Arbre de probabilités, probabilités totales et Bayes

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

רותם זורקת שתי זריקות עונשין. בכל זריקה ההסתברות שתקלע היא 34\frac{3}{4}, והזריקות לא משפיעות זו על זו. העץ מראה את כל מה שיכול לקרות: כל מסלול מהשורש עד עלה הוא סיפור שלם של שתי זריקות.

מה ההסתברות שרותם תקלע בדיוק פעם אחת?

Voir la réponse et le corrigé

שני מסלולים: קלעה ואז החטיאה, או החטיאה ואז קלעה. 34⋅14+14⋅34=616=38\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}. מחברים מסלולים כי הם מאורעות זרים.

למה כופלים לאורך מסלול?

מההגדרה של הסתברות מותנית, P(B∣A)=P(A∩B)P(A)P(B \mid A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}. כופלים ב-P(A)P(A) ומקבלים את כלל הכפל. על ענף של השלב השני כתובה תמיד הסתברות מותנית: ההסתברות של השלב השני בהינתן מה שקרה בשלב הראשון.

P(A∩B)=P(A)⋅P(B∣A)P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B \mid A)

עם החזרה ובלי החזרה

בקופסה 5 כדורים כחולים ו-3 אדומים. מוציאים שני כדורים בלי החזרה. אחרי שיצא כחול נשארו 7 כדורים, ומהם 4 כחולים. לכן על הענף השני כתוב 47\frac{4}{7}, ולא 58\frac{5}{8} כמו בהוצאה עם החזרה.

שני כדורים בלי החזרה: 5 כחולים ו-3 אדומים
5/84/73/73/85/72/7קופסהכחולכחול20/56אדום15/56אדוםכחול15/56אדום6/56
על כל ענף של השלב השני כתובה הסתברות מותנית. מתחת לכל עלה: המכפלה לאורך המסלול. סכום ארבעת העלים הוא 5656=1\frac{56}{56}=1.

מה ההסתברות ששני הכדורים באותו צבע?

Voir la réponse et le corrigé

שני עלים: כחול-כחול ואדום-אדום. 2056+656=2656=1328\frac{20}{56}+\frac{6}{56}=\frac{26}{56}=\frac{13}{28}.

נוסחת ההסתברות השלמה

כדי למצוא את ההסתברות שהכדור השני כחול, מחברים את כל המסלולים שמסתיימים בכחול: מסלול אחד דרך כל תוצאה של השלב הראשון.

P(B)=P(A)⋅P(B∣A)+P(Aˉ)⋅P(B∣Aˉ)P(B)=P(A) \cdot P(B \mid A)+P(\bar{A}) \cdot P(B \mid \bar{A})

זהו ממוצע משוקלל של שתי ההסתברויות המותנות P(B∣A)P(B \mid A) ו-P(B∣Aˉ)P(B \mid \bar{A}), והמשקלות הם P(A)P(A) ו-P(Aˉ)P(\bar{A}). לכן P(B)P(B) נמצאת תמיד בין שתיהן. בדוגמה: 58⋅47+38⋅57=3556=58\frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7}+\frac{3}{8} \cdot \frac{5}{7}=\frac{35}{56}=\frac{5}{8} — בדיוק כמו בהוצאה הראשונה.

נוסחת בייס — הולכים אחורה בעץ

P(A∣B)=P(A)⋅P(B∣A)P(B)P(A \mid B)=\frac{P(A) \cdot P(B \mid A)}{P(B)}

העץ נותן את P(B∣A)P(B \mid A): מהשלב הראשון אל השני. השאלה «ידוע ש-BB קרה, מה ההסתברות שקודם קרה AA» הולכת בכיוון ההפוך. הנוסחה באה מכך שאפשר לכתוב את P(A∩B)P(A \cap B) בשתי דרכים: P(A∣B)⋅P(B)=P(B∣A)⋅P(A)P(A \mid B) \cdot P(B)=P(B \mid A) \cdot P(A).

שתי מכונות במפעל

מכונה א׳ מייצרת 60% מהבקבוקים במפעל, ומכונה ב׳ מייצרת 40%. 5% מהבקבוקים של מכונה א׳ פגומים, ו-10% מהבקבוקים של מכונה ב׳ פגומים. בוחרים בקבוק באקראי, והוא פגום. מה ההסתברות שהוא יוצר במכונה א׳? נסמן AA — יוצר במכונה א׳, DD — פגום.

P(D)=0.6⋅0.05+0.4⋅0.1=0.03+0.04=0.07\begin{aligned}P(D) &= 0.6 \cdot 0.05+0.4 \cdot 0.1 \\ &= 0.03+0.04 \\ &= 0.07\end{aligned}

הסתברות שלמה: שני מסלולים מגיעים ל«פגום»

P(A∩D)=0.6⋅0.05=0.03\begin{aligned}P(A \cap D) &= 0.6 \cdot 0.05 \\ &= 0.03\end{aligned}

המסלול דרך מכונה א׳

P(A∣D)=0.030.07=37\begin{aligned}P(A \mid D) &= \frac{0.03}{0.07} \\ &= \frac{3}{7}\end{aligned}

בייס: המסלול, חלקי כל המסלולים שמגיעים ל«פגום»

37≈0.43<0.6\frac{3}{7} \approx 0.43 < 0.6

מכונה א׳ מייצרת יותר, אבל פגומה פחות. בין הפגומים היא פחות מחצי

באותו מפעל: מה ההסתברות שבקבוק תקין יוצר במכונה א׳?

Voir la réponse et le corrigé

P(Dˉ)=1−0.07=0.93P(\bar{D})=1-0.07=0.93 ו-P(A∩Dˉ)=0.6⋅0.95=0.57P(A \cap \bar{D})=0.6 \cdot 0.95=0.57. לכן P(A∣Dˉ)=0.570.93=1931P(A \mid \bar{D})=\frac{0.57}{0.93}=\frac{19}{31}, קצת יותר מ-0.6.

עץ של שלושה שלבים

בעץ של שלושה שלבים לכל מסלול שלושה ענפים, והמכפלה היא של שלושה מספרים. לדוגמה: בקופסה 3 כדורים כחולים ו-2 אדומים, ומוציאים שלושה כדורים בלי החזרה. ההסתברות ששלושתם כחולים היא 35⋅24⋅13=110\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{10}.

באותה קופסה: מה ההסתברות שיצאו בדיוק שני כדורים אדומים?

Voir la réponse et le corrigé

שלושה מסלולים: אדום-אדום-כחול, אדום-כחול-אדום וכחול-אדום-אדום. בכל אחד המכפלה היא 2⋅1⋅35⋅4⋅3=110\frac{2 \cdot 1 \cdot 3}{5 \cdot 4 \cdot 3}=\frac{1}{10}, ולכן התשובה 310\frac{3}{10}.

בכל שאלת עץ כתבו על כל ענף את ההסתברות שלו לפני שאתם מחשבים. בשלב השני שאלו: מה נשאר בקופסה אחרי מה שכבר קרה?

שלוש טעויות בעצים.

58⋅58\frac{5}{8} \cdot \frac{5}{8}
58⋅47\frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7}

בלי החזרה השלב השני משתנה: המונה והמכנה קטנים באחד.

P(A∣D)=P(D∣A)=0.05\begin{aligned}P(A \mid D) &= P(D \mid A) \\ &= 0.05\end{aligned}
P(A∣D)=0.030.07P(A \mid D)=\frac{0.03}{0.07}

העץ נותן את הכיוון מהמכונה לפגם. «ידוע שהבקבוק פגום» הוא הכיוון ההפוך, ולכן צריך את נוסחת בייס.

P(D)=0.05+0.12P(D)=\frac{0.05+0.1}{2}
P(D)=0.6⋅0.05+0.4⋅0.1P(D)=0.6 \cdot 0.05+0.4 \cdot 0.1

ממוצע משוקלל, לא ממוצע פשוט: המכונה שמייצרת יותר משפיעה יותר.

Exercices

Exercice 1

בשקית 4 סוכריות ירוקות ו-6 צהובות. מוציאים שתי סוכריות בזו אחר זו, בלי החזרה. מה ההסתברות ששתי הסוכריות ירוקות?

  1. 425\frac{4}{25}
  2. 13\frac{1}{3}
  3. 215\frac{2}{15}
  4. 815\frac{8}{15}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 215\frac{2}{15}

Corrigé :

410⋅39=1290=215\begin{aligned}\frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} &= \frac{12}{90} \\ &= \frac{2}{15}\end{aligned}

אחרי ירוקה נשארו 9 סוכריות, ומהן 3 ירוקות

הנכונה: 215\frac{2}{15}. 425=410⋅410\frac{4}{25}=\frac{4}{10} \cdot \frac{4}{10} היא הוצאה עם החזרה. 13\frac{1}{3} הוא רק הענף השני.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

בשקית 4 סוכריות ירוקות ו-6 צהובות. מוציאים שתי סוכריות בזו אחר זו, בלי החזרה. מה ההסתברות שהסוכריות בצבעים שונים? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.533

Corrigé :

410⋅69+610⋅49\frac{4}{10} \cdot \frac{6}{9}+\frac{6}{10} \cdot \frac{4}{9}

שני מסלולים: ירוקה-צהובה וצהובה-ירוקה

=4890=815≈0.533=\frac{48}{90}=\frac{8}{15} \approx 0.533

מחברים

יש שני מסלולים. מי שחישב רק ירוקה-צהובה קיבל 415\frac{4}{15}, חצי מהתשובה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מטילים קובייה הוגנת פעמיים. מה ההסתברות שלפחות באחת ההטלות יצא 6? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.306

Corrigé :

P(Sˉ)=56⋅56=2536\begin{aligned}P(\bar{S}) &= \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \\ &= \frac{25}{36}\end{aligned}

נסמן SS — לפחות פעם אחת 6. המשלים Sˉ\bar{S}: אף הטלה אינה 6

1−2536=1136≈0.3061-\frac{25}{36}=\frac{11}{36} \approx 0.306

לפחות אחת

16+16=13\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3} סופר פעמיים את המסלול 6-6. דרך המשלים אין סכנה כזאת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

בחורף, ההסתברות ליום גשום היא 0.4. ביום גשום ההסתברות שהאוטובוס של דנה מאחר היא 0.3, וביום שאינו גשום היא 0.1. מה ההסתברות שבבוקר אקראי בחורף האוטובוס יאחר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.18

Corrigé :

P(L)=0.4⋅0.3+0.6⋅0.1P(L)=0.4 \cdot 0.3+0.6 \cdot 0.1

הסתברות שלמה. נסמן LL — האוטובוס מאחר

=0.12+0.06=0.18=0.12+0.06=0.18

שני מסלולים

0.180.18 נמצא בין 0.10.1 ל-0.30.3, כמו שממוצע משוקלל חייב. 0.20.2 הוא ממוצע פשוט שמתעלם מכך שרוב הימים אינם גשומים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

בחורף, ההסתברות ליום גשום היא 0.4. ביום גשום ההסתברות שהאוטובוס של דנה מאחר היא 0.3, וביום שאינו גשום היא 0.1. בבוקר מסוים האוטובוס איחר. מה ההסתברות שהיה גשום באותו בוקר? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.667

Corrigé :

P(R∩L)=0.4⋅0.3=0.12\begin{aligned}P(R \cap L) &= 0.4 \cdot 0.3 \\ &= 0.12\end{aligned}

נסמן RR — גשום. המסלול דרך הגשם

P(R∣L)=0.120.18=23≈0.667\begin{aligned}P(R \mid L) &= \frac{0.12}{0.18} \\ &= \frac{2}{3} \approx 0.667\end{aligned}

בייס

0.30.3 היא P(L∣R)P(L \mid R) — הכיוון ההפוך. הידיעה שהאוטובוס איחר מעלה את ההסתברות לגשם מ-0.40.4 ל-23\frac{2}{3}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

במבחן אמריקאי לכל שאלה 4 תשובות. ההסתברות שיואב יודע את התשובה לשאלה היא 0.7, ואז הוא עונה נכון. אם אינו יודע, הוא מנחש אחת מ-4 התשובות באקראי. מה ההסתברות שיואב יענה נכון על שאלה?

  1. 3140\frac{31}{40}
  2. 710\frac{7}{10}
  3. 1940\frac{19}{40}
  4. 1920\frac{19}{20}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 3140\frac{31}{40}

Corrigé :

0.7⋅1+0.3⋅140.7 \cdot 1+0.3 \cdot \frac{1}{4}

שני מסלולים לתשובה נכונה: יודע, או מנחש ופוגע

0.7+0.075=0.775=3140\begin{aligned}0.7+0.075 &= 0.775 \\ &= \frac{31}{40}\end{aligned}

הסתברות שלמה

הנכונה: 3140\frac{31}{40}. 1920=0.7+0.25\frac{19}{20}=0.7+0.25 שוכח לכפול את הניחוש ב-0.30.3. 710\frac{7}{10} שוכח את הניחוש בכלל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

במבחן אמריקאי לכל שאלה 4 תשובות. ההסתברות שיואב יודע את התשובה לשאלה היא 0.7, ואז הוא עונה נכון. אם אינו יודע, הוא מנחש אחת מ-4 התשובות באקראי. יואב ענה נכון על שאלה. מה ההסתברות שניחש? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.097

Corrigé :

P(G∩C)=0.3⋅14=0.075\begin{aligned}P(G \cap C) &= 0.3 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 0.075\end{aligned}

נסמן GG — ניחש, CC — ענה נכון

P(G∣C)=0.0750.775=331≈0.097\begin{aligned}P(G \mid C) &= \frac{0.075}{0.775} \\ &= \frac{3}{31} \approx 0.097\end{aligned}

בייס

0.250.25 היא P(C∣G)P(C \mid G): ההסתברות לפגוע כשמנחשים. השאלה הפוכה: מבין התשובות הנכונות, כמה באו מניחוש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

בדרך לבית הספר נועה עוברת בשלושה רמזורים. בכל רמזור ההסתברות לאור ירוק היא 0.6, ואין קשר בין הרמזורים. מה ההסתברות שנועה תקבל אור ירוק בשלושת הרמזורים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.216

Corrigé :

0.6⋅0.6⋅0.6=0.2160.6 \cdot 0.6 \cdot 0.6=0.216

מסלול אחד בעץ של שלושה שלבים

שלושה שלבים, מסלול אחד: כופלים שלוש פעמים. 3⋅0.6=1.83 \cdot 0.6=1.8 אינו הסתברות בכלל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

בוועדת קישוט 12 תלמידים: 7 בנים ו-5 בנות. בוחרים באקראי שלושה נציגים, בזה אחר זה. מה ההסתברות ששלושת הנציגים בנים? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.159

Corrigé :

712⋅611⋅510=2101320=744\begin{aligned}\frac{7}{12} \cdot \frac{6}{11} \cdot \frac{5}{10} &= \frac{210}{1320} \\ &= \frac{7}{44}\end{aligned}

בלי החזרה: אותו תלמיד לא נבחר פעמיים

744≈0.159\frac{7}{44} \approx 0.159

מעגלים

מי שכפל (712)3\left(\frac{7}{12}\right)^3 בחר באותו תלמיד יותר מפעם אחת, כמו בהחזרה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתון: P(B∣A)=0.3P(B \mid A)=0.3 ו-P(B∣Aˉ)=0.5P(B \mid \bar{A})=0.5. ייתכן ש-P(B)=0.6P(B)=0.6.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

P(B)=P(A)⋅0.3+P(Aˉ)⋅0.5P(B)=P(A) \cdot 0.3+P(\bar{A}) \cdot 0.5

הסתברות שלמה: ממוצע משוקלל

0.3≤P(B)≤0.50.3 \leq P(B) \leq 0.5

ממוצע משוקלל נמצא בין שני המספרים

לא נכון. P(B)P(B) היא ממוצע משוקלל של 0.30.3 ושל 0.50.5, ולכן אינה יכולה לעלות על 0.50.5.

Vérifier la réponse sur elev

חזרה — קוראים בספרייה

Exercice 11

40%40\% מהקוראים בספרייה עירונית הם סטודנטים, והשאר אינם סטודנטים. ידוע ש-62%62\% מכל הקוראים שואלים ספרים דיגיטליים. כמו כן, 34\frac{3}{4} מהסטודנטים שואלים ספרים דיגיטליים. בוחרים באקראי קורא מהספרייה. א. מה ההסתברות שנבחר סטודנט ששואל ספרים דיגיטליים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.3

Corrigé :

P(S)=0.4P(E∣S)=34\begin{aligned}P(S) &= 0.4 \\ \quad P(E \mid S) &= \frac{3}{4}\end{aligned}

SS — סטודנט, EE — שואל ספרים דיגיטליים. «מהסטודנטים» הוא ענף של השלב השני

P(S∩E)=0.4⋅34=0.3\begin{aligned}P(S \cap E) &= 0.4 \cdot \frac{3}{4} \\ &= 0.3\end{aligned}

לאורך מסלול כופלים

0.30.3. הנתון 62%62\% אינו נחוץ כאן; הוא הסתברות שלמה של EE, ונשתמש בו בסעיף ב׳.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

40%40\% מהקוראים בספרייה עירונית הם סטודנטים. 62%62\% מכל הקוראים שואלים ספרים דיגיטליים, ו-30%30\% מכל הקוראים הם סטודנטים ששואלים ספרים דיגיטליים. ב. בוחרים באקראי קורא. מה ההסתברות שנבחר קורא שאינו סטודנט ואינו שואל ספרים דיגיטליים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.28

Corrigé :

P(Sˉ∩E)=0.62−0.3=0.32\begin{aligned}P(\bar{S} \cap E) &= 0.62-0.3 \\ &= 0.32\end{aligned}

מהסתברות EE השלמה מורידים את מסלול הסטודנטים

P(Sˉ∩Eˉ)=0.6−0.32=0.28\begin{aligned}P(\bar{S} \cap \bar{E}) &= 0.6-0.32 \\ &= 0.28\end{aligned}

הענף של הלא-סטודנטים מתחלק לשני מסלולים

0.280.28. בדיקה: ארבעת העלים 0.3+0.1+0.32+0.28=10.3+0.1+0.32+0.28=1 ✓. ואם רוצים את הענף: P(Eˉ∣Sˉ)=0.280.6≈0.467P(\bar{E} \mid \bar{S})=\frac{0.28}{0.6} \approx 0.467.

Vérifier la réponse sur elev

חזרה — נגנים בעיר

Exercice 13

בסקר שנערך בעיר מסוימת התברר ש-720\frac{7}{20} מהתושבים מנגנים בכלי נגינה, ו-25\frac{2}{5} מהתושבים הם מתחת לגיל 18. 30%30\% מבין התושבים שמתחת לגיל 18 מנגנים בכלי נגינה. א. בוחרים באקראי תושב. מה ההסתברות שהוא מתחת לגיל 18 וגם מנגן?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.12

Corrigé :

P(Y)=25P(M∣Y)=0.3\begin{aligned}P(Y) &= \frac{2}{5} \\ \quad P(M \mid Y) &= 0.3\end{aligned}

YY — מתחת לגיל 18, MM — מנגן. «מבין הצעירים» הוא תנאי

P(Y∩M)=0.4⋅0.3=0.12\begin{aligned}P(Y \cap M) &= 0.4 \cdot 0.3 \\ &= 0.12\end{aligned}

כלל הכפל

0.120.12. המלכודת: 720⋅25\frac{7}{20} \cdot \frac{2}{5} — כך כופלים רק כשהמאורעות בלתי תלויים, וזה לא נתון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

בעיר מסוימת 720\frac{7}{20} מהתושבים מנגנים בכלי נגינה, 25\frac{2}{5} מהתושבים הם מתחת לגיל 18, ו-0.120.12 מהתושבים הם מתחת לגיל 18 וגם מנגנים. ב. בוחרים באקראי תושב, וידוע שהוא מנגן. מה ההסתברות שהוא מתחת לגיל 18? ענו בשבר או בעיגול לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.34285714285714286

Corrigé :

P(M)=720=0.35\begin{aligned}P(M) &= \frac{7}{20} \\ &= 0.35\end{aligned}

מה שידוע: מנגן

P(Y∣M)=P(Y∩M)P(M)=0.120.35=1235\begin{aligned}P(Y \mid M) &= \frac{P(Y \cap M)}{P(M)} \\ &= \frac{0.12}{0.35} \\ &= \frac{12}{35}\end{aligned}

בייס: הולכים אחורה בעץ

1235≈0.343\frac{12}{35} \approx 0.343. השוו ל-P(M∣Y)=0.3P(M \mid Y)=0.3: אותו חיתוך, מכנה אחר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

בעיר מסוימת 720\frac{7}{20} מהתושבים מנגנים בכלי נגינה, 25\frac{2}{5} מהתושבים הם מתחת לגיל 18, ו-0.120.12 מהתושבים הם מתחת לגיל 18 וגם מנגנים. ג. בוחרים באקראי תושב, וידוע שהוא אינו מתחת לגיל 18. מה ההסתברות שהוא מנגן? ענו בשבר או בעיגול לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.38333333333333336

Corrigé :

P(Yˉ∩M)=0.35−0.12=0.23\begin{aligned}P(\bar{Y} \cap M) &= 0.35-0.12 \\ &= 0.23\end{aligned}

המנגנים שאינם צעירים

P(Yˉ)=1−0.4=0.6\begin{aligned}P(\bar{Y}) &= 1-0.4 \\ &= 0.6\end{aligned}

מה שידוע

P(M∣Yˉ)=0.230.6=2360\begin{aligned}P(M \mid \bar{Y}) &= \frac{0.23}{0.6} \\ &= \frac{23}{60}\end{aligned}

החיתוך חלקי מה שידוע

2360≈0.383\frac{23}{60} \approx 0.383. בדיקה בהסתברות השלמה: 0.4⋅0.3+0.6⋅2360=0.12+0.23=0.350.4 \cdot 0.3+0.6 \cdot \frac{23}{60}=0.12+0.23=0.35 ✓.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe