Translations et réflexions

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ניקח פונקציה שאנחנו מכירים, f(x)=x2f(x) = x^2, ונשאל מה קורה לגרף שלה כשמשנים את הנוסחה קצת: מוסיפים מספר, מחסרים מספר בתוך הסוגריים, שמים מינוס. כל שינוי כזה מזיז או משקף את הגרף בלי לשנות את צורתו. לחצו לפני שתקראו את הכלל.

הזזה אנכית: f(x) + k

מוסיפים kk לתוצאה, ולכן כל נקודה עולה ב-kk. y=x2+3y = x^2 + 3 הוא y=x2y = x^2 שעלה 3 יחידות; y=x2−2y = x^2 - 2 ירד 2 יחידות. הקודקוד עובר מ-(0, 0)(0,\,0) ל-(0, k)(0,\,k).

הזזה אופקית: f(x − p)

כאן הכיוון הפוך ממה שמצפים. y=(x−3)2y = (x - 3)^2 הוא y=x2y = x^2 שזז 3 ימינה, למרות המינוס. הסיבה: כדי לקבל את הערך 00, שהיה ב-x=0x = 0, צריך עכשיו להציב x=3x = 3. כל נקודה «מגיעה» מאוחר ב-3. ובאותו אופן y=(x+3)2y = (x + 3)^2 זז 3 שמאלה: x+3=x−(−3)x + 3 = x - (-3), כלומר p=−3p = -3.

y=f(x−p) p>0\begin{aligned}y &= f(x - p) \\ \ p > 0\end{aligned}

ימינה ב-pp

y=f(x−p) p<0\begin{aligned}y &= f(x - p) \\ \ p < 0\end{aligned}

שמאלה ב-∣p∣|p|: (x+3)(x + 3) הוא p=−3p = -3

y=f(x)+k k>0\begin{aligned}y &= f(x) + k \\ \ k > 0\end{aligned}

למעלה ב-kk

y=f(x)+k k<0\begin{aligned}y &= f(x) + k \\ \ k < 0\end{aligned}

למטה ב-∣k∣|k|

מ-x² אל (x − 3)² + 2
(0,0)(3,2)-4-3-2-101234567-112345678910xy
  • x²
  • (x−3)²+2
המקווקו הוא y=x2y = x^2, המלא הוא y=(x−3)2+2y = (x - 3)^2 + 2. הקודקוד עבר מ-(0, 0)(0,\,0) ל-(3, 2)(3,\,2): 3 ימינה בגלל x−3x - 3 בתוך הסוגריים, 2 למעלה בגלל +2+2 מחוץ להן. הצורה לא השתנתה.

מהו קודקוד הפרבולה y=(x+1)2−4y = (x + 1)^2 - 4?

Voir la réponse et le corrigé

(−1, −4)(-1,\,-4). x+1x + 1 פירושו p=−1p = -1: הזזה שמאלה. −4-4 מחוץ לסוגריים: 4 למטה. הקודקוד של x2x^2, שהיה ב-(0,0)(0,0), עבר ל-(−1, −4)(-1,\,-4).

גם √x זזה — ותחום ההגדרה זז איתה

מ-√x אל √(x + 4) − 1
(0,0)(-4,-1)(-3,0)(0,1)-5-4-3-2-10123456789-2-11234xy
  • √x
  • √(x+4)−1
נקודת ההתחלה עברה מ-(0, 0)(0,\,0) ל-(−4, −1)(-4,\,-1): x+4x + 4 פירושו 4 שמאלה, −1-1 פירושו 1 למטה. תחום ההגדרה זז יחד עם הגרף: x≥−4x \geq -4.

פונקציית שורש מוזזת: תחום, נקודת התחלה וחיתוך עם הצירים

נתונה g(x)=x+4−1g(x) = \sqrt{x + 4} - 1. מצאו את תחום ההגדרה, את נקודת ההתחלה של הגרף ואת נקודות החיתוך עם הצירים.

x+4≥0 ⇒ x≥−4x + 4 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq -4

תחום ההגדרה

g(−4)=0−1=−1\begin{aligned}g(-4) &= \sqrt{0} - 1 \\ &= -1\end{aligned}

נקודת ההתחלה: (−4, −1)(-4,\,-1) — הנקודה (0,0)(0,0) של x\sqrt{x} אחרי 4 שמאלה ו-1 למטה

g(0)=4−1=1\begin{aligned}g(0) &= \sqrt{4} - 1 \\ &= 1\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-yy: (0, 1)(0,\,1)

x+4−1=0 ⇒ x+4=1 ⇒ x+4=1 ⇒ x=−3\begin{aligned}\sqrt{x + 4} - 1 &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{x + 4} \\ &= 1 \ \Rightarrow \ x + 4 \\ &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= -3\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-xx: (−3, 0)(-3,\,0). בדיקה: 1−1=0\sqrt{1} - 1 = 0 ✓

שיקופים: −f(x) ו-f(−x)

מינוס מחוץ לפונקציה הופך את הסימן של yy: כל מה שהיה למעלה עובר למטה. זה שיקוף בציר ה-xx. מינוס בתוך הפונקציה, ליד ה-xx, הופך את הסימן של xx: מה שהיה מימין עובר לשמאל. זה שיקוף בציר ה-yy.

y=−f(x):(a, b)→(a, −b)y = -f(x): \quad (a,\,b) \to (a,\,-b)

שיקוף בציר ה-xx. מינימום הופך למקסימום

y=f(−x):(a, b)→(−a, b)y = f(-x): \quad (a,\,b) \to (-a,\,b)

שיקוף בציר ה-yy. מינימום נשאר מינימום

שני השיקופים של √x
(4,2)(4,-2)(-4,2)-9-8-7-6-5-4-3-2-10123456789-3-2-1123xy
  • √x
  • −√x
  • √(−x)
המלא: y=√xy = \surd x. מקווקו למטה: y=−√xy = -\surd x, שיקוף בציר ה-xx — הנקודה (4, 2)(4,\,2) הפכה ל-(4, −2)(4,\,-2). מקווקו משמאל: y=√(−x)y = \surd(-x), שיקוף בציר ה-yy — (4, 2)(4,\,2) הפכה ל-(−4, 2)(-4,\,2), ותחום ההגדרה הפך ל-x≤0x \leq 0.

נתונה f(x)=(x−2)2f(x) = (x - 2)^2. מהי f(−x)f(-x), ואיפה הקודקוד שלה?

Voir la réponse et le corrigé

f(−x)=(−x−2)2=(x+2)2f(-x) = (-x - 2)^2 = (x + 2)^2, כי (−x−2)2=(−(x+2))2=(x+2)2(-x-2)^2 = (-(x+2))^2 = (x+2)^2. הקודקוד עבר מ-(2, 0)(2,\,0) ל-(−2, 0)(-2,\,0): שיקוף בציר ה-yy הופך את הסימן של xx בלבד.

מה קורה לנקודת קיצון

בכל שאלה כזאת עוקבים אחרי נקודה אחת. אם (a, b)(a,\,b) היא נקודת מינימום של ff, אז:

f(x)+k:(a, b+k)f(x) + k: \quad (a,\,b + k)

מינימום, זז למעלה או למטה

f(x−p):(a+p, b)f(x - p): \quad (a + p,\,b)

מינימום, זז ימינה או שמאלה

−f(x):(a, −b)-f(x): \quad (a,\,-b)

מקסימום — הסוג מתהפך

f(−x):(−a, b)f(-x): \quad (-a,\,b)

מינימום — הסוג נשמר

נקודת קיצון של פונקציה מוזזת

לפונקציה ff נקודת מינימום (2, −3)(2,\,-3). מצאו את נקודת הקיצון של h(x)=f(x−1)+4h(x) = f(x - 1) + 4 ושל k(x)=−f(x)k(x) = -f(x), וקבעו את סוגה.

h: (2+1, −3+4)=(3, 1)h: \ (2 + 1,\,-3 + 4) = (3,\,1)

1 ימינה, 4 למעלה. עדיין מינימום

k: (2, −(−3))=(2, 3)k: \ (2,\,-(-3)) = (2,\,3)

שיקוף בציר ה-xx. הופך למקסימום

סדר הקריאה: מה שנעשה בתוך הסוגריים, ליד ה-xx, פועל על ה-xx והפוך (מינוס = ימינה, −x-x = שיקוף שמאלה-ימינה). מה שנעשה מחוץ לפונקציה פועל על ה-yy ישר (פלוס = למעלה, מינוס = הפוך למטה).

שלוש הטעויות של ההזזה והשיקוף.

y=(x+3)2: p=3\begin{aligned}y &= (x + 3)^2: \ p \\ &= 3\end{aligned}
y=(x−(−3))2: p=−3\begin{aligned}y &= (x - (-3))^2: \ p \\ &= -3\end{aligned}

x+3x + 3 הוא x−(−3)x - (-3). הגרף זז שמאלה. בדיקה: הקודקוד הוא במקום שבו הסוגריים מתאפסים, x=−3x = -3.

−f(x): (a, b)→(−a, b)-f(x): \ (a,\,b) \to (-a,\,b)
−f(x): (a, b)→(a, −b)-f(x): \ (a,\,b) \to (a,\,-b)

מינוס מחוץ לפונקציה פועל על yy. הנקודה נשארת באותו xx ומתהפכת למטה.

−x: x∈∅\sqrt{-x}: \ x \in \varnothing
−x: x≤0\sqrt{-x}: \ x \leq 0

−x≥0-x \geq 0 מתקיים בדיוק כש-x≤0x \leq 0. הגרף קיים, בצד השמאלי.

Exercices

Exercice 1

הגרף של y=(x−4)2+1y = (x - 4)^2 + 1 מתקבל מהגרף של y=x2y = x^2 על ידי:

  1. הזזה של 4 ימינה ו-1 למטה
  2. הזזה של 4 ימינה ו-1 למעלה
  3. הזזה של 4 שמאלה ו-1 למעלה
  4. הזזה של 1 ימינה ו-4 למעלה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B הזזה של 4 ימינה ו-1 למעלה

Corrigé :

x−4 ⇒ p=4x - 4 \ \Rightarrow \ p = 4

בתוך הסוגריים: 4 ימינה

+1 ⇒ k=1+1 \ \Rightarrow \ k = 1

מחוץ לסוגריים: 1 למעלה

הנכונה: 4 ימינה ו-1 למעלה. המינוס בתוך הסוגריים מזיז ימינה. בדיקה: הקודקוד (4, 1)(4,\,1), ואכן (4−4)2+1=1(4 - 4)^2 + 1 = 1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהו קודקוד הפרבולה y=(x+2)2−5y = (x + 2)^2 - 5?

x=x = ____ , y=y = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=x = -2 , y=y = -5

Corrigé :

x+2=0 ⇒ x=−2\begin{aligned}x + 2 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -2\end{aligned}

הסוגריים מתאפסים: שם הקודקוד

y=0−5=−5\begin{aligned}y &= 0 - 5 \\ &= -5\end{aligned}

הגובה של הקודקוד

הקודקוד (−2, −5)(-2,\,-5): הזזה של x2x^2 2 שמאלה ו-5 למטה. מי שכתב x=2x = 2 קרא את x+2x + 2 כהזזה ימינה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה g(x)=x−3+2g(x) = \sqrt{x - 3} + 2. מצאו את נקודת ההתחלה של הגרף.

x=x = ____ , y=y = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=x = 3 , y=y = 2

Corrigé :

x−3≥0 ⇒ x≥3x - 3 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq 3

תחום ההגדרה: הגרף מתחיל ב-x=3x = 3

g(3)=0+2=2\begin{aligned}g(3) &= \sqrt{0} + 2 \\ &= 2\end{aligned}

הגובה בנקודת ההתחלה

נקודת ההתחלה (3, 2)(3,\,2): זו הנקודה (0,0)(0,0) של x\sqrt{x} אחרי 3 ימינה ו-2 למעלה. תחום ההגדרה זז יחד איתה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה f(x)=xf(x) = \sqrt{x}. מהי f(−x)f(-x), ומהו תחום הגדרתה?

  1. f(−x)=−xf(-x) = -\sqrt{x}, תחום x≥0x \geq 0
  2. f(−x)=−xf(-x) = \sqrt{-x}, אין תחום הגדרה
  3. f(−x)=−xf(-x) = \sqrt{-x}, תחום x≤0x \leq 0
  4. f(−x)=xf(-x) = \sqrt{x}, תחום x≥0x \geq 0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C f(−x)=−xf(-x) = \sqrt{-x}, תחום x≤0x \leq 0

Corrigé :

f(−x)=−xf(-x) = \sqrt{-x}

מציבים −x-x במקום xx

−x≥0 ⇒ x≤0-x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 0

תחום ההגדרה: הצד השמאלי

הנכונה: −x\sqrt{-x} עם x≤0x \leq 0. −x-\sqrt{x} היא −f(x)-f(x), שיקוף אחר. ו«אין תחום» שוכח ש-−x-x חיובי בדיוק כש-xx שלילי: −(−9)=3\sqrt{-(-9)} = 3.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

הגרף של y=−x2y = -x^2 הוא השיקוף של y=x2y = x^2 בציר ה-yy.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

−x2=−f(x)-x^2 = -f(x)

המינוס מחוץ לפונקציה: שיקוף בציר ה-xx

(1, 1)→(1, −1)(1,\,1) \to (1,\,-1)

הנקודה נשארת באותו xx ויורדת למטה

f(−x)=(−x)2=x2\begin{aligned}f(-x) &= (-x)^2 \\ &= x^2\end{aligned}

שיקוף בציר ה-yy לא משנה כלום: x2x^2 זוגית

לא נכון. −x2-x^2 היא שיקוף בציר ה-xx: הפרבולה מתהפכת למטה. שיקוף בציר ה-yy של פונקציה זוגית מחזיר את אותו גרף בדיוק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

הגרף של g
(-1,-3)-5-4-3-2-101234-4-3-2-112345678xy

הגרף שלמטה הוא הזזה של y=x2y = x^2. מהי משוואת הפונקציה gg?

  1. g(x)=(x−1)2+3g(x) = (x - 1)^2 + 3
  2. g(x)=(x+1)2+3g(x) = (x + 1)^2 + 3
  3. g(x)=(x−1)2−3g(x) = (x - 1)^2 - 3
  4. g(x)=(x+1)2−3g(x) = (x + 1)^2 - 3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D g(x)=(x+1)2−3g(x) = (x + 1)^2 - 3

Corrigé :

(−1, −3)(-1,\,-3)

הקודקוד, מהגרף

p=−1 k=−3\begin{aligned}p &= -1 \\ \ k &= -3\end{aligned}

1 שמאלה, 3 למטה

g(x)=(x−(−1))2+(−3)=(x+1)2−3\begin{aligned}g(x) &= (x - (-1))^2 + (-3) \\ &= (x + 1)^2 - 3\end{aligned}

מציבים בתבנית (x−p)2+k(x - p)^2 + k

הנכונה: (x+1)2−3(x + 1)^2 - 3. הקודקוד ב-x=−1x = -1, ולכן בסוגריים כותבים x+1x + 1: מה שמאפס אותן. בדיקה: g(−1)=0−3=−3g(-1) = 0 - 3 = -3 ✓

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

לפונקציה ff נקודת מינימום (5, 2)(5,\,2). מצאו את נקודת המינימום של h(x)=f(x+3)−6h(x) = f(x + 3) - 6.

x=x = ____ , y=y = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=x = 2 , y=y = -4

Corrigé :

x+3 ⇒ p=−3x + 3 \ \Rightarrow \ p = -3

3 שמאלה: 5−3=25 - 3 = 2

−6 ⇒ k=−6-6 \ \Rightarrow \ k = -6

6 למטה: 2−6=−42 - 6 = -4

(2, −4)(2,\,-4)

עדיין מינימום: הזזה לא משנה סוג

(2, −4)(2,\,-4). הטעות הנפוצה: x+3x + 3 נקרא כ«3 ימינה» ונותן (8, −4)(8,\,-4). הסוגריים מתאפסות ב-x=−3x = -3, ולכן שמאלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

לפונקציה ff נקודת מקסימום (1, 4)(1,\,4). מה נכון לגבי k(x)=−f(x)k(x) = -f(x)?

  1. ל-kk נקודת מינימום (−1, −4)(-1,\,-4)
  2. ל-kk נקודת מינימום (1, −4)(1,\,-4)
  3. ל-kk נקודת מקסימום (−1, 4)(-1,\,4)
  4. ל-kk נקודת מקסימום (1, −4)(1,\,-4)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B ל-kk נקודת מינימום (1, −4)(1,\,-4)

Corrigé :

−f(x): (1, 4)→(1, −4)-f(x): \ (1,\,4) \to (1,\,-4)

שיקוף בציר ה-xx: yy מחליף סימן

max⁡→min⁡\max \to \min

הפסגה הפכה לבור

הנכונה: מינימום (1, −4)(1,\,-4). מינוס מחוץ לפונקציה משנה את yy ואת הסוג. (−1, 4)(-1,\,4) הייתה התשובה ל-f(−x)f(-x).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה g(x)=x+16−5g(x) = \sqrt{x + 16} - 5. א. מצאו את שיעור ה-xx של נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-xx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

x+16−5=0 ⇒ x+16=5\begin{aligned}\sqrt{x + 16} - 5 &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{x + 16} \\ &= 5\end{aligned}

מבודדים את השורש

x+16=25 ⇒ x=9\begin{aligned}x + 16 &= 25 \ \Rightarrow \ x \\ &= 9\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

25−5=0\sqrt{25} - 5 = 0

בדיקה ✓

(9, 0)(9,\,0). מי שכתב x+16=5x + 16 = 5 שכח להעלות בחזקת 2. הגרף הוא x\sqrt{x} אחרי 16 שמאלה ו-5 למטה, ולכן הוא מתחיל מתחת לציר וחוצה אותו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה g(x)=x+16−5g(x) = \sqrt{x + 16} - 5. ב. מצאו את שיעור ה-yy של נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-yy.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1

Corrigé :

g(0)=16−5g(0) = \sqrt{16} - 5

מציבים x=0x = 0

4−5=−14 - 5 = -1

16=4\sqrt{16} = 4, לא ±4\pm 4

(0, −1)(0,\,-1). חיתוך עם ציר ה-yy הוא תמיד הצבה של x=0x = 0, בלי משוואה. ו-00 בתחום: 0≥−160 \geq -16.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe