראשית. הפונקציה אי-זוגית.

פונקציית שורש

הגרף של y=xy = \sqrt{x} מתחיל בנקודה (0, 0)(0,\, 0), עולה תמיד, ומשתטח בהדרגה. הוא קיים רק בחצי הימני של הלוח — כי אין שורש למספר שלילי.

זהו למעשה חצי פרבולה שוכבת: אם מסובבים את y=x2y = x^2 ולוקחים רק את החלק העליון — מקבלים בדיוק אותו.

שתי הטעויות של תחום ההגדרה.

x−4⇒x>4\sqrt{x - 4} \Rightarrow x > 4
x≥4x \geq 4

אפס מותר תחת שורש. 0=0\sqrt{0} = 0 מוגדר היטב.

9=±3\sqrt{9} = \pm 3
9=3\sqrt{9} = 3

סימן השורש נותן תמיד את הערך החיובי. שני הסימנים מופיעים רק בפתרון משוואה x2=9x^2 = 9.

מהו תחום ההגדרה של f(x)=x−2f(x) = x^{-2}?

Voir la réponse et le corrigé

כל x≠0x \neq 0. מעריך שלילי פירושו מכנה, והמכנה אסור שיתאפס.

Exercices

Exercice 1

מהו הערך הקטן ביותר המותר ב-y=x−4y = \sqrt{x - 4}?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

x−4≥0x - 4 \geq 0

תנאי השורש

x≥4x \geq 4

התחום

אפס מותר תחת שורש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהו הערך האסור ב-y=1x−7y = \frac{1}{x - 7}?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

x−7≠0x - 7 \neq 0

תנאי המכנה

x≠7x \neq 7

הערך האסור

במכנה — שונה מ, ולא גדול או שווה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

כמה זה 9\sqrt{9}?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

9=3\sqrt{9} = 3

הערך החיובי בלבד

שני הסימנים מופיעים רק בפתרון x2=9x^2 = 9.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הפונקציה y=x4y = x^4 — מה נכון?

  1. אי-זוגית
  2. זוגית — סימטרית לציר ה-yy
  3. לא זוגית ולא אי-זוגית
  4. לא מוגדרת בשליליים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B זוגית — סימטרית לציר ה-yy

Corrigé :

(−x)4=x4(-x)^4 = x^4

מעריך זוגי

מעריך זוגי — פונקציה זוגית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

הגרף של y=xy = \sqrt{x} מתחיל בנקודה:

  1. אין נקודת התחלה
  2. (0, 1)(0,\, 1)
  3. (1, 1)(1,\, 1)
  4. (0, 0)(0,\, 0)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D (0, 0)(0,\, 0)

Corrigé :

0=0\sqrt{0} = 0

הערך הקטן ביותר בתחום

ומשם הוא עולה תמיד, ומשתטח בהדרגה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

המשוואה x3=27x^3 = 27:

הפתרון היחיד: x = ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הפתרון היחיד: x = 3.

Corrigé :

33=273^3 = 27

חזקה אי-זוגית — פתרון יחיד

בניגוד לריבוע: לחזקה שלישית אין «זוג» — גם השלילי של 3 נותן 27-.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

לכל מספר: a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| — ולא בהכרח aa עצמו.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

(−5)2=5\sqrt{(-5)^2} = 5

השורש מוחק את הסימן

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

למה שווה (x2)3(x^2)^3?

  1. x6x^6
  2. x8x^8
  3. x9x^9
  4. x5x^5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A x6x^6

Corrigé :

(x2)3=x2⋅3=x6\begin{aligned}(x^2)^3 &= x^{2 \cdot 3} \\ &= x^6\end{aligned}

חזקה על חזקה — כופלים מעריכים

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מהו תחום ההגדרה של f(x)=x+2x−1f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 2}}{x - 1}?

  1. x≠1x \neq 1
  2. x≥−2x \geq -2 וגם x≠1x \neq 1
  3. x>−2x > -2 וגם x≠1x \neq 1
  4. x≥−2x \geq -2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B x≥−2x \geq -2 וגם x≠1x \neq 1

Corrigé :

x+2≥0 ⇒ x≥−2x + 2 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq -2

תנאי השורש

x−1≠0 ⇒ x≠1x - 1 \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq 1

תנאי המכנה

x≥−2 וגם x≠1x \geq -2 \ \text{וגם} \ x \neq 1

שניהם יחד

הנכונה: x≥−2x \geq -2 וגם x≠1x \neq 1. השורש כאן במונה, ולכן אפס מותר בו ו-−2-2 בתחום. מי שכתב x>−2x > -2 בלבל עם שורש במכנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה f(x)=6−x+1x+4f(x) = \sqrt{6 - x} + \dfrac{1}{x + 4}. השלימו.

הערך הגדול ביותר המותר: x=x = ____ ; הערך האסור: x=x = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הערך הגדול ביותר המותר: x=x = 6 ; הערך האסור: x=x = -4

Corrigé :

6−x≥0 ⇒ x≤66 - x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 6

תנאי השורש: המינוס לפני xx הופך את הכיוון

x+4≠0 ⇒ x≠−4x + 4 \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq -4

תנאי המכנה

x≤6 וגם x≠−4x \leq 6 \ \text{וגם} \ x \neq -4

התחום

−4-4 הוא בתוך הקטע x≤6x \leq 6, ולכן צריך להוציא אותו במפורש. תחום שכותב רק x≤6x \leq 6 שוכח את המכנה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe