Probabilité conditionnelle et tableau à double entrée

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בשכבה י׳ יש 200 תלמידים. שאלו כל אחד מהם אם הוא משחק בקבוצת ספורט. התשובות מסודרות בטבלה דו-ממדית: כל תלמיד נמצא במשבצת אחת בלבד. הסתכלו על הטבלה לפני הנוסחה.

200 תלמידי שכבה י׳
בקבוצת ספורטלא בקבוצהסה״כ
בנים6040100
בנות3070100
סה״כ90110200
השורה של הבנים לבדה היא «עולם» של 100 תלמידים. המשבצת המסומנת: בנים שמשחקים בקבוצת ספורט.

בוחרים תלמיד באקראי. מה ההסתברות שהוא משחק בקבוצת ספורט? ומה ההסתברות הזאת אם ידוע שנבחר בן?

Voir la réponse et le corrigé

90200=0.45\frac{90}{200}=0.45. כשידוע שנבחר בן, מסתכלים רק על השורה של הבנים: 60100=0.6\frac{60}{100}=0.6. המידע שינה את ההסתברות.

ההגדרה

P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(B)>0\begin{aligned}P(A \mid B) &= \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \\ \quad P(B)>0\end{aligned}

ההסתברות של AA בתנאי BB

קוראים: «ההסתברות של AA בהינתן BB». המאורע BB הוא מרחב המדגם החדש: מחלקים ב-P(B)P(B) ולא ב-1. בטבלה של מספרים זה פשוט: P(A∣B)=n(A∩B)n(B)P(A \mid B)=\frac{n(A \cap B)}{n(B)} — המשבצת חלקי הסכום של השורה או העמודה של התנאי.

P(A∣B)P(A \mid B) אינה P(B∣A)P(B \mid A)

כמעט כל שחקני הכדורסל בבית הספר גבוהים מ-1.80 מ׳. האם מכאן שכמעט כל מי שגבוה מ-1.80 מ׳ משחק כדורסל?

Voir la réponse et le corrigé

לא. נסמן KK — משחק כדורסל, GG — גבוה מ-1.80 מ׳. הנתון הוא ש-P(G∣K)P(G \mid K) קרובה ל-1. השאלה היא על P(K∣G)P(K \mid G): מבין כל הגבוהים, כמה משחקים. יש הרבה גבוהים שאינם משחקים, ולכן היא יכולה להיות קטנה.

טבלה של הסתברויות

לפעמים הטבלה נותנת הסתברויות ולא מספרים של אנשים. הכללים זהים: סכום כל המשבצות הפנימיות הוא 1, והשוליים הם סכומי השורות והעמודות. זו יכולה להיות טבלה של 2 על 2 או של 2 על 3.

סקר תחבורה: הסתברויות
אוטובוסרכבתרכבסה״כ
צעירים0.160.120.120.4
מבוגרים0.140.080.380.6
סה״כ0.30.20.51
כל משבצת פנימית היא הסתברות של «גם וגם». סכום כל המשבצות הפנימיות הוא 1.

קוראים את הטבלה

בוחרים באקראי אדם מהסקר. YY — צעיר, RR — נוסע ברכבת.

P(R)=0.12+0.08=0.2\begin{aligned}P(R) &= 0.12+0.08 \\ &= 0.2\end{aligned}

סכום העמודה של הרכבת

P(Y∩R)=0.12P(Y \cap R)=0.12

משבצת אחת

P(R∣Y)=0.120.4=0.3\begin{aligned}P(R \mid Y) &= \frac{0.12}{0.4} \\ &= 0.3\end{aligned}

מבין הצעירים: מחלקים בסכום השורה

P(Y∣R)=0.120.2=0.6\begin{aligned}P(Y \mid R) &= \frac{0.12}{0.2} \\ &= 0.6\end{aligned}

מבין נוסעי הרכבת: מחלקים בסכום העמודה

נסמן CC — נוסע ברכב. מה ההסתברות שאדם מהסקר אינו נוסע ברכב, אם ידוע שהוא מבוגר?

Voir la réponse et le corrigé

P(Cˉ∣Yˉ)=0.14+0.080.6=0.220.6=1130P(\bar{C} \mid \bar{Y})=\frac{0.14+0.08}{0.6}=\frac{0.22}{0.6}=\frac{11}{30}. או דרך המשלים: 1−0.380.6=11301-\frac{0.38}{0.6}=\frac{11}{30}.

לפני כל חילוק שאלו: מה ידוע? מה שידוע הוא המכנה — השורה או העמודה שלו, ולא כל הטבלה.

שלוש טעויות בהסתברות מותנית.

P(A∣B)=P(A∩B)P(A)P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}
P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}

מחלקים בהסתברות של התנאי — מה שכתוב אחרי הקו.

P(A∣B)=P(A∩B)P(A \mid B)=P(A \cap B)
P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}

«בהינתן» אינו «וגם». P(A∩B)P(A \cap B) מחושבת מתוך כל UU, ו-P(A∣B)P(A \mid B) מתוך BB בלבד.

P(A∣B)=P(B∣A)P(A \mid B)=P(B \mid A)
P(A∣B)⋅P(B)=P(B∣A)⋅P(A)P(A \mid B) \cdot P(B)=P(B \mid A) \cdot P(A)

המונה זהה, המכנים שונים. שתיהן שוות רק כש-P(A)=P(B)P(A)=P(B).

Exercices

Exercice 1

מסלול ארוךמסלול קצרסה״כ
ברכב7575150
באוטובוס2575100
סה״כ100150250

בסקר בקרב 250 מבקרים בפארק לאומי נשאלו המבקרים איך הגיעו ובאיזה מסלול טיילו. בוחרים מבקר באקראי. מה ההסתברות שהמבקר טייל במסלול הארוך?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.4

Corrigé :

75+25250=100250=0.4\begin{aligned}\frac{75+25}{250} &= \frac{100}{250} \\ &= 0.4\end{aligned}

סכום העמודה של המסלול הארוך, חלקי כל המבקרים

אין כאן תנאי, ולכן המכנה הוא כל 250 המבקרים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מסלול ארוךמסלול קצרסה״כ
ברכב7575150
באוטובוס2575100
סה״כ100150250

בסקר בקרב 250 מבקרים בפארק לאומי נשאלו המבקרים איך הגיעו ובאיזה מסלול טיילו. בוחרים מבקר באקראי. ידוע שהמבקר הגיע ברכב. מה ההסתברות שטייל במסלול הארוך?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

n(רכב)=150n(\text{רכב})=150

התנאי: שורת הרכב

75150=0.5\frac{75}{150}=0.5

המשבצת חלקי השורה

המכנה הוא 150, סכום השורה של הרכב. 75250=0.3\frac{75}{250}=0.3 היא ההסתברות של «ברכב וגם מסלול ארוך».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מסלול ארוךמסלול קצרסה״כ
ברכב7575150
באוטובוס2575100
סה״כ100150250

בסקר בקרב 250 מבקרים בפארק לאומי נשאלו המבקרים איך הגיעו ובאיזה מסלול טיילו. בוחרים מבקר באקראי. ידוע שהמבקר טייל במסלול הארוך. מה ההסתברות שהגיע ברכב?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.75

Corrigé :

n(L)=100n(L)=100

התנאי: עמודת המסלול הארוך. נסמן LL — מסלול ארוך

75100=0.75\frac{75}{100}=0.75

המשבצת חלקי העמודה

זו השאלה ההפוכה לקודמת: אותה משבצת, 75, אבל מכנה אחר. 0.5≠0.750.5 \neq 0.75.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

רובוטיקהתיאטרוןספורטסה״כ
בנים0.150.05?0.4
בנות0.10.20.3?
סה״כ???1

בחטיבה בחר כל תלמיד חוג אחד. הטבלה נותנת את ההסתברויות לכל צירוף של מין וחוג. בוחרים תלמיד באקראי. השלימו.

ההסתברות לבן בחוג ספורט: ____ ; ההסתברות לחוג ספורט: ____ ; ההסתברות לבת, אם ידוע שנבחר תלמיד מחוג ספורט: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ההסתברות לבן בחוג ספורט: 0.2 ; ההסתברות לחוג ספורט: 0.5 ; ההסתברות לבת, אם ידוע שנבחר תלמיד מחוג ספורט: 0.6

Corrigé :

0.4−0.15−0.05=0.20.4-0.15-0.05=0.2

המשבצת החסרה בשורת הבנים

0.2+0.3=0.50.2+0.3=0.5

סכום העמודה של הספורט

0.30.5=0.6\frac{0.3}{0.5}=0.6

בנות בספורט, חלקי כל הספורט

נסמן SS — חוג ספורט, GG — בת. בסעיף האחרון המכנה הוא 0.50.5, סכום העמודה של הספורט. מי שחילק בשורת הבנות, 0.60.6, חישב את P(S∣G)=0.5P(S \mid G)=0.5 — הכיוון ההפוך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מסלול ארוךמסלול קצרסה״כ
ברכב7575150
באוטובוס2575100
סה״כ100150250

בסקר בקרב 250 מבקרים בפארק לאומי נשאלו המבקרים איך הגיעו ובאיזה מסלול טיילו. בוחרים מבקר באקראי. ידוע שהמבקר טייל במסלול הקצר. מה ההסתברות שהגיע באוטובוס?

  1. 34\frac{3}{4}
  2. 310\frac{3}{10}
  3. 25\frac{2}{5}
  4. 12\frac{1}{2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 12\frac{1}{2}

Corrigé :

n(Lˉ)=75+75=150\begin{aligned}n(\bar{L}) &= 75+75 \\ &= 150\end{aligned}

עמודת המסלול הקצר

75150=12\frac{75}{150}=\frac{1}{2}

אוטובוס מתוך הקצר

הנכונה: 12\frac{1}{2}. 34\frac{3}{4} הוא הכיוון ההפוך, קצר מתוך האוטובוס. 310\frac{3}{10} היא ההסתברות של «אוטובוס וגם קצר», בלי תנאי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתון: P(A)=0.5P(A)=0.5, P(B)=0.4P(B)=0.4 ו-P(A∩B)=0.1P(A \cap B)=0.1. חשבו את P(A∣B)P(A \mid B).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.25

Corrigé :

P(A∣B)=P(A∩B)P(B)=0.10.4=0.25\begin{aligned}P(A \mid B) &= \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \\ &= \frac{0.1}{0.4} \\ &= 0.25\end{aligned}

ההגדרה

המכנה הוא P(B)P(B) — התנאי. מי שחילק ב-P(A)=0.5P(A)=0.5 קיבל 0.20.2, שהיא P(B∣A)P(B \mid A).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתון: P(B)=0.4P(B)=0.4 ו-P(A∣B)=0.3P(A \mid B)=0.3. חשבו את P(A∩B)P(A \cap B).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.12

Corrigé :

P(A∩B)=P(B)⋅P(A∣B)=0.4⋅0.3=0.12\begin{aligned}P(A \cap B) &= P(B) \cdot P(A \mid B) \\ &= 0.4 \cdot 0.3 \\ &= 0.12\end{aligned}

כופלים את ההגדרה ב-P(B)P(B)

זה כלל הכפל, שנשתמש בו בכל עץ. 0.30.3 היא הסתברות בתוך BB, ולא מתוך כל UU.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתון: P(A)=0.6P(A)=0.6, P(B)=0.5P(B)=0.5 ו-P(A∪B)=0.8P(A \cup B)=0.8. חשבו את P(B∣A)P(B \mid A).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

P(A∩B)=0.6+0.5−0.8=0.3\begin{aligned}P(A \cap B) &= 0.6+0.5-0.8 \\ &= 0.3\end{aligned}

נוסחת האיחוד

P(B∣A)=0.30.6=0.5\begin{aligned}P(B \mid A) &= \frac{0.3}{0.6} \\ &= 0.5\end{aligned}

ההגדרה, התנאי הוא AA

שני שלבים: קודם החיתוך, ורק אחר כך החילוק. 0.60.6 היא התשובה של מי שחילק ב-P(B)P(B).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

לכל שני מאורעות, כאשר P(B)>0P(B)>0: P(A∣B)+P(Aˉ∣B)=1P(A \mid B)+P(\bar{A} \mid B)=1.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

P(A∩B)+P(Aˉ∩B)P(B)=P(B)P(B)=1\begin{aligned}\frac{P(A \cap B)+P(\bar{A} \cap B)}{P(B)} &= \frac{P(B)}{P(B)} \\ &= 1\end{aligned}

בתוך BB, כל תוצאה נמצאת ב-AA או ב-Aˉ\bar{A}

נכון. בתוך העולם החדש BB, המאורע AA והמשלים שלו מכסים הכול — כלל המשלים חל גם על הסתברות מותנית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

לכל שני מאורעות: P(A∣B)+P(A∣Bˉ)=1P(A \mid B)+P(A \mid \bar{B})=1.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

P(L∣רכב)=75150=0.5\begin{aligned}P(L \mid \text{רכב}) &= \frac{75}{150} \\ &= 0.5\end{aligned}

בסקר הפארק

P(L∣אוטובוס)=25100=0.25\begin{aligned}P(L \mid \text{אוטובוס}) &= \frac{25}{100} \\ &= 0.25\end{aligned}

אותו מאורע, תנאי אחר

0.5+0.25=0.75≠10.5+0.25=0.75 \neq 1

דוגמה נגדית

לא נכון. שני התנאים שונים, ולכן אלה שני «עולמות» שונים. המשלים הוא של המאורע AA, לא של התנאי.

Vérifier la réponse sur elev

חזרה — מתנדבים בשכונה

Exercice 11

בסקר שנערך בשכונה נמצא שההסתברות שתושב השכונה מתנדב במרכז הקהילתי קטנה פי 3 מההסתברות שאינו מתנדב. א. בוחרים באקראי תושב מהשכונה. מה ההסתברות שהוא מתנדב?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.25

Corrigé :

P(V)=xP(Vˉ)=3x\begin{aligned}P(V) &= x \\ \quad P(\bar{V}) &= 3x\end{aligned}

נסמן VV — מתנדב. «קטנה פי 3» פירושו שההסתברות השנייה גדולה פי 3

x+3x=1⇒x=14\begin{aligned}x+3x &= 1 \Rightarrow x \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

מאורע ומשלימו

P(V)=14P(V)=\frac{1}{4}, ו-P(Vˉ)=34P(\bar{V})=\frac{3}{4} — באמת פי 3 ✓.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

בשכונה ההסתברות שתושב מתנדב במרכז הקהילתי היא 14\frac{1}{4}. ידוע ש-35\frac{3}{5} מתושבי השכונה הן נשים, ו-110\frac{1}{10} מתושבי השכונה הם גברים מתנדבים. ב. איזה חלק מתושבי השכונה הן נשים שאינן מתנדבות? ענו בשבר או במספר עשרוני.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.45

Corrigé :

P(W∩V)=14−110=320\begin{aligned}P(W \cap V) &= \frac{1}{4}-\frac{1}{10} \\ &= \frac{3}{20}\end{aligned}

עמודת המתנדבים בטבלה: נשים מתנדבות = כל המתנדבים פחות הגברים המתנדבים

P(W∩Vˉ)=35−320=1220−320=920\begin{aligned}P(W \cap \bar{V}) &= \frac{3}{5}-\frac{3}{20} \\ &= \frac{12}{20}-\frac{3}{20} \\ &= \frac{9}{20}\end{aligned}

שורת הנשים: כל הנשים פחות הנשים המתנדבות

920\frac{9}{20} מהתושבים. בטבלה: גברים — 110\frac{1}{10} מתנדבים ו-310\frac{3}{10} לא; נשים — 320\frac{3}{20} ו-920\frac{9}{20}. הסכום 220+620+320+920=1\frac{2}{20}+\frac{6}{20}+\frac{3}{20}+\frac{9}{20}=1 ✓.

Vérifier la réponse sur elev

חזרה — קורקינט ואופניים

Exercice 13

בעיר מסוימת ל-35\frac{3}{5} מהתושבים יש אופניים. ל-14\frac{1}{4} מהתושבים אין אופניים אבל יש קורקינט. ידוע שאם בוחרים באקראי תושב, ההסתברות שיש לו קורקינט גדולה פי 2 מההסתברות שיש לו גם אופניים וגם קורקינט. א. לכמה אחוזים מהתושבים יש קורקינט?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 50

Corrigé :

P(B∩S)=xP(B \cap S)=x

נסמן BB — אופניים, SS — קורקינט, ונסמן את החיתוך ב-xx

P(S)=x+14P(S)=x+\frac{1}{4}

קורקינט: עם אופניים, או בלי אופניים

x+14=2x⇒x=14\begin{aligned}x+\frac{1}{4} &= 2x \Rightarrow x \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

הנתון «פי 2»

P(S)=14+14=12\begin{aligned}P(S) &= \frac{1}{4}+\frac{1}{4} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

On remplace (מציבים)

ל-50%50\% מהתושבים יש קורקינט. בדיקה: P(B∩S)=14≤35P(B \cap S)=\frac{1}{4} \leq \frac{3}{5}, כך שהחיתוך אפשרי ✓.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

בעיר מסוימת ל-35\frac{3}{5} מהתושבים יש אופניים, ל-14\frac{1}{4} מהתושבים אין אופניים אבל יש קורקינט, ול-14\frac{1}{4} מהתושבים יש גם אופניים וגם קורקינט. ב. התברר של-25,500 תושבים יש לפחות אחד משני כלי הרכב. לכמה תושבים יש לכל היותר כלי רכב אחד מהשניים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 22500

Corrigé :

P(B∪S)=35+14=1720=0.85\begin{aligned}P(B \cup S) &= \frac{3}{5}+\frac{1}{4} \\ &= \frac{17}{20} \\ &= 0.85\end{aligned}

לפחות אחד: כל בעלי האופניים, ועוד מי שיש לו קורקינט בלבד

N=255000.85=30000\begin{aligned}N &= \frac{25500}{0.85} \\ &= 30000\end{aligned}

מספר כל התושבים בעיר

1−P(B∩S)=1−14=34\begin{aligned}1-P(B \cap S) &= 1-\frac{1}{4} \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}

«לכל היותר אחד» הוא המשלים של «שניהם»

34⋅30000=22500\frac{3}{4} \cdot 30000=22500

מספר התושבים

22,500 תושבים. «לכל היותר אחד» כולל גם את מי שאין לו אף כלי רכב — לכן לא עונים 25500−7500=1800025500-7500=18000.

Vérifier la réponse sur elev

חזרה — מבחן שחייה במחנה

Exercice 15

במחנה קיץ 35\frac{3}{5} מהחניכים הן בנות והשאר בנים. כל החניכים ניגשו למבחן שחייה. ידוע ש-14\frac{1}{4} מהחניכים הם בנים שעברו את המבחן, ו-12\frac{1}{2} מהחניכים הן בנות שעברו את המבחן. א. בוחרים באקראי בת מהמחנה. מה ההסתברות שהיא לא עברה את המבחן? ענו בשבר או בעיגול לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.16666666666666666

Corrigé :

P(G∩Tˉ)=35−12=110\begin{aligned}P(G \cap \bar{T}) &= \frac{3}{5}-\frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{10}\end{aligned}

שורת הבנות: כל הבנות פחות הבנות שעברו

P(Tˉ∣G)=1/103/5=110⋅53=16\begin{aligned}P(\bar{T} \mid G) &= \frac{1/10}{3/5} \\ &= \frac{1}{10} \cdot \frac{5}{3} \\ &= \frac{1}{6}\end{aligned}

ידוע שנבחרה בת: מחלקים ב-P(G)P(G)

16≈0.167\frac{1}{6} \approx 0.167. המכנה הוא הבנות בלבד, כי ידוע שנבחרה בת. המלכודת: 1/101\frac{1/10}{1} — זו ההסתברות של «בת וגם לא עברה», סעיף ב׳.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

במחנה קיץ 35\frac{3}{5} מהחניכים הן בנות והשאר בנים. ידוע ש-14\frac{1}{4} מהחניכים הם בנים שעברו את מבחן השחייה, ו-12\frac{1}{2} מהחניכים הן בנות שעברו אותו. ב. בוחרים באקראי חניך מהמחנה. מה ההסתברות שנבחרה בת שלא עברה את המבחן?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.1

Corrigé :

P(G∩Tˉ)=P(G)−P(G∩T)P(G \cap \bar{T})=P(G)-P(G \cap T)

כאן אין תנאי: שואלים על משבצת בטבלה

35−12=110\frac{3}{5}-\frac{1}{2}=\frac{1}{10}

On remplace (מציבים)

110\frac{1}{10}. השוו לסעיף א׳: שם ידוע שנבחרה בת והתשובה 16\frac{1}{6}; כאן בוחרים מכל החניכים, והמכנה הוא 1.

Vérifier la réponse sur elev

חזרה — משמרות בחברה

Exercice 17

בחברה מסוימת מספר העובדים במשמרת בוקר שווה למספר העובדים במשמרת ערב (כל עובד במשמרת אחת). 38%38\% מהעובדים הם עובדי בוקר שמגיעים לעבודה ברכב, ו-30%30\% מהעובדים הם עובדי ערב שאינם מגיעים ברכב. בוחרים באקראי עובד. א. מה ההסתברות שהוא עובד בוקר שאינו מגיע ברכב?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.12

Corrigé :

P(B)=P(Bˉ)=0.5\begin{aligned}P(B) &= P(\bar{B}) \\ &= 0.5\end{aligned}

מספר שווה בשתי המשמרות. BB — משמרת בוקר

P(B∩Cˉ)=0.5−0.38=0.12\begin{aligned}P(B \cap \bar{C}) &= 0.5-0.38 \\ &= 0.12\end{aligned}

שורת הבוקר: כל עובדי הבוקר פחות אלה שמגיעים ברכב

0.120.12. הנתון «מספר שווה» הוא שנותן את הסכום של השורה, 0.50.5.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

בחברה מסוימת חצי מהעובדים במשמרת בוקר וחצי במשמרת ערב. 12%12\% מהעובדים הם עובדי בוקר שאינם מגיעים ברכב, ו-30%30\% מהעובדים הם עובדי ערב שאינם מגיעים ברכב. ב. בוחרים באקראי עובד, וידוע שהוא אינו מגיע ברכב. מה ההסתברות שהוא עובד בוקר? ענו בשבר או בעיגול לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.2857142857142857

Corrigé :

P(Cˉ)=0.12+0.30=0.42\begin{aligned}P(\bar{C}) &= 0.12+0.30 \\ &= 0.42\end{aligned}

עמודת «לא ברכב»: בוקר ועוד ערב

P(B∣Cˉ)=0.120.42=27\begin{aligned}P(B \mid \bar{C}) &= \frac{0.12}{0.42} \\ &= \frac{2}{7}\end{aligned}

המשבצת חלקי העמודה של מה שידוע

27≈0.286\frac{2}{7} \approx 0.286. המלכודת: 0.120.5\frac{0.12}{0.5} — זו ההסתברות ההפוכה, «לא ברכב» בתנאי «בוקר».

Vérifier la réponse sur elev

חזרה — הסמכה למצילים

Exercice 19

כדי לקבל הסמכה של מציל יש לעבור שני מבחנים: מבחן שחייה ומבחן עזרה ראשונה. 710\frac{7}{10} מהמועמדים עוברים את מבחן השחייה. 25\frac{2}{5} מהמועמדים עוברים רק את מבחן השחייה, ו-15\frac{1}{5} מהמועמדים עוברים רק את מבחן העזרה הראשונה. בוחרים באקראי מועמד. א. מה ההסתברות שהוא עבר לפחות מבחן אחד?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.9

Corrigé :

P(A∩B)=710−25=310\begin{aligned}P(A \cap B) &= \frac{7}{10}-\frac{2}{5} \\ &= \frac{3}{10}\end{aligned}

AA — שחייה, BB — עזרה ראשונה. מי שעבר שחייה: רק שחייה, או שניהם

P(A∪B)=25+15+310=910\begin{aligned}P(A \cup B) &= \frac{2}{5}+\frac{1}{5}+\frac{3}{10} \\ &= \frac{9}{10}\end{aligned}

שלושת החלקים של האיחוד בדיאגרמת ון

910\frac{9}{10}. מחוץ לשני המבחנים נשארת 110\frac{1}{10} — מי שלא עבר אף מבחן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

כדי לקבל הסמכה של מציל יש לעבור שני מבחנים: שחייה ועזרה ראשונה. 25\frac{2}{5} מהמועמדים עוברים רק את מבחן השחייה, 15\frac{1}{5} עוברים רק את מבחן העזרה הראשונה, ו-310\frac{3}{10} עוברים את שני המבחנים. ב. בוחרים באקראי מועמד, וידוע שהוא עבר לפחות מבחן אחד. מה ההסתברות שהוא קיבל את ההסמכה? ענו בשבר או בעיגול לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.3333333333333333

Corrigé :

P(A∪B)=25+15+310=910\begin{aligned}P(A \cup B) &= \frac{2}{5}+\frac{1}{5}+\frac{3}{10} \\ &= \frac{9}{10}\end{aligned}

מה שידוע: לפחות מבחן אחד

P(A∩B∣A∪B)=3/109/10=13\begin{aligned}P(A \cap B \mid A \cup B) &= \frac{3/10}{9/10} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

הסמכה = שני המבחנים, וזה כבר בתוך האיחוד

13\frac{1}{3}. המונה הוא החיתוך, כי מי שעבר את שני המבחנים עבר בוודאי לפחות אחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 21

כדי לקבל הסמכה של מציל יש לעבור שני מבחנים. 25\frac{2}{5} מהמועמדים עוברים רק את מבחן השחייה, 15\frac{1}{5} עוברים רק את מבחן העזרה הראשונה, ו-310\frac{3}{10} עוברים את שני המבחנים. ג. ידוע שמועמד עבר לכל היותר מבחן אחד. מה ההסתברות שהוא לא עבר אף מבחן? ענו בשבר או בעיגול לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.14285714285714285

Corrigé :

P(Aˉ∩Bˉ)=1−910=110\begin{aligned}P(\bar{A} \cap \bar{B}) &= 1-\frac{9}{10} \\ &= \frac{1}{10}\end{aligned}

אף מבחן: המשלים של «לפחות אחד»

1−310=7101-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}

«לכל היותר אחד» הוא המשלים של «שניהם»

1/107/10=17\frac{1/10}{7/10}=\frac{1}{7}

«אף מבחן» נמצא בתוך «לכל היותר אחד»

17≈0.143\frac{1}{7} \approx 0.143. «לכל היותר אחד» כולל שלושה חלקים: רק שחייה, רק עזרה ראשונה, ואף אחד — 25+15+110=710\frac{2}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}=\frac{7}{10} ✓.

Vérifier la réponse sur elev

חזרה — מבחנים במכון לשפות

Exercice 22

במכון לשפות נערכו שני מבחנים: מבחן בעל פה ומבחן בכתב. 30%30\% מהתלמידים עברו את שני המבחנים, 40%40\% מהתלמידים עברו רק את המבחן בעל פה, ו-90%90\% מהתלמידים עברו לפחות אחד מהמבחנים. א. ידוע שתלמיד עבר את המבחן בעל פה. מה ההסתברות שהוא עבר גם את המבחן בכתב? ענו בשבר או בעיגול לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.42857142857142855

Corrigé :

P(O)=0.3+0.4=0.7\begin{aligned}P(O) &= 0.3+0.4 \\ &= 0.7\end{aligned}

OO — עבר בעל פה, WW — עבר בכתב. בעל פה: רק בעל פה, או שניהם

P(W∣O)=0.30.7=37\begin{aligned}P(W \mid O) &= \frac{0.3}{0.7} \\ &= \frac{3}{7}\end{aligned}

החיתוך חלקי מה שידוע

37≈0.429\frac{3}{7} \approx 0.429. המלכודת: לחלק ב-0.40.4 — אלה רק מי שעברו רק בעל פה, ולא כל מי שעבר בעל פה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 23

במכון לשפות נערכו שני מבחנים: בעל פה ובכתב. 30%30\% מהתלמידים עברו את שניהם, 40%40\% עברו רק את המבחן בעל פה, ו-90%90\% עברו לפחות מבחן אחד. ב. ידוע שתלמיד עבר בדיוק מבחן אחד. מה ההסתברות שהוא עבר את המבחן בעל פה? ענו בשבר או בעיגול לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.6666666666666666

Corrigé :

P(רק בכתב)=0.9−0.3−0.4=0.2\begin{aligned}P(\text{רק בכתב}) &= 0.9-0.3-0.4 \\ &= 0.2\end{aligned}

האיחוד מתחלק לשלושה חלקים

P(בדיוק אחד)=0.4+0.2=0.6\begin{aligned}P(\text{בדיוק אחד}) &= 0.4+0.2 \\ &= 0.6\end{aligned}

רק בעל פה, או רק בכתב

0.40.6=23\frac{0.4}{0.6}=\frac{2}{3}

מי שעבר בדיוק אחד ועבר בעל פה — עבר רק בעל פה

23≈0.667\frac{2}{3} \approx 0.667. בתוך «בדיוק אחד», לעבור בעל פה פירושו לעבור רק בעל פה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 24

במכון לשפות נערכו שני מבחנים: בעל פה ובכתב. 30%30\% מהתלמידים עברו את שניהם, 40%40\% עברו רק בעל פה, ו-20%20\% עברו רק בכתב. ג. ידוע שתלמיד עבר לפחות מבחן אחד. מה ההסתברות שהוא עבר את המבחן בכתב? ענו בשבר או בעיגול לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5555555555555556

Corrigé :

P(W)=0.3+0.2=0.5\begin{aligned}P(W) &= 0.3+0.2 \\ &= 0.5\end{aligned}

בכתב: שניהם, או רק בכתב

P(O∪W)=0.3+0.4+0.2=0.9\begin{aligned}P(O \cup W) &= 0.3+0.4+0.2 \\ &= 0.9\end{aligned}

מה שידוע

P(W∣O∪W)=0.50.9=59\begin{aligned}P(W \mid O \cup W) &= \frac{0.5}{0.9} \\ &= \frac{5}{9}\end{aligned}

מי שעבר בכתב נמצא כולו בתוך האיחוד

59≈0.556\frac{5}{9} \approx 0.556. השוו: בלי התנאי P(W)=0.5P(W)=0.5. הידיעה «לפחות אחד» מוציאה את 10%10\% שלא עברו כלום, ולכן ההסתברות עולה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe