Puissances, racine et parité

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

לפני כל כלל, הסתכלו על שני גרפים. y=x2y = x^2 ו-y=x3y = x^3 נראים דומים בצד הימני, ושונים לגמרי בצד השמאלי. ההבדל הזה, בין מעריך זוגי למעריך אי-זוגי, הוא כל הפרק.

y = x² ו-y = x³ על אותם צירים
(0,0)(1,1)(-1,1)(-1,-1)-2-1012-8-6-4-22468xy
  • x²
  • x³
הקו המלא הוא y=x2y = x^2, המקווקו הוא y=x3y = x^3. שניהם עוברים ב-(0,0)(0,0) וב-(1,1)(1,1). אבל ב-x=−1x = -1 הם נפרדים: (−1)2=1(-1)^2 = 1 ו-(−1)3=−1(-1)^3 = -1. הזוגי נשאר למעלה, האי-זוגי יורד למטה.

לפי הגרף: באילו נקודות נפגשים הגרפים של y=x2y = x^2 ושל y=x3y = x^3?

Voir la réponse et le corrigé

ב-(0,0)(0,0) וב-(1,1)(1,1). באלגברה: x2=x3x^2 = x^3 נותן x2(1−x)=0x^2(1 - x) = 0, כלומר x=0x = 0 או x=1x = 1. ב-x=−1x = -1 הם לא נפגשים: 1≠−11 \neq -1.

y = xⁿ כש-n זוגי

x2x^2, x4x^4, x6x^6 — כולם מתנהגים כמו פרבולה, רק «צרים» יותר ככל שהמעריך גדל. חמש תכונות, וכולן נקראות מהגרף:

(0, 0)(0,\,0)

חיתוך עם הצירים: נקודה אחת בלבד, הראשית

min⁡=(0, 0)\min = (0,\,0)

נקודת מינימום ב-(0,0)(0,0); אין מקסימום

f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)

סימטריה לציר ה-yy: הפונקציה זוגית

x<0↘x>0↗x < 0 \searrow \quad x > 0 \nearrow

יורדת משמאל ל-00, עולה מימין ל-00

xn≥0x^n \geq 0

חיובית לכל x≠0x \neq 0, ומתאפסת רק ב-00

y = xⁿ כש-n אי-זוגי

x3x^3, x5x^5, x7x^7 — צורת «כיסא»: עולים מהפינה השמאלית התחתונה לפינה הימנית העליונה, ומשתטחים לרגע ב-(0,0)(0,0).

(0, 0)(0,\,0)

חיתוך עם הצירים: הראשית בלבד

אין\text{אין}

אין נקודת מינימום ואין מקסימום

f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)

סימטריה לראשית: הפונקציה אי-זוגית

↗\nearrow

עולה לכל xx

x<0⇒xn<0x>0⇒xn>0x < 0 \Rightarrow x^n < 0 \quad x > 0 \Rightarrow x^n > 0

הסימן של xnx^n הוא הסימן של xx

y = x² ו-y = x⁴
(1,1)(-1,1)-1.5-1-0.500.511.5-11234567xy
  • x²
  • x⁴
הקו המלא y=x2y = x^2, המקווקו y=x4y = x^4. בין −1-1 ל-11 הגרף של x4x^4 נמוך יותר (0.54=0.06250.5^4 = 0.0625), ומחוץ לקטע הזה הוא גבוה יותר (1.54=5.061.5^4 = 5.06). שניהם: מינימום ב-(0,0)(0,0), סימטריים לציר ה-yy.

חשבו: f(−2)f(-2) עבור f(x)=x4f(x) = x^4, ו-g(−2)g(-2) עבור g(x)=x5g(x) = x^5.

Voir la réponse et le corrigé

f(−2)=(−2)4=16f(-2) = (-2)^4 = 16 — מעריך זוגי מוחק את המינוס. g(−2)=(−2)5=−32g(-2) = (-2)^5 = -32 — מעריך אי-זוגי שומר עליו.

פונקציה זוגית ופונקציה אי-זוגית — הבדיקה באלגברה

הזוגיות אינה רק תכונה של xnx^n. לכל פונקציה שואלים: מה קורה כשמציבים −x-x במקום xx? מציבים, מפשטים, ומשווים לפונקציה המקורית.

f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)

פונקציה זוגית — הגרף סימטרי לציר ה-yy

f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)

פונקציה אי-זוגית — הגרף סימטרי לראשית

שלוש בדיקות זוגיות

קבעו אם כל פונקציה זוגית, אי-זוגית או לא זו ולא זו: f(x)=x4−3x2f(x) = x^4 - 3x^2, g(x)=x3−3xg(x) = x^3 - 3x, h(x)=x2+xh(x) = x^2 + x.

f(−x)=(−x)4−3(−x)2=x4−3x2=f(x)\begin{aligned}f(-x) &= (-x)^4 - 3(-x)^2 \\ &= x^4 - 3x^2 \\ &= f(x)\end{aligned}

ff זוגית: כל המעריכים זוגיים

g(−x)=(−x)3−3(−x)=−x3+3x=−(x3−3x)=−g(x)\begin{aligned}g(-x) &= (-x)^3 - 3(-x) \\ &= -x^3 + 3x \\ &= -(x^3 - 3x) \\ &= -g(x)\end{aligned}

gg אי-זוגית: כל המעריכים אי-זוגיים

h(−x)=(−x)2+(−x)=x2−x\begin{aligned}h(-x) &= (-x)^2 + (-x) \\ &= x^2 - x\end{aligned}

לא שווה ל-h(x)h(x) ולא ל-−h(x)=−x2−x-h(x) = -x^2 - x

h(−x)≠h(x),h(−x)≠−h(x)h(-x) \neq h(x) ,\quad h(-x) \neq -h(x)

hh לא זוגית ולא אי-זוגית: מעריך זוגי ומעריך אי-זוגי באותה פונקציה

קיצור דרך לפולינום: כל המעריכים זוגיים — זוגית (המספר החופשי הוא x0x^0, מעריך זוגי). כל המעריכים אי-זוגיים — אי-זוגית. מעורב — לא זו ולא זו. אבל בבחינה כותבים את ההצבה f(−x)f(-x) במלואה, לא רק את הקיצור.

הזוגיות על הגרף

על גרף בודקים בעזרת נקודה אחת. אם (a, b)(a,\,b) על הגרף של פונקציה זוגית, אז גם (−a, b)(-a,\,b) על הגרף: אותו גובה, בצד השני של ציר ה-yy. אם הפונקציה אי-זוגית, אז (−a, −b)(-a,\,-b) על הגרף: הצד השני, וגם הפוך למטה.

ff זוגית ו-f(3)=7f(3) = 7. מהו f(−3)f(-3)? ואם ff הייתה אי-זוגית?

Voir la réponse et le corrigé

זוגית: f(−3)=f(3)=7f(-3) = f(3) = 7. אי-זוגית: f(−3)=−f(3)=−7f(-3) = -f(3) = -7. בלי מידע על הזוגיות אי אפשר לדעת כלום על f(−3)f(-3).

פונקציית השורש

הגרף של y = √x
(0,0)(1,1)(4,2)(9,3)-2-10123456789-11234xy

y=xy = \sqrt{x} מוגדרת רק ל-x≥0x \geq 0, מתחילה ב-(0, 0)(0,\,0), עולה בכל תחום הגדרתה, ומשתטחת: מ-x=4x = 4 ל-x=9x = 9 היא עולה רק מ-22 ל-33. ערכיה תמיד y≥0y \geq 0.

והיא לא זוגית ולא אי-זוגית — ולא בגלל חישוב. כדי להשוות את f(−x)f(-x) ל-f(x)f(x) צריך ששניהם יהיו מוגדרים, אבל −x\sqrt{-x} לא קיים כש-x>0x > 0. הבדיקה נעצרת עוד לפני ההצבה: תחום הגדרה שאינו סימטרי פוסל זוגיות מכל סוג.

שלוש טעויות בזוגיות.

(−x)3=x3(-x)^3 = x^3
(−x)3=−x3(-x)^3 = -x^3

מעריך אי-זוגי שומר על המינוס. רק מעריך זוגי מוחק אותו.

x3+1 אי-זוגיתx^3 + 1 \ \text{אי-זוגית}
(−x)3+1=−x3+1≠−(x3+1)(-x)^3 + 1 = -x^3 + 1 \neq -(x^3 + 1)

המספר החופשי 11 הוא x0x^0, מעריך זוגי. פולינום עם מעריכים מעורבים הוא לא זוגי ולא אי-זוגי.

x זוגית\sqrt{x} \ \text{זוגית}
x: x≥0 בלבד\sqrt{x}: \ x \geq 0 \ \text{בלבד}

לפני ההצבה בודקים אם −x-x בכלל בתחום. x\sqrt{x} חיה רק בצד הימני, ולכן אין לה בן זוג משמאל.

Exercices

Exercice 1

איזו מהפונקציות היא אי-זוגית?

  1. f(x)=x3−5xf(x) = x^3 - 5x
  2. f(x)=x2−5xf(x) = x^2 - 5x
  3. f(x)=xf(x) = \sqrt{x}
  4. f(x)=x4+1f(x) = x^4 + 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A f(x)=x3−5xf(x) = x^3 - 5x

Corrigé :

(−x)3−5(−x)=−x3+5x=−(x3−5x)\begin{aligned}(-x)^3 - 5(-x) &= -x^3 + 5x \\ &= -(x^3 - 5x)\end{aligned}

כל המעריכים אי-זוגיים

(−x)2−5(−x)=x2+5x(-x)^2 - 5(-x) = x^2 + 5x

מעורב: לא זו ולא זו

(−x)4+1=x4+1(-x)^4 + 1 = x^4 + 1

זוגית

הנכונה: x3−5xx^3 - 5x. x4+1x^4 + 1 זוגית, x2−5xx^2 - 5x מעורבת, ו-x\sqrt{x} אינה מוגדרת בשליליים, ולכן היא לא זוגית ולא אי-זוגית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=x4−3x2f(x) = x^4 - 3x^2. חשבו את f(−2)f(-2).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

(−2)4=16(−2)2=4\begin{aligned}(-2)^4 &= 16 \\ \quad (-2)^2 &= 4\end{aligned}

מעריך זוגי מוחק את המינוס

16−3⋅4=416 - 3 \cdot 4 = 4

On remplace (מציבים)

ff זוגית, ולכן f(−2)=f(2)=16−12=4f(-2) = f(2) = 16 - 12 = 4. מי שקיבל −4-4 או −28-28 שכח שמעריך זוגי מוחק את המינוס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

הפונקציה f(x)=x2+xf(x) = x^2 + x היא זוגית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

f(−x)=(−x)2+(−x)=x2−x\begin{aligned}f(-x) &= (-x)^2 + (-x) \\ &= x^2 - x\end{aligned}

מציבים −x-x

x2−x≠x2+xx^2 - x \neq x^2 + x

לא שווה ל-f(x)f(x)

f(1)=2f(−1)=0\begin{aligned}f(1) &= 2 \\ \quad f(-1) &= 0\end{aligned}

דוגמה נגדית: לא אותו גובה

לא נכון. מספיק מעריך אי-זוגי אחד (x=x1x = x^1) כדי לשבור את הסימטריה. הדוגמה הנגדית f(1)≠f(−1)f(1) \neq f(-1) סוגרת את העניין.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הנקודה (−2, 5)(-2,\,5) נמצאת על הגרף של פונקציה זוגית. איזו נקודה נמצאת בוודאות גם היא על הגרף?

  1. (2, −5)(2,\,-5)
  2. (−2, −5)(-2,\,-5)
  3. (5, −2)(5,\,-2)
  4. (2, 5)(2,\,5)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D (2, 5)(2,\,5)

Corrigé :

f(−x)=f(x) ⇒ f(2)=f(−2)=5\begin{aligned}f(-x) &= f(x) \ \Rightarrow \ f(2) \\ &= f(-2) \\ &= 5\end{aligned}

אותו גובה בשני הצדדים

הנכונה: (2, 5)(2,\,5). סימטריה לציר ה-yy משנה את הסימן של xx בלבד. (2, −5)(2,\,-5) הייתה התשובה לפונקציה אי-זוגית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

gg פונקציה אי-זוגית, ו-g(4)=−6g(4) = -6. השלימו.

g(−4)=g(-4) = ____ ; g(0)=g(0) = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : g(−4)=g(-4) = 6 ; g(0)=g(0) = 0

Corrigé :

g(−4)=−g(4)=−(−6)=6\begin{aligned}g(-4) &= -g(4) \\ &= -(-6) \\ &= 6\end{aligned}

אי-זוגית: הופכים סימן

g(−0)=−g(0) ⇒ g(0)=−g(0)\begin{aligned}g(-0) &= -g(0) \ \Rightarrow \ g(0) \\ &= -g(0)\end{aligned}

מציבים x=0x = 0 בהגדרה

2g(0)=0 ⇒ g(0)=0\begin{aligned}2g(0) &= 0 \ \Rightarrow \ g(0) \\ &= 0\end{aligned}

המספר היחיד ששווה למינוס עצמו

כל פונקציה אי-זוגית שמוגדרת ב-00 עוברת בראשית: g(0)=0g(0) = 0. זה נובע מההגדרה, לא מהגרף המסוים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מיינו את הפונקציות לזוגיות ולאי-זוגיות.

  • זוגית
  • אי-זוגית
  • x2x^2
  • x3−xx^3 - x
  • x3x^3
  • x4−x2x^4 - x^2
  • x5+xx^5 + x
  • x6+2x^6 + 2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x2x^2 — זוגית · x4−x2x^4 - x^2 — זוגית · x6+2x^6 + 2 — זוגית · x3x^3 — אי-זוגית · x5+xx^5 + x — אי-זוגית · x3−xx^3 - x — אי-זוגית

Corrigé :

(−x)4−(−x)2=x4−x2(-x)^4 - (-x)^2 = x^4 - x^2

כל המעריכים זוגיים

(−x)6+2=x6+2(-x)^6 + 2 = x^6 + 2

2=2x02 = 2x^0, גם הוא מעריך זוגי

(−x)5+(−x)=−x5−x=−(x5+x)\begin{aligned}(-x)^5 + (-x) &= -x^5 - x \\ &= -(x^5 + x)\end{aligned}

כל המעריכים אי-זוגיים

זוגיות: x2x^2, x4−x2x^4 - x^2, x6+2x^6 + 2. אי-זוגיות: x3x^3, x5+xx^5 + x, x3−xx^3 - x. המספר החופשי +2+2 לא מפריע לזוגיות: x0x^0 הוא מעריך זוגי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הגרף של y = x³
(0,0)-2-1012-8-6-4-22468xy

לפי הגרף: באיזה תחום הפונקציה y=x3y = x^3 עולה?

  1. רק עבור x<0x < 0
  2. רק עבור x>0x > 0
  3. לכל xx
  4. היא לא עולה באף תחום
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C לכל xx

Corrigé :

x3↗x^3 \nearrow

משמאל למטה לימין למעלה, ללא ירידה

הנכונה: לכל xx. ב-(0,0)(0,0) הגרף משתטח לרגע, אבל לא יורד: אין שם לא מינימום ולא מקסימום. עלייה בכל התחום היא תכונה של כל xnx^n עם nn אי-זוגי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

המשוואה x4=81x^4 = 81. השלימו.

הפתרון החיובי: x=x = ____ ; הפתרון השלילי: x=x = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הפתרון החיובי: x=x = 3 ; הפתרון השלילי: x=x = -3

Corrigé :

34=813^4 = 81

הפתרון החיובי

(−3)4=81(-3)^4 = 81

מעריך זוגי: גם השלילי מתאים

x=3 או x=−3\begin{aligned}x &= 3 \ \text{או} \ x \\ &= -3\end{aligned}

שני פתרונות

למשוואה xn=cx^n = c עם nn זוגי ו-c>0c > 0 יש שני פתרונות, כמו x2=9x^2 = 9. עם nn אי-זוגי יש פתרון אחד בלבד: x3=27x^3 = 27 נותן רק 33.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הגרף של y = √x
(0,0)(1,1)(4,2)(9,3)-2-10123456789-11234xy

לפי הגרף של f(x)=xf(x) = \sqrt{x}: מה נכון?

  1. ff אי-זוגית
  2. ff עולה בכל תחום הגדרתה
  3. ff יורדת עבור x>1x > 1
  4. ff זוגית
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B ff עולה בכל תחום הגדרתה

Corrigé :

0=0 1=1 4=2 9=3\begin{aligned}\sqrt{0} &= 0 \\ \ \sqrt{1} &= 1 \\ \ \sqrt{4} &= 2 \\ \ \sqrt{9} &= 3\end{aligned}

הערכים רק גדלים

x≥0x \geq 0

התחום אינו סימטרי: לא זוגית ולא אי-זוגית

הנכונה: עולה בכל תחום הגדרתה. היא עולה לאט יותר ויותר, אבל לא יורדת. וזוגיות מכל סוג נפסלת מיד: אין גרף משמאל לציר ה-yy.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

הגרף של כל פונקציה זוגית עובר בראשית הצירים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1

זוגית: (−x)2+1=x2+1(-x)^2 + 1 = x^2 + 1

f(0)=1≠0f(0) = 1 \neq 0

ולא עוברת בראשית

לא נכון. זוגית פירושו סימטריה לציר ה-yy, ולא יותר: x2+1x^2 + 1 סימטרית וחותכת את ציר ה-yy ב-(0, 1)(0,\,1). לעומת זאת פונקציה אי-זוגית שמוגדרת ב-00 חייבת לעבור בראשית.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe