On résout ensemble · Fonctions puissance et racine, transformations · Kita י

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: פונקציית שורש מוזזת, זוגיות, ערך מוחלט ומספר פתרונות, קיצון של פונקציה מוזזת מגרף, ותחום הגדרה עם שני תנאים. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. הפער בין התוכנית שלכם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד.

1 — פונקציית שורש מוזזת: תחום, התחלה, חיתוכים

Activité interactive

נתונה $f(x) = \sqrt{x + 4} - 2$ . א. מצאו את תחום ההגדרה. ב. מצאו את נקודת ההתחלה של הגרף. ג. תארו איך מתקבל הגרף מהגרף של $y = \sqrt{x}$ . ד. מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים.

f(x) = \sqrt{x + 4} - 2

לחצו «להתחיל». התחום הוא הצעד הראשון, ונקודת ההתחלה יוצאת ממנו.

x + 4 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq -4

א. תחום ההגדרה.

א. תחום

\begin{aligned}f(-4) &= \sqrt{0} - 2 \\ &= -2\end{aligned}

ב. נקודת ההתחלה $(-4,\,-2)$ : הקצה של התחום.

ב. התחלה

\sqrt{x} \ \to \ \sqrt{x + 4} \ \to \ \sqrt{x + 4} - 2

ג. 4 שמאלה ( $p = -4$ ), ואז 2 למטה ( $k = -2$ ).

ג. תיאור

\begin{aligned}f(0) &= \sqrt{4} - 2 \\ &= 0\end{aligned}

ד. חיתוך עם ציר ה- $y$ : $(0,\,0)$ — הראשית.

ד. ציר y

\begin{aligned}\sqrt{x + 4} &= 2 \ \Rightarrow \ x + 4 \\ &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0\end{aligned}

ד. חיתוך עם ציר ה- $x$ : אותה נקודה $(0,\,0)$ . בדיקה: $0 \geq -4$ ✓

ד. ציר x

הגרף חוצה את שני הצירים באותה נקודה, הראשית. זה קורה כשההזזה השמאלית והתחתונה «מתאזנות»: $\sqrt{4} = 2$ .

Faire l'activité sur elev

האם הגרף של $f$ עובר בנקודה $(5,\,1)$ ?

Voir la réponse et le corrigé

כן. $f(5) = \sqrt{9} - 2 = 1$ . ו- $5$ בתחום. בדיקת נקודה היא תמיד הצבה, לא משוואה.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — זוגיות באלגברה ועל הגרף

Activité interactive

זוגיות של $f(x) = x^4 - 2x^2$

נתונה $f(x) = x^4 - 2x^2$ . א. קבעו אם $f$ זוגית, אי-זוגית או לא זו ולא זו. ב. ידוע ש- $f(2) = 8$ . מצאו את $f(-2)$ בלי לחשב. ג. הנקודה $(1,\,-1)$ נמצאת על הגרף. איזו נקודה נוספת נמצאת עליו בוודאות?

זוגית; $f(-2) = 8$ ; $(-1,\,-1)$

אי-זוגית; $f(-2) = -8$ ; $(-1,\,1)$

זוגית; $f(-2) = -8$ ; $(-1,\,1)$

לא זו ולא זו; אי אפשר לדעת

מה הצעד הראשון בבדיקת זוגיות?

מציבים $-x$ במקום $x$ ומפשטים

Voir la réponse et le corrigé

זו ההגדרה: משווים את $f(-x)$ ל- $f(x)$ .

בודקים אם $f(0) = 0$

Voir la réponse et le corrigé

זה מספר על הראשית, לא על הסימטריה.

\begin{aligned}f(-x) &= (-x)^4 - 2(-x)^2 \\ &= x^4 - 2x^2\end{aligned}

מעריכים זוגיים מוחקים את המינוס

מה קיבלנו?

$f(-x) = f(x)$ : זוגית

Voir la réponse et le corrigé

הביטוי חזר לעצמו בדיוק.

$f(-x) = -f(x)$ : אי-זוגית

Voir la réponse et le corrigé

$-f(x) = -x^4 + 2x^2$ , וזה לא מה שקיבלנו.

f(-x) = f(x) \ \Rightarrow \ \text{זוגית}

א. סימטרית לציר ה- $y$

אז מהו $f(-2)$ ?

$f(-2) = f(2) = 8$

Voir la réponse et le corrigé

זוגית: אותו גובה בשני הצדדים.

$f(-2) = -8$

Voir la réponse et le corrigé

זה היה נכון לפונקציה אי-זוגית.

f(-2) = 8

ב. בלי חישוב

$(1,\,-1)$ על הגרף. איזו נקודה עוד?

$(-1,\,-1)$

Voir la réponse et le corrigé

משנים את הסימן של $x$ בלבד.

$(-1,\,1)$

Voir la réponse et le corrigé

זו סימטריה לראשית, של פונקציה אי-זוגית.

(1,\,-1) \to (-1,\,-1)

ג. קיפול על ציר ה- $y$

Voir la réponse et le corrigé

זוגית; $f(-2) = 8$ ; $(-1,\,-1)$ . בבחינה כותבים את ההצבה $f(-x)$ במלואה ואת המסקנה במילים. הסעיפים ב ו-ג הם אותה תכונה, פעם במספר ופעם בנקודה.

Faire l'activité sur elev

אם היו משנים את הפונקציה ל- $f(x) = x^4 - 2x$ , מה היה משתנה?

Voir la réponse et le corrigé

$f(-x) = x^4 + 2x$ : לא שווה ל- $f(x)$ ולא ל- $-f(x) = -x^4 + 2x$ . הפונקציה לא זוגית ולא אי-זוגית, ומ- $f(2)$ אי אפשר לדעת כלום על $f(-2)$ . מעריך אי-זוגי אחד מספיק.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — פרבולה, ערך מוחלט ומספר הפתרונות

Activité interactive

נתונה $g(x) = (x - 2)^2 - 9$ . א. מצאו את קודקוד הפרבולה ואת נקודות החיתוך עם ציר ה- $x$ . ב. נתונה $h(x) = |g(x)|$ . מצאו את נקודות הקיצון של $h$ . ג. לאילו ערכי $k$ יש למשוואה $h(x) = k$ בדיוק 3 פתרונות? ולאילו 4?

\begin{aligned}g(x) &= (x - 2)^2 - 9 \\ \quad h(x) &= |g(x)|\end{aligned}

לחצו «להתחיל». קודם הפרבולה, אחר כך הקיפול, ובסוף הישר האופקי.

(2,\,-9)

א. הקודקוד: $x^2$ אחרי 2 ימינה ו-9 למטה. מינימום.

א. קודקוד

\begin{aligned}(x - 2)^2 &= 9 \ \Rightarrow \ x - 2 \\ &= \pm 3 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5 \\ \ x &= -1\end{aligned}

א. חיתוך עם ציר ה- $x$ : $(-1,\,0)$ ו- $(5,\,0)$ .

א. אפסים

h: \ (2,\,-9) \to (2,\,9)

ב. החלק שמתחת לציר מתקפל: המינימום הופך למקסימום $(2,\,9)$ .

ב. מקסימום

\min: \ (-1,\,0) ,\ (5,\,0)

ב. בנקודות האפס הגרף «נשבר»: שני מינימום בגובה $0$ .

ב. מינימום

k = 9 \ \Rightarrow \ 3 \ \text{פתרונות}

ג. הישר $y = 9$ נוגע בפסגה ובשתי הזרועות.

ג. שלושה

0 < k < 9 \ \Rightarrow \ 4 \ \text{פתרונות}

ג. הישר עובר מתחת לפסגה וחותך את שתי ה-«V».

ג. ארבעה

הגובה שמפריד בין 4 פתרונות ל-2 הוא הערך המוחלט של המינימום: $|-9| = 9$ . זה המספר שכל שאלה כזאת שואלת עליו, גם כשלא מנוסחת כך.

Faire l'activité sur elev

כמה פתרונות יש ל- $h(x) = 0$ ? ול- $h(x) = -1$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$h(x) = 0$ : 2 פתרונות, $x = -1$ ו- $x = 5$ , נקודות האפס. $h(x) = -1$ : 0 פתרונות, ערך מוחלט לעולם אינו שלילי.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — קיצון מהגרף, אחרי שתי טרנספורמציות

הגרף של f

Activité interactive

$h(x) = f(x - 2)$ ו- $k(x) = -f(x) + 3$

בגרף שלמעלה, לפונקציה $f$ נקודת מקסימום $(-1,\,2)$ ונקודת מינימום $(1,\,-2)$ . א. מצאו את נקודות הקיצון של $h(x) = f(x - 2)$ . ב. מצאו את נקודות הקיצון של $k(x) = -f(x) + 3$ וקבעו את סוגן.

$h$ : מקס' $(1,\,2)$ , מינ' $(3,\,-2)$ ; $k$ : מינ' $(-1,\,1)$ , מקס' $(1,\,5)$

$h$ : מקס' $(-3,\,2)$ , מינ' $(-1,\,-2)$ ; $k$ : מינ' $(-1,\,1)$ , מקס' $(1,\,5)$

$h$ : מקס' $(1,\,2)$ , מינ' $(3,\,-2)$ ; $k$ : מקס' $(-1,\,5)$ , מינ' $(1,\,1)$

$h$ : מקס' $(-1,\,4)$ , מינ' $(1,\,0)$ ; $k$ : מינ' $(-1,\,-1)$ , מקס' $(1,\,-5)$

$f(x - 2)$ : לאן זז הגרף?

2 ימינה

Voir la réponse et le corrigé

מינוס בתוך הסוגריים מזיז ימינה: $p = 2$ .

2 שמאלה

Voir la réponse et le corrigé

$x - 2$ הוא $p = 2 > 0$ , ימינה. הכיוון ההפוך מהמצופה.

\begin{aligned}h: \ (-1 + 2,\,2) &= (1,\,2) \\ \quad (1 + 2,\,-2) &= (3,\,-2)\end{aligned}

א. מקסימום $(1,\,2)$ , מינימום $(3,\,-2)$

$-f(x) + 3$ : מה עושים קודם?

קודם השיקוף $-f$ , ואז $+3$

Voir la réponse et le corrigé

סדר החישוב: כפל לפני חיבור.

קודם $+3$ , ואז השיקוף

Voir la réponse et le corrigé

$-f(x) + 3$ אינו $-(f(x) + 3)$ . הסדר משנה את התוצאה.

-f: \ (-1,\,-2) ,\ (1,\,2)

שיקוף בציר ה- $x$ : הסוגים מתהפכים

ועכשיו $+3$ :

$(-1,\,1)$ מינימום, $(1,\,5)$ מקסימום

Voir la réponse et le corrigé

3 למעלה לכל נקודה, הסוג כבר נקבע בשיקוף.

$(-1,\,5)$ מקסימום, $(1,\,1)$ מינימום

Voir la réponse et le corrigé

זה $f(x) + 3$ בלי השיקוף. שכחתם את המינוס.

k: \ (-1,\,1) \ \min ,\quad (1,\,5) \ \max

ב. המינימום הישן הפך למקסימום החדש

Voir la réponse et le corrigé

$h$ : מקס' $(1,\,2)$ , מינ' $(3,\,-2)$ ; $k$ : מינ' $(-1,\,1)$ , מקס' $(1,\,5)$ . שתי טעויות מחכות כאן: כיוון ההזזה האופקית, וסדר הפעולות בשיקוף עם הזזה.

Faire l'activité sur elev

מהי נקודת המינימום של $m(x) = f(-x)$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$(-1,\,-2)$ . שיקוף בציר ה- $y$ הופך את הסימן של $x$ בלבד ושומר על הסוג: המינימום $(1,\,-2)$ עובר ל- $(-1,\,-2)$ .

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — תחום הגדרה עם שני תנאים

Activité interactive

נתונה $f(x) = \dfrac{\sqrt{2x - 6}}{x - 5}$ . א. מצאו את תחום ההגדרה. ב. האם הנקודות שבהן $x = 3$ ו- $x = 5$ נמצאות על הגרף? אם כן, מצאו אותן.

f(x) = \frac{\sqrt{2x - 6}}{x - 5}

לחצו «להתחיל». שני תנאים, ושניהם חייבים להתקיים.

2x - 6 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq 3

תנאי השורש. השורש במונה, ולכן אפס מותר.

שורש

x - 5 \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq 5

תנאי המכנה.

מכנה

x \geq 3 \ \text{וגם} \ x \neq 5

א. התחום: החיתוך של שני התנאים.

א. תחום

\begin{aligned}f(3) &= \frac{\sqrt{0}}{-2} \\ &= 0\end{aligned}

ב. $x = 3$ בתחום: הנקודה $(3,\,0)$ , נקודת ההתחלה של הגרף.

ב. x = 3

x = 5 \ \notin \ D

ב. $x = 5$ מחוץ לתחום: המכנה מתאפס, אין נקודה כזאת על הגרף.

ב. x = 5

הנקודה $5$ נמצאת בתוך הקטע $x \geq 3$ , ולכן חייבים להוציא אותה במפורש. תחום שכותב רק $x \geq 3$ הוא תשובה חלקית.

Faire l'activité sur elev

מה היה משתנה אם השורש היה במכנה: $f(x) = \dfrac{x - 5}{\sqrt{2x - 6}}$ ?

Voir la réponse et le corrigé

תנאי השורש הופך לאי-שוויון חזק, $2x - 6 > 0$ , כלומר $x > 3$ . ו- $x = 5$ מותר: $f(5) = 0$ . התחום: $x > 3$ .

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

Exercices

Exercice 1

נתונה $g(x) = \sqrt{x - 1} - 3$ . מצאו את נקודת ההתחלה של הגרף ואת שיעור ה- $x$ של נקודת החיתוך עם ציר ה- $x$ .

התחלה: $x =$ ____ , $y =$ ____ ; חיתוך עם ציר $x$ : $x =$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : התחלה: $x =$ 1 , $y =$ -3 ; חיתוך עם ציר $x$ : $x =$ 10

Corrigé :

x - 1 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq 1

תחום ההגדרה

\begin{aligned}g(1) &= 0 - 3 \\ &= -3\end{aligned}

נקודת ההתחלה $(1,\,-3)$ : 1 ימינה, 3 למטה

\begin{aligned}\sqrt{x - 1} &= 3 \ \Rightarrow \ x - 1 \\ &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה- $x$ . בדיקה: $\sqrt{9} - 3 = 0$ ✓

הגרף מתחיל מתחת לציר ב- $(1,\,-3)$ , עולה, וחוצה את ציר ה- $x$ ב- $(10,\,0)$ . מי שכתב $x - 1 = 3$ שכח להעלות בחזקת 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה $f(x) = x^4 - 5x^2$ , ונתון ש- $f(3) = 36$ . מצאו את $f(-3)$ בעזרת הזוגיות של $f$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 36

Corrigé :

\begin{aligned}f(-x) &= (-x)^4 - 5(-x)^2 \\ &= x^4 - 5x^2 \\ &= f(x)\end{aligned}

כל המעריכים זוגיים: $f$ זוגית

\begin{aligned}f(-3) &= f(3) \\ &= 36\end{aligned}

אותו גובה בשני הצדדים

$f(-3) = 36$ . פונקציה זוגית «לא מבחינה» בין $3$ ל- $-3$ . בדיקה ישירה: $81 - 45 = 36$ ✓

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה $g(x) = x^2 - 1$ ו- $h(x) = |g(x)|$ . השלימו.

ל- $h(x) = k$ יש בדיוק 3 פתרונות כאשר $k =$ ____ ; מספר הפתרונות של $h(x) = 0.5$ : ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ל- $h(x) = k$ יש בדיוק 3 פתרונות כאשר $k =$ 1 ; מספר הפתרונות של $h(x) = 0.5$ : 4

Corrigé :

g: \ \min (0,\,-1)

מינימום הפרבולה

h: \ \max (0,\,1)

הקיפול הופך אותו לפסגה בגובה $|-1| = 1$

\begin{aligned}k &= 1 \ \Rightarrow \ 3 \\ \quad 0 < 0.5 < 1 \ \Rightarrow \ 4\end{aligned}

בגובה הפסגה: 3. מתחתיה: 4

שלושה פתרונות בדיוק בגובה הפסגה, $k = 1$ . כל $k$ בין $0$ ל- $1$ נותן ארבעה: $x^2 - 1 = \pm 0.5$ , שתי משוואות עם שני פתרונות כל אחת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

לפונקציה $f$ נקודת מקסימום $(2,\,4)$ ונקודת מינימום $(5,\,-1)$ . מצאו את נקודת המקסימום של $h(x) = -f(x - 1) + 2$ .

$x =$ ____ , $y =$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $x =$ 6 , $y =$ 3

Corrigé :

f(x - 1): \ (3,\,4) ,\ (6,\,-1)

1 ימינה

-f(x - 1): \ (3,\,-4) ,\ (6,\,1)

שיקוף בציר ה- $x$ : הסוגים מתהפכים

+2: \ (3,\,-2) \ \min ,\quad (6,\,3) \ \max

2 למעלה

מקסימום $(6,\,3)$ : הוא בא מהמינימום $(5,\,-1)$ של $f$ , שזז ימינה, התהפך, ועלה. הסדר: הזזה אופקית, שיקוף, הזזה אנכית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מהו תחום ההגדרה של $f(x) = \dfrac{\sqrt{3x - 12}}{x - 7}$ ?

$x \geq 4$ וגם $x \neq 7$
$x > 4$ וגם $x \neq 7$
$x \geq 4$ וגם $x \neq -7$
$x \geq 4$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $x \geq 4$ וגם $x \neq 7$

Corrigé :

3x - 12 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq 4

תנאי השורש: במונה, אפס מותר

x - 7 \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq 7

תנאי המכנה

x \geq 4 \ \text{וגם} \ x \neq 7

החיתוך

הנכונה: $x \geq 4$ וגם $x \neq 7$ . $7$ נמצא בתוך הקטע ולכן חייבים להוציא אותו. $x > 4$ היה נכון רק אם השורש היה במכנה.

Vérifier la réponse sur elev

1 — פונקציית שורש מוזזת: תחום, התחלה, חיתוכים

2 — זוגיות באלגברה ועל הגרף

3 — פרבולה, ערך מוחלט ומספר הפתרונות

4 — קיצון מהגרף, אחרי שתי טרנספורמציות

5 — תחום הגדרה עם שני תנאים

Exercices

La suite se pratique sur elev