Événements indépendants

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בנתב״ג מגרילים יעדים לשתי טיסות. לטיסה הראשונה יש 5 יעדים אפשריים, ולטיסה השנייה 7, ושתי ההגרלות לא משפיעות זו על זו. כל משבצת בלוח היא צירוף אחד של שני יעדים. לחצו והסתכלו איך השורה והעמודה נחתכות.

נסמן AA — ארה״ב בטיסה הראשונה, BB — דובאי בטיסה השנייה. לפי הלוח, מה P(A)P(A) ומה P(A∣B)P(A \mid B)?

Voir la réponse et le corrigé

P(A)=735=15P(A)=\frac{7}{35}=\frac{1}{5}, ו-P(A∣B)=15P(A \mid B)=\frac{1}{5}: משבצת אחת מתוך חמש בעמודה של דובאי. שוות: הידיעה על BB לא שינתה את AA.

ההגדרה ושלושה מבחנים

AA ו-BB בלתי תלויים אם הידיעה שאחד מהם קרה לא משנה את ההסתברות של השני. יש שלוש דרכים שקולות לבדוק זאת, כאשר 0<P(B)<10<P(B)<1:

P(A∣B)=P(A)P(A \mid B)=P(A)

הידיעה BB לא משנה את AA

P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)

כלל הכפל, בלי תנאי

P(A∣B)=P(A∣Bˉ)P(A \mid B)=P(A \mid \bar{B})

ל-AA אותה הסתברות כש-BB קרה וכש-BB לא קרה

למה שלושת המבחנים אומרים אותו דבר

P(A)=0.4P(A)=0.4, P(B)=0.5P(B)=0.5 ו-P(A∩B)=0.2P(A \cap B)=0.2. האם AA ו-BB בלתי תלויים?

Voir la réponse et le corrigé

0.4⋅0.5=0.2=P(A∩B)0.4 \cdot 0.5=0.2=P(A \cap B), ולכן כן. וכמו שההוכחה אומרת, גם P(A∣B)=0.20.5=0.4=P(A)P(A \mid B)=\frac{0.2}{0.5}=0.4=P(A).

אי-תלות בטבלה דו-ממדית

איך מגיעים לבית הספר? 200 תלמידים
באוטובוסלא באוטובוססה״כ
בנים543690
בנות6644110
סה״כ12080200

האם אופן ההגעה תלוי במין?

בוחרים תלמיד באקראי. AA — מגיע באוטובוס, BB — בן.

P(A∣B)=5490=0.6\begin{aligned}P(A \mid B) &= \frac{54}{90} \\ &= 0.6\end{aligned}

בין הבנים

P(A∣Bˉ)=66110=0.6\begin{aligned}P(A \mid \bar{B}) &= \frac{66}{110} \\ &= 0.6\end{aligned}

בין הבנות: המבחן השלישי מתקיים

P(A)=120200=0.6\begin{aligned}P(A) &= \frac{120}{200} \\ &= 0.6\end{aligned}

בין כל התלמידים: גם המבחן הראשון

P(A∩B)=54200=0.27=0.6⋅0.45\begin{aligned}P(A \cap B) &= \frac{54}{200} \\ &= 0.27 \\ &= 0.6 \cdot 0.45\end{aligned}

והמבחן השני, עם P(B)=90200=0.45P(B)=\frac{90}{200}=0.45

זרים אינם בלתי תלויים

זה הבלבול הנפוץ ביותר בפרק. זרים פירושו שהמאורעות אינם יכולים לקרות יחד. אז אם AA קרה, BB בוודאות לא קרה: הידיעה שינתה הכול. לכן מאורעות זרים שהסתברויותיהם חיוביות הם תמיד תלויים: P(A∩B)=0P(A \cap B)=0, אבל P(A)⋅P(B)>0P(A) \cdot P(B)>0.

ניסויים חוזרים בלתי תלויים

כשחוזרים על ניסוי והחזרות לא משפיעות זו על זו, כופלים לאורך המסלול. את «לפחות פעם אחת» מחשבים דרך המשלים, «אף פעם לא».

מבחן עם שלוש שאלות

במבחן שלוש שאלות. מיכל פותרת כל שאלה נכון בהסתברות 0.8, ואין קשר בין השאלות.

0.83=0.5120.8^3=0.512

שלוש תשובות נכונות: מסלול אחד

0.23=0.0080.2^3=0.008

אף תשובה נכונה

1−0.008=0.9921-0.008=0.992

לפחות תשובה נכונה אחת: המשלים

3⋅0.82⋅0.2=0.3843 \cdot 0.8^2 \cdot 0.2=0.384

בדיוק שתיים: שלושה מסלולים, בכל אחד המכפלה 0.8⋅0.8⋅0.20.8 \cdot 0.8 \cdot 0.2

מה ההסתברות שמיכל תפתור נכון בדיוק שאלה אחת?

Voir la réponse et le corrigé

3⋅0.8⋅0.22=0.0963 \cdot 0.8 \cdot 0.2^2=0.096. בדיקה: 0.512+0.384+0.096+0.008=10.512+0.384+0.096+0.008=1 ✓

כדי להוכיח אי-תלות, מספיק מבחן אחד שמתקיים. כדי להראות תלות, מספיק מבחן אחד שאינו מתקיים.

שלוש טעויות באי-תלות.

P(A∩B)=0.1⋅0.3P(A \cap B)=0.1 \cdot 0.3
P(A∩B)=0P(A \cap B)=0

כאן AA ו-BB זרים, עם P(A)=0.1P(A)=0.1 ו-P(B)=0.3P(B)=0.3: אין להם תוצאה משותפת. כלל המכפלה P(A)⋅P(B)P(A) \cdot P(B) שמור למאורעות בלתי תלויים.

P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)
P(A∩B)=P(A)⋅P(B∣A)P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B \mid A)

המכפלה הפשוטה נכונה רק במאורעות בלתי תלויים. בכל מקרה אחר כופלים בהסתברות המותנית, כמו בעץ בלי החזרה.

0.8+0.8+0.8=2.40.8+0.8+0.8=2.4
1−0.23=0.9921-0.2^3=0.992

חיבור הסתברויות של מאורעות שאינם זרים סופר פעמיים, ואפילו עובר את 1. «לפחות פעם אחת» מחשבים דרך המשלים.

Exercices

Exercice 1

AA ו-BB בלתי תלויים, P(A)=0.3P(A)=0.3 ו-P(B)=0.6P(B)=0.6. מה P(A∩B)P(A \cap B)?

  1. 0.180.18
  2. 00
  3. 0.90.9
  4. 0.50.5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 0.180.18

Corrigé :

P(A∩B)=P(A)⋅P(B)=0.3⋅0.6=0.18\begin{aligned}P(A \cap B) &= P(A) \cdot P(B) \\ &= 0.3 \cdot 0.6 \\ &= 0.18\end{aligned}

המבחן השני, כנתון

הנכונה: 0.180.18. 0.90.9 הוא סכום ולא מכפלה. 00 נכון למאורעות זרים, לא לבלתי תלויים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

AA ו-BB בלתי תלויים, P(A)=0.3P(A)=0.3 ו-P(B)=0.6P(B)=0.6. מה P(A∪B)P(A \cup B)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.72

Corrigé :

P(A∩B)=0.3⋅0.6=0.18\begin{aligned}P(A \cap B) &= 0.3 \cdot 0.6 \\ &= 0.18\end{aligned}

אי-תלות

P(A∪B)=0.3+0.6−0.18=0.72\begin{aligned}P(A \cup B) &= 0.3+0.6-0.18 \\ &= 0.72\end{aligned}

נוסחת האיחוד

אי-תלות אינה זרות: החיתוך הוא 0.180.18, לא 00. מי שענה 0.90.9 שכח להחסיר אותו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

P(A)=0.5P(A)=0.5, P(B)=0.4P(B)=0.4 ו-P(A∩B)=0.25P(A \cap B)=0.25. המאורעות AA ו-BB בלתי תלויים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

P(A)⋅P(B)=0.5⋅0.4=0.2\begin{aligned}P(A) \cdot P(B) &= 0.5 \cdot 0.4 \\ &= 0.2\end{aligned}

המכפלה

0.2≠0.250.2 \neq 0.25

המבחן השני אינו מתקיים

לא נכון: המאורעות תלויים. P(A∣B)=0.250.4=0.625≠0.5P(A \mid B)=\frac{0.25}{0.4}=0.625 \neq 0.5 — הידיעה על BB מעלה את ההסתברות של AA.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

אם AA ו-BB זרים, ו-P(A)>0P(A)>0 ו-P(B)>0P(B)>0, אז AA ו-BB תלויים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

P(A∩B)=0P(A \cap B)=0

זרים

P(A)⋅P(B)>0P(A) \cdot P(B)>0

מכפלה של שני מספרים חיוביים

P(A∩B)≠P(A)⋅P(B)P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)

המבחן השני אינו מתקיים

נכון. אם AA קרה, BB בוודאות לא קרה: P(B∣A)=0≠P(B)P(B \mid A)=0 \neq P(B). זרים ובלתי תלויים הם כמעט הפכים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

AA ו-BB בלתי תלויים, P(A)=0.4P(A)=0.4 ו-P(A∪B)=0.7P(A \cup B)=0.7. מצאו את P(B)P(B).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

0.7=0.4+p−0.4p0.7=0.4+p-0.4p

נסמן p=P(B)p=P(B). נוסחת האיחוד, עם P(A∩B)=0.4pP(A \cap B)=0.4p

0.3=0.6p ⇒ p=0.5\begin{aligned}0.3 &= 0.6p \ \Rightarrow \ p \\ &= 0.5\end{aligned}

On résout

מי שענה 0.30.3 השתמש בנוסחה של מאורעות זרים, 0.7−0.40.7-0.4. כאן החיתוך הוא 0.4p0.4p, ולא 00.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

חטיבת בינייםחטיבה עליונהסה״כ
בחוג רובוטיקה483280
לא בחוג192128320
סה״כ240160400

בחטיבה 400 תלמידים. הטבלה מראה כמה מהם משתתפים בחוג רובוטיקה. נסמן RR — משתתף בחוג, MM — לומד בחטיבת הביניים. האם RR ו-MM בלתי תלויים?

  1. לא: בחטיבת הביניים יותר משתתפים, 48 מול 32
  2. כן: P(R∣M)=P(R∣Mˉ)=0.2P(R \mid M)=P(R \mid \bar{M})=0.2
  3. אי אפשר לדעת בלי לדעת כמה בנים יש בחוג
  4. לא: P(R∩M)=0.12≠0.2P(R \cap M)=0.12 \neq 0.2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B כן: P(R∣M)=P(R∣Mˉ)=0.2P(R \mid M)=P(R \mid \bar{M})=0.2

Corrigé :

P(R∣M)=48240=0.2\begin{aligned}P(R \mid M) &= \frac{48}{240} \\ &= 0.2\end{aligned}

בחטיבת הביניים

P(R∣Mˉ)=32160=0.2\begin{aligned}P(R \mid \bar{M}) &= \frac{32}{160} \\ &= 0.2\end{aligned}

בחטיבה העליונה: אותו שיעור

P(R∩M)=48400=0.12=0.2⋅0.6\begin{aligned}P(R \cap M) &= \frac{48}{400} \\ &= 0.12 \\ &= 0.2 \cdot 0.6\end{aligned}

גם המבחן השני מתקיים

הנכונה: כן. 48 מול 32 משווה מספרים, אבל בחטיבת הביניים יש גם יותר תלמידים. 0.120.12 צריך להשוות ל-P(R)⋅P(M)=0.2⋅0.6P(R) \cdot P(M)=0.2 \cdot 0.6, ולא ל-0.20.2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מטילים מטבע הוגן ארבע פעמים. מה ההסתברות שלפחות פעם אחת יצא «עץ»?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.9375

Corrigé :

(12)4=116\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}

אף פעם לא «עץ»: ארבע פעמים «פלי»

1−116=1516=0.9375\begin{aligned}1-\frac{1}{16} &= \frac{15}{16} \\ &= 0.9375\end{aligned}

המשלים

ארבע ההטלות בלתי תלויות, ולכן כופלים. 4⋅12=24 \cdot \frac{1}{2}=2 אינו הסתברות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

במבחן שלושה תרגילים. עמית פותר נכון את התרגיל הראשון בהסתברות 0.9, את השני בהסתברות 0.8 ואת השלישי בהסתברות 0.5, ואין קשר בין התרגילים. מה ההסתברות שעמית יפתור נכון את שלושת התרגילים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.36

Corrigé :

0.9⋅0.8⋅0.5=0.360.9 \cdot 0.8 \cdot 0.5=0.36

אי-תלות: כופלים

מסלול אחד בעץ של שלושה שלבים. אין צורך בעץ המלא.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

במבחן שלושה תרגילים. עמית פותר נכון את התרגיל הראשון בהסתברות 0.9, את השני בהסתברות 0.8 ואת השלישי בהסתברות 0.5, ואין קשר בין התרגילים. מה ההסתברות שעמית יפתור נכון בדיוק שני תרגילים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.49

Corrigé :

0.9⋅0.8⋅0.5=0.360.9 \cdot 0.8 \cdot 0.5=0.36

הראשון והשני נכונים, השלישי לא

0.9⋅0.2⋅0.5=0.090.9 \cdot 0.2 \cdot 0.5=0.09

הראשון והשלישי נכונים, השני לא

0.1⋅0.8⋅0.5=0.040.1 \cdot 0.8 \cdot 0.5=0.04

השני והשלישי נכונים, הראשון לא

0.36+0.09+0.04=0.490.36+0.09+0.04=0.49

שלושה מסלולים זרים

כאן ההסתברויות שונות, ולכן כל מסלול מחושב לבד. 3⋅0.363 \cdot 0.36 מניח שכל המסלולים שווים — ואינם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

AA ו-BB בלתי תלויים, P(A)=0.2P(A)=0.2 ו-P(B)=0.5P(B)=0.5. השלימו.

P(A∣B)=P(A \mid B)= ____ ; P(A∣Bˉ)=P(A \mid \bar{B})= ____ ; P(Aˉ∩Bˉ)=P(\bar{A} \cap \bar{B})= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : P(A∣B)=P(A \mid B)= 0.2 ; P(A∣Bˉ)=P(A \mid \bar{B})= 0.2 ; P(Aˉ∩Bˉ)=P(\bar{A} \cap \bar{B})= 0.4

Corrigé :

P(A∣B)=P(A)=0.2\begin{aligned}P(A \mid B) &= P(A) \\ &= 0.2\end{aligned}

המבחן הראשון

P(A∣Bˉ)=P(A∣B)=0.2\begin{aligned}P(A \mid \bar{B}) &= P(A \mid B) \\ &= 0.2\end{aligned}

המבחן השלישי

P(Aˉ∩Bˉ)=0.8⋅0.5=0.4\begin{aligned}P(\bar{A} \cap \bar{B}) &= 0.8 \cdot 0.5 \\ &= 0.4\end{aligned}

גם Aˉ\bar{A} ו-Bˉ\bar{B} בלתי תלויים

כשמאורעות בלתי תלויים, גם המשלימים שלהם בלתי תלויים. בדיקה: P(A∪B)=0.2+0.5−0.1=0.6P(A \cup B)=0.2+0.5-0.1=0.6, והמשלים שלו 0.40.4 ✓

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe