Événements, diagramme de Venn et règles · Probabilités · Kita י

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

מטילים קובייה הוגנת. כל התוצאות האפשריות יחד הן מרחב המדגם $U=\{1,2,3,4,5,6\}$ . מאורע הוא קבוצה של תוצאות מתוך $U$ . נסתכל על שני מאורעות: $A$ — «יצא מספר זוגי», ו- $B$ — «יצא מספר גדול מ-3». לפני כל כלל, הסתכלו איפה כל תוצאה נמצאת בציור.

הטלת קובייה:

A

— זוגי,

B

— גדול מ-3

כל תוצאה נמצאת באזור אחד בלבד. האזור המשותף לשני העיגולים הוא

A \cap B

, והמלבן כולו הוא

U

לפי הציור: אילו תוצאות נמצאות ב- $A \cap B$ , אילו ב- $A \cup B$ ואילו ב- $\bar{A}$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$A \cap B=\{4,6\}$ — גם זוגי וגם גדול מ-3. $A \cup B=\{2,4,5,6\}$ — לפחות אחד מהשניים. $\bar{A}=\{1,3,5\}$ — כל מה שנמצא מחוץ לעיגול של $A$ .

המילים של הפרק

A \cap B

חיתוך: $A$ וגם $B$

A \cup B

איחוד: $A$ או $B$ , או שניהם

\bar{A}

המאורע המשלים: כל מה שב- $U$ ואינו ב- $A$

A \cap B=\emptyset

מאורעות זרים: אין להם תוצאה משותפת

A \subseteq B

$A$ מוכל ב- $B$ : כל תוצאה של $A$ היא גם תוצאה של $B$

U \ ,\ \emptyset

מאורע ודאי ומאורע בלתי אפשרי

שלוש דרכים לקבל הסתברות

P(A)=\frac{n(A)}{n(U)}

ספירה, כשכל התוצאות שוות סיכוי. בקובייה: $P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

P(A) \approx \frac{k}{n}

שכיחות יחסית: חוזרים על הניסוי $n$ פעמים, ו- $A$ קרה $k$ פעמים

P(A)=\frac{S_A}{S}

יחס שטחים: נקודה נבחרת באקראי בתוך צורה ששטחה $S$ , ו- $S_A$ הוא השטח של האזור של $A$

נקודה נבחרת באקראי על לוח ששטחו 1600 סמ״ר. על הלוח מסומן אזור ששטחו 200 סמ״ר. מה ההסתברות שהנקודה תיפול באזור המסומן?

Voir la réponse et le corrigé

$\frac{200}{1600}=\frac{1}{8}$ . ההסתברות היא החלק מהשטח שהאזור תופס. הצורה של האזור לא משנה, רק השטח שלו.

כללי ההסתברות

0 \leq P(A) \leq 1

לכל מאורע

\begin{aligned}P(U) &= 1 \\ \quad P(\emptyset) &= 0\end{aligned}

המאורע הוודאי והמאורע הבלתי אפשרי

A \subseteq B \ \Rightarrow \ P(A) \leq P(B)

מאורע שמכיל יותר תוצאות — הסתברות גדולה יותר או שווה

P(\bar{A})=1-P(A)

המשלים: $A$ ו- $\bar{A}$ יחד הם כל $U$

האיחוד — בלי לספור פעמיים

P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)

כשהמאורעות זרים, $P(A \cap B)=0$ , והנוסחה מתקצרת ל- $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$ . הנוסחה קושרת ארבעה מספרים: כל שלושה מהם נותנים את הרביעי.

שתי שפות בשכבה

בשכבה 200 תלמידים. 120 לומדים ערבית, 70 לומדים צרפתית, ו-40 לומדים את שתי השפות. בוחרים תלמיד באקראי. $A$ — לומד ערבית, $B$ — לומד צרפתית.

\begin{aligned}P(A) &= \frac{120}{200} \\ &= 0.6 \\ \quad P(B) &= \frac{70}{200} \\ &= 0.35 \\ \quad P(A \cap B) &= \frac{40}{200} \\ &= 0.2\end{aligned}

מתרגמים כל מספר להסתברות

\begin{aligned}P(A \cup B) &= 0.6+0.35-0.2 \\ &= 0.75\end{aligned}

לפחות אחת משתי השפות

\begin{aligned}P(\overline{A \cup B}) &= 1-0.75 \\ &= 0.25\end{aligned}

אף אחת מהשתיים: המשלים של האיחוד

\begin{aligned}P(A \cap \bar{B}) &= 0.6-0.2 \\ &= 0.4\end{aligned}

ערבית בלבד: מ- $P(A)$ מורידים את החיתוך

$P(A)=0.7$ ו- $P(B)=0.5$ . האם $A$ ו- $B$ יכולים להיות זרים?

Voir la réponse et le corrigé

לא. אילו היו זרים, היה יוצא $P(A \cup B)=0.7+0.5=1.2>1$ , וזה בלתי אפשרי. לכן $P(A \cap B) \geq 0.2$ .

בכל שאלה על שני מאורעות, ציירו דיאגרמת ון ומלאו קודם את החיתוך. רק אחר כך ממלאים את מה שנשאר בכל עיגול, ובסוף את מה שמחוץ לשניהם.

שלוש טעויות בכללים.

P(A \cup B)=P(A)+P(B)

P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)

החיבור הפשוט נכון רק למאורעות זרים. אחרת החיתוך נספר פעמיים.

\begin{aligned}A \cap B &= \emptyset \ \Rightarrow \ B \\ &= \bar{A}\end{aligned}

\begin{aligned}B &= \bar{A} \ \Rightarrow \ A \cap B \\ &= \emptyset\end{aligned}

מאורעות משלימים הם תמיד זרים, אבל זרים אינם תמיד משלימים. בקובייה $\{1\}$ ו- $\{2\}$ זרים, ויחד הם לא כל $U$ .

P(A \cap \bar{B})=P(A)

P(A \cap \bar{B})=P(A)-P(A \cap B)

« $A$ בלבד» הוא העיגול של $A$ בלי החיתוך.

Exercices

Exercice 1

מתוך עשרה קלפים הממוספרים 1 עד 10 בוחרים קלף אחד באקראי. $A$ — המספר זוגי, $B$ — המספר מתחלק ב-3. מהו $A \cap B$ ?

$\{6\}$
$\{3,9\}$
$\emptyset$
$\{2,3,4,6,8,9,10\}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\{6\}$

Corrigé :

\begin{aligned}A &= \{2,4,6,8,10\} \\ \quad B &= \{3,6,9\}\end{aligned}

רושמים את שני המאורעות

A \cap B=\{6\}

המספרים שנמצאים בשניהם

הנכונה: $\{6\}$ . $\{2,3,4,6,8,9,10\}$ הוא האיחוד, ו- $\{3,9\}$ הוא $B$ בלי החיתוך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מתוך עשרה קלפים הממוספרים 1 עד 10 בוחרים קלף אחד באקראי. $A$ — המספר זוגי, $B$ — המספר מתחלק ב-3. מה $P(A \cup B)$ ? כתבו תשובה עשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.7

Corrigé :

A \cup B=\{2,3,4,6,8,9,10\}

שבעה קלפים

\begin{aligned}P(A \cup B) &= \frac{5}{10}+\frac{3}{10}-\frac{1}{10} \\ &= \frac{7}{10}\end{aligned}

אותה תשובה בנוסחת האיחוד

$0.8$ היא התשובה של מי שחיבר $\frac{5}{10}+\frac{3}{10}$ ושכח שהקלף 6 נספר פעמיים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מתוך עשרה קלפים הממוספרים 1 עד 10 בוחרים קלף אחד באקראי. $A$ — המספר זוגי, $B$ — המספר מתחלק ב-3. מה ההסתברות שהמספר אינו זוגי ואינו מתחלק ב-3?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.3

Corrigé :

\bar{A} \cap \bar{B}=\overline{A \cup B}

לא זה ולא זה: המשלים של האיחוד

1-0.7=0.3

הקלפים $\{1,5,7\}$

«לא זה ולא זה» הוא המשלים של «לפחות אחד». מי שחישב $1-P(A \cap B)$ קיבל את המשלים של «שניהם».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

אם $A$ ו- $B$ מאורעות משלימים, אז הם זרים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}B &= \bar{A} \ \Rightarrow \ A \cap B \\ &= A \cap \bar{A} \\ &= \emptyset\end{aligned}

לתוצאה אי אפשר להיות גם ב- $A$ וגם מחוץ ל- $A$

נכון. המשלים מכיל בדיוק את מה שאינו ב- $A$ , ולכן אין לו שום תוצאה משותפת עם $A$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

אם $A$ ו- $B$ מאורעות זרים, אז הם משלימים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

\begin{aligned}A &= \{1\} \\ \ B &= \{2\} \\ \quad A \cap B &= \emptyset\end{aligned}

בקובייה: זרים

A \cup B=\{1,2\} \neq U

אבל יחד הם לא כל מרחב המדגם

לא נכון. משלימים הם זרים וגם יחד מכסים את כל $U$ . זרים אינם חייבים לכסות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתון: $P(A)=0.5$ , $P(B)=0.4$ ו- $P(A \cup B)=0.7$ . מצאו את $P(A \cap B)$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.2

Corrigé :

P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)

נוסחת האיחוד

\begin{aligned}0.7 &= 0.5+0.4-P(A \cap B) \ \Rightarrow \ P(A \cap B) \\ &= 0.2\end{aligned}

מבודדים את החיתוך

הנוסחה קושרת ארבעה מספרים. מי שענה $0.9$ חיבר את $P(A)$ ו- $P(B)$ ושכח שהאיחוד נתון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתון: $P(A)=0.6$ ו- $P(B)=0.7$ . מה נכון בוודאות?

$A \subseteq B$
$A$ ו- $B$ זרים
$P(A \cap B) \geq 0.3$
$P(A \cup B)=1.3$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $P(A \cap B) \geq 0.3$

Corrigé :

P(A \cap B)=P(A)+P(B)-P(A \cup B)

נוסחת האיחוד, הפוכה

P(A \cup B) \leq 1 \ \Rightarrow \ P(A \cap B) \geq 0.6+0.7-1=0.3

הסתברות אינה עולה על 1

הנכונה: $P(A \cap B) \geq 0.3$ . אילו היו זרים, האיחוד היה $1.3>1$ . ו- $A \subseteq B$ אפשרי, אבל לא בטוח.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

בשכונה 80 משפחות. 36 מחזיקות כלב, 28 מחזיקות חתול, ו-12 מחזיקות גם כלב וגם חתול. בוחרים משפחה באקראי. מה ההסתברות שאין לה כלב ואין לה חתול?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.35

Corrigé :

36+28-12=52

משפחות עם כלב או חתול — החיתוך נספר פעם אחת

80-52=28

בלי אף אחד מהשניים

\frac{28}{80}=0.35

ההסתברות

מי שחישב $80-36-28=16$ הוריד את 12 המשפחות שבחיתוך פעמיים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

כדור נוחת בנקודה אקראית במגרש ששטחו 600 מ״ר. בתוך המגרש ארגז חול ששטחו 90 מ״ר. מה ההסתברות שהכדור לא ינחת בארגז החול?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.85

Corrigé :

\begin{aligned}P(A) &= \frac{90}{600} \\ &= 0.15\end{aligned}

יחס שטחים: ארגז החול מתוך המגרש

\begin{aligned}P(\bar{A}) &= 1-0.15 \\ &= 0.85\end{aligned}

המשלים

השאלה היא על המשלים. $0.15$ היא ההסתברות לנחות בתוך ארגז החול.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מטילים קובייה. $A$ — יצא 6, $B$ — יצא מספר זוגי. איזו טענה נכונה?

$A$ ו- $B$ זרים
$A$ ו- $B$ משלימים
$B \subseteq A$ , ולכן $P(B) \leq P(A)$
$A \subseteq B$ , ולכן $P(A) \leq P(B)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $A \subseteq B$ , ולכן $P(A) \leq P(B)$

Corrigé :

\begin{aligned}A &= \{6\} \\ \quad B &= \{2,4,6\}\end{aligned}

רושמים את המאורעות

A \subseteq B \ \Rightarrow \ \frac{1}{6} \leq \frac{3}{6}

כל תוצאה של $A$ היא גם של $B$

הנכונה: $A \subseteq B$ . $A$ ו- $B$ אינם זרים: ל-6 יש מקום בשניהם.

Vérifier la réponse sur elev

חזרה — מבקרים במוזיאון

Exercice 11

ההסתברות שמבקר במוזיאון הוא מנוי של המוזיאון גדולה ב- $0.2$ מההסתברות שהוא אינו מנוי. א. בוחרים באקראי מבקר במוזיאון. מה ההסתברות שהוא מנוי?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.6

Corrigé :

\begin{aligned}P(M) &= x \\ \quad P(\bar{M}) &= x-0.2\end{aligned}

נסמן $M$ — המבקר מנוי

x+(x-0.2)=1

מאורע והמשלים שלו: סכום ההסתברויות 1

\begin{aligned}2x &= 1.2 \Rightarrow x \\ &= 0.6\end{aligned}

On résout

$P(M)=0.6$ ו- $P(\bar{M})=0.4$ , וההפרש ביניהן $0.2$ ✓. המלכודת: לענות $0.2$ — זה ההפרש, לא ההסתברות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

ההסתברות שמבקר במוזיאון הוא מנוי היא $0.6$ . $45\%$ מהמבקרים מגיעים בסיור מודרך, ו- $25\%$ מהמבקרים אינם מנויים ואינם מגיעים בסיור מודרך. ב. בוחרים באקראי מבקר. מה ההסתברות שהוא מנוי ו/או מגיע בסיור מודרך?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.75

Corrigé :

G

נסמן $G$ — מגיע בסיור מודרך. «ו/או» הוא האיחוד $M \cup G$

P(\bar{M} \cap \bar{G})=0.25

מחוץ לשני העיגולים בדיאגרמת ון

\begin{aligned}P(M \cup G) &= 1-0.25 \\ &= 0.75\end{aligned}

האיחוד הוא המשלים של «אף אחד מהשניים»

$0.75$ . הנתונים $0.6$ ו- $0.45$ לא נחוצים לשאלה הזאת: מה שמחוץ לאיחוד כבר נתון. הם כן נותנים את החיתוך: $0.6+0.45-0.75=0.3$ .

Vérifier la réponse sur elev

המילים של הפרק

שלוש דרכים לקבל הסתברות

כללי ההסתברות

האיחוד — בלי לספור פעמיים

Exercices

חזרה — מבקרים במוזיאון

La suite se pratique sur elev