Étirement, compression et valeur absolue

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

הזזות ושיקופים לא משנים את צורת הגרף. עכשיו נשנה אותה: נכפול את הפונקציה במספר, ונשים אותה בתוך ערך מוחלט. גם כאן, קודם לוחצים ורואים, ורק אחר כך קוראים את הכלל.

מתיחה וכיווץ: a·f(x)

x², 2x² ו-½x²
(2,4)(2,8)(2,2)-3-2-10123-1123456789xy
  • x²
  • 2x²
  • ½x²
המקווקו: y=x2y = x^2. הצר: y=2x2y = 2x^2 — כל גובה הוכפל, (2, 4)(2,\,4) הפכה ל-(2, 8)(2,\,8). הרחב: y=12x2y = \frac{1}{2}x^2 — כל גובה חולק ב-2, (2, 4)(2,\,4) הפכה ל-(2, 2)(2,\,2). הקודקוד (0, 0)(0,\,0) לא זז: פעמיים אפס הוא אפס.
a>1a > 1

מתיחה אנכית: כל yy מוכפל ב-aa, הגרף נעשה צר וגבוה

0<a<10 < a < 1

כיווץ אנכי: כל yy מוכפל ב-aa, הגרף נצמד לציר ה-xx

a<0a < 0

כפל ב-∣a∣|a| וגם שיקוף בציר ה-xx: −2f(x)-2f(x) הוא 2f(x)2f(x) הפוך

(a0, 0)→(a0, 0)(a_0,\,0) \to (a_0,\,0)

נקודה על ציר ה-xx לא זזה: כפל של אפס נשאר אפס

נתונה f(x)=xf(x) = \sqrt{x} ו-g(x)=3xg(x) = 3\sqrt{x}. חשבו את g(4)g(4). לאיזו נקודה עברה הנקודה (4, 2)(4,\,2)?

Voir la réponse et le corrigé

g(4)=3⋅4=6g(4) = 3 \cdot \sqrt{4} = 6. הנקודה (4, 2)(4,\,2) עברה ל-(4, 6)(4,\,6): אותו xx, ה-yy פי 3. ונקודת ההתחלה (0, 0)(0,\,0) נשארה במקומה.

נקודת קיצון תחת a·f(x)

אם (x1, y1)(x_1,\,y_1) נקודת קיצון של ff, אז (x1, a⋅y1)(x_1,\,a \cdot y_1) נקודת קיצון של a⋅f(x)a \cdot f(x): ה-xx נשאר, ה-yy מוכפל. כש-a>0a > 0 הסוג נשמר; כש-a<0a < 0 מינימום הופך למקסימום ולהפך.

קיצון של פונקציה מתוחה

לפונקציה ff נקודת מינימום (2, −3)(2,\,-3). מצאו את נקודת הקיצון של g(x)=2f(x)g(x) = 2f(x) ושל h(x)=−12f(x)h(x) = -\frac{1}{2}f(x), וקבעו את סוגה.

g: (2, 2⋅(−3))=(2, −6)g: \ (2,\,2 \cdot (-3)) = (2,\,-6)

מתיחה פי 2. עדיין מינימום

h: (2, −12⋅(−3))=(2, 1.5)h: \ \left(2,\,-\tfrac{1}{2} \cdot (-3)\right) = (2,\,1.5)

כיווץ פי 2 ושיקוף. הופך למקסימום

ערך מוחלט: |f(x)|

ערך מוחלט הופך כל מספר שלילי לחיובי ומשאיר חיובי כמו שהוא. על הגרף: כל מה שהיה מתחת לציר ה-xx מתקפל למעלה, כמו שיקוף בציר ה-xx של החלק הזה בלבד. מה שהיה מעל הציר לא זז.

g(x) = x² − 4 ו-h(x) = |x² − 4|
(-2,0)(2,0)(0,4)(0,-4)-4-3-2-101234-5-4-3-2-112345678xy
  • x²−4
  • |x²−4|
המקווקו: g(x)=x2−4g(x) = x^2 - 4, עם מינימום (0, −4)(0,\,-4). המלא: h(x)=∣x2−4∣h(x) = |x^2 - 4|. החלק שהיה מתחת לציר ה-xx התקפל למעלה, והמינימום (0, −4)(0,\,-4) הפך למקסימום (0, 4)(0,\,4). החלק שהיה מעל הציר נשאר במקומו. נקודות האפס (±2, 0)(\pm 2,\,0) לא זזו.

h(x)=∣x2−4∣h(x) = |x^2 - 4|. חשבו את h(1)h(1) ואת h(3)h(3).

Voir la réponse et le corrigé

h(1)=∣1−4∣=∣−3∣=3h(1) = |1 - 4| = |-3| = 3: הנקודה (1, −3)(1,\,-3) של gg התקפלה ל-(1, 3)(1,\,3). h(3)=∣9−4∣=5h(3) = |9 - 4| = 5: כאן gg כבר חיובית, ולא השתנה כלום.

כמה פתרונות יש למשוואה |g(x)| = k

במקום לפתור, מציירים ישר אופקי y=ky = k וסופרים כמה פעמים הוא חותך את הגרף של ∣g∣|g|. התשובה תלויה בגובה kk ביחס לפסגה שנוצרה מהקיפול.

כמה פעמים הישר y = k חותך את h(x) = |x² − 4|
y = 2y = 4y = 6-4-3-2-101234-112345678xy
y=2y = 2 חותך 4 פעמים: פעמיים בכל «V». y=4y = 4 עובר בדיוק דרך הפסגה (0, 4)(0,\,4) וחותך 3 פעמים. y=6y = 6 גבוה מהפסגה וחותך 2 פעמים בלבד, בזרועות החיצוניות.
k<0k < 0

0 פתרונות: ערך מוחלט אינו שלילי

k=0k = 0

2 פתרונות: נקודות האפס x=±2x = \pm 2

0<k<40 < k < 4

4 פתרונות: הישר חותך את שתי ה-«V»

k=4k = 4

3 פתרונות: הישר נוגע בפסגה (0, 4)(0,\,4)

k>4k > 4

2 פתרונות: רק הזרועות החיצוניות

כמה פתרונות יש למשוואה ∣x2−4∣=4|x^2 - 4| = 4?

Voir la réponse et le corrigé

3. הישר y=4y = 4 עובר בדיוק דרך הפסגה (0, 4)(0,\,4). באלגברה: x2−4=4x^2 - 4 = 4 נותן x=±8x = \pm\sqrt{8}, ו-x2−4=−4x^2 - 4 = -4 נותן x=0x = 0. שלושה פתרונות.

לקרוא קיצון מהגרף — ולהזיז אותו

הגרף של f
(1,5)(3,1)01234-3-2-11234567xy

קיצון של h(x) = f(x − 2) ושל k(x) = −f(x) + 3

בגרף שלמעלה, לפונקציה ff נקודת מקסימום (1, 5)(1,\,5) ונקודת מינימום (3, 1)(3,\,1). מצאו את נקודות הקיצון של h(x)=f(x−2)h(x) = f(x - 2) ושל k(x)=−f(x)+3k(x) = -f(x) + 3.

h: (1+2, 5)=(3, 5)(3+2, 1)=(5, 1)\begin{aligned}h: \ (1 + 2,\,5) &= (3,\,5) \quad (3 + 2,\,1) \\ &= (5,\,1)\end{aligned}

2 ימינה. מקסימום (3, 5)(3,\,5), מינימום (5, 1)(5,\,1)

−f: (1, −5)(3, −1)-f: \ (1,\,-5) \quad (3,\,-1)

שיקוף בציר ה-xx: הסוגים מתהפכים

k: (1, −5+3)=(1, −2)(3, −1+3)=(3, 2)\begin{aligned}k: \ (1,\,-5 + 3) &= (1,\,-2) \quad (3,\,-1 + 3) \\ &= (3,\,2)\end{aligned}

3 למעלה. מינימום (1, −2)(1,\,-2), מקסימום (3, 2)(3,\,2)

כשיש כמה פעולות, עושים אותן בסדר החישוב: קודם מה שבתוך הסוגריים, אחר כך הכפל, ובסוף החיבור. −f(x)+3-f(x) + 3: קודם השיקוף (y→−yy \to -y), ורק אז +3+3. הפוך יוצא שגוי.

שלוש הטעויות של המתיחה והערך המוחלט.

12f(x): מתיחה\tfrac{1}{2}f(x): \ \text{מתיחה}
12f(x): כיווץ\tfrac{1}{2}f(x): \ \text{כיווץ}

כפל במספר קטן מ-1 מקטין כל yy. הגרף נצמד לציר ה-xx, לא מתרחק ממנו.

∣x2−4∣=x2+4|x^2 - 4| = x^2 + 4
∣x2−4∣={x2−4x2≥44−x2x2<4|x^2 - 4| = \begin{cases} x^2 - 4 & x^2 \geq 4 \\ 4 - x^2 & x^2 < 4 \end{cases}

ערך מוחלט אינו «מחליף מינוס בפלוס». הוא הופך את הסימן רק במקום שבו הביטוי שלילי.

−f(x)+3: (1, 5)→(1, −8)-f(x) + 3: \ (1,\,5) \to (1,\,-8)
(1, 5)→(1, −5)→(1, −2)(1,\,5) \to (1,\,-5) \to (1,\,-2)

קודם השיקוף, ואז ההזזה. מי שעשה 5+3=85 + 3 = 8 ואז שיקף, הפך את הסדר.

Exercices

Exercice 1

איך מתקבל הגרף של y=3x2y = 3x^2 מהגרף של y=x2y = x^2?

  1. הזזה של 3 ימינה
  2. הזזה של 3 למעלה
  3. כיווץ אנכי: הפרבולה נעשית רחבה
  4. מתיחה אנכית פי 3: הפרבולה נעשית צרה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D מתיחה אנכית פי 3: הפרבולה נעשית צרה

Corrigé :

(1, 1)→(1, 3),(2, 4)→(2, 12)(1,\,1) \to (1,\,3) ,\quad (2,\,4) \to (2,\,12)

כל yy מוכפל ב-3

(0, 0)→(0, 0)(0,\,0) \to (0,\,0)

הקודקוד לא זז

הנכונה: מתיחה פי 3. כפל מחוץ לפונקציה פועל על yy, לא מזיז. הפרבולה נראית צרה יותר כי היא מטפסת מהר יותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=xf(x) = \sqrt{x} ו-g(x)=12f(x)g(x) = \frac{1}{2}f(x). חשבו את g(16)g(16).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f(16)=16=4\begin{aligned}f(16) &= \sqrt{16} \\ &= 4\end{aligned}

הערך של הפונקציה המקורית

g(16)=12⋅4=2\begin{aligned}g(16) &= \tfrac{1}{2} \cdot 4 \\ &= 2\end{aligned}

כיווץ פי 2

הנקודה (16, 4)(16,\,4) של x\sqrt{x} ירדה ל-(16, 2)(16,\,2). כיווץ: אותו xx, חצי מה-yy.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

לפונקציה ff נקודת מקסימום (−1, 6)(-1,\,6). מצאו את נקודת המקסימום של g(x)=2f(x)g(x) = 2f(x).

x=x = ____ , y=y = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=x = -1 , y=y = 12

Corrigé :

(−1, 2⋅6)=(−1, 12)(-1,\,2 \cdot 6) = (-1,\,12)

ה-xx נשאר, ה-yy מוכפל

a=2>0a = 2 > 0

הסוג נשמר: מקסימום

(−1, 12)(-1,\,12). מתיחה לא מזיזה שום דבר לצדדים: ה-xx של הקיצון נשאר −1-1. מי שכפל גם את ה-xx קיבל (−2, 12)(-2,\,12), וזה שגוי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

לפונקציה ff נקודת מינימום (4, −2)(4,\,-2). מה נכון לגבי g(x)=−3f(x)g(x) = -3f(x)?

  1. ל-gg נקודת מינימום (4, −6)(4,\,-6)
  2. ל-gg נקודת מקסימום (4, 6)(4,\,6)
  3. ל-gg נקודת מינימום (4, 6)(4,\,6)
  4. ל-gg נקודת מקסימום (−12, −2)(-12,\,-2)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B ל-gg נקודת מקסימום (4, 6)(4,\,6)

Corrigé :

(4, −3⋅(−2))=(4, 6)(4,\,-3 \cdot (-2)) = (4,\,6)

ה-yy מוכפל ב-−3-3

a=−3<0 ⇒ min⁡→max⁡a = -3 < 0 \ \Rightarrow \ \min \to \max

מקדם שלילי הופך את הסוג

הנכונה: מקסימום (4, 6)(4,\,6). −3-3 עושה שני דברים: מותח פי 3 ומשקף בציר ה-xx. השיקוף הוא שהופך את המינימום למקסימום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה h(x)=∣x2−9∣h(x) = |x^2 - 9|. חשבו את h(2)h(2).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

22−9=−52^2 - 9 = -5

הביטוי בתוך הערך המוחלט שלילי

∣−5∣=5|-5| = 5

הערך המוחלט הופך אותו

h(2)=5h(2) = 5. הנקודה (2, −5)(2,\,-5) של x2−9x^2 - 9 התקפלה ל-(2, 5)(2,\,5). מי שקיבל −5-5 שכח את הערך המוחלט; מי שקיבל 1313 חישב 4+94 + 9.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

h(x) = |x² − 9|
(-3,0)(3,0)(0,9)-5-4-3-2-1012345-336912xy

נתונה h(x)=∣x2−9∣h(x) = |x^2 - 9| (הגרף למטה). א. כמה פתרונות יש למשוואה h(x)=9h(x) = 9?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

y=9y = 9

ישר אופקי בגובה הפסגה (0, 9)(0,\,9)

x2−9=9 ⇒ x=±18\begin{aligned}x^2 - 9 &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm\sqrt{18}\end{aligned}

שני פתרונות בזרועות

x2−9=−9 ⇒ x=0\begin{aligned}x^2 - 9 &= -9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0\end{aligned}

ועוד אחד בפסגה

3 פתרונות. הישר y=9y = 9 נוגע בדיוק בפסגה. גובה הפסגה הוא ∣−9∣|{-9}|: הערך המוחלט של המינימום של x2−9x^2 - 9.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

h(x) = |x² − 9|
(-3,0)(3,0)(0,9)-5-4-3-2-1012345-336912xy

נתונה h(x)=∣x2−9∣h(x) = |x^2 - 9| (הגרף למטה). ב. כמה פתרונות יש למשוואה h(x)=5h(x) = 5?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

0<5<90 < 5 < 9

הישר y=5y = 5 נמוך מהפסגה

x2−9=5 ⇒ x=±14\begin{aligned}x^2 - 9 &= 5 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm\sqrt{14}\end{aligned}

שניים בזרועות החיצוניות

x2−9=−5 ⇒ x=±2\begin{aligned}x^2 - 9 &= -5 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}

שניים בחלק המקופל

4 פתרונות. כל kk בין 00 ל-99 נותן ארבעה: הישר חותך את שתי ה-«V». מעל 99 נשארים שניים, וב-k=9k = 9 בדיוק שלושה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הפונקציה h(x)=∣x2−9∣h(x) = |x^2 - 9| היא זוגית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

h(−x)=∣(−x)2−9∣=∣x2−9∣=h(x)\begin{aligned}h(-x) &= |(-x)^2 - 9| \\ &= |x^2 - 9| \\ &= h(x)\end{aligned}

מציבים −x-x

h(2)=h(−2)=5\begin{aligned}h(2) &= h(-2) \\ &= 5\end{aligned}

בדיקה בנקודה

נכון. x2−9x^2 - 9 זוגית, והערך המוחלט שומר על הסימטריה לציר ה-yy: הוא מקפל את שני הצדדים באותו אופן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הגרף של f
(-1,2)(1,-2)-2-1012-4-3-2-11234xy

בגרף שלמטה, לפונקציה ff נקודת מקסימום (−1, 2)(-1,\,2) ונקודת מינימום (1, −2)(1,\,-2). מצאו את נקודת המקסימום של h(x)=f(x−3)h(x) = f(x - 3).

x=x = ____ , y=y = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=x = 2 , y=y = 2

Corrigé :

x−3 ⇒ p=3x - 3 \ \Rightarrow \ p = 3

3 ימינה

(−1+3, 2)=(2, 2)(-1 + 3,\,2) = (2,\,2)

ה-yy לא משתנה

מקסימום (2, 2)(2,\,2), ומינימום (4, −2)(4,\,-2). הזזה אופקית לא נוגעת ב-yy ולא בסוג הקיצון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

הגרף של f
(-1,2)(1,-2)-2-1012-4-3-2-11234xy

בגרף שלמטה, לפונקציה ff נקודת מקסימום (−1, 2)(-1,\,2) ונקודת מינימום (1, −2)(1,\,-2). מצאו את נקודת המקסימום של k(x)=−f(x)+1k(x) = -f(x) + 1.

x=x = ____ , y=y = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=x = 1 , y=y = 3

Corrigé :

−f: (−1, −2), (1, 2)-f: \ (-1,\,-2) ,\ (1,\,2)

שיקוף בציר ה-xx: הסוגים מתהפכים

+1: (−1, −1), (1, 3)+1: \ (-1,\,-1) ,\ (1,\,3)

1 למעלה

max⁡=(1, 3)\max = (1,\,3)

המינימום הישן הוא המקסימום החדש

מקסימום (1, 3)(1,\,3). המינימום (1, −2)(1,\,-2) של ff התהפך ל-(1, 2)(1,\,2) ועלה ל-(1, 3)(1,\,3). מי שענה (−1, 3)(-1,\,3) הזיז את המקסימום הישן במקום להפוך אותו.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe