On résout ensemble · Fonction du second degré · Kita י

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: חקירה מלאה, צורת הקדקוד, פרבולה וישר, השקה בעזרת הדיסקרימיננטה, ובעיית גובה. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. ובכל שלב שאלו: זה השורשים, הקדקוד או הדיסקרימיננטה? בפרק הזה כל שאלה היא שרשרת של שלושת הכלים האלה.

1 — חקירה מלאה של פרבולה

Activité interactive

נתונה הפונקציה $f(x) = x^2 - 4x - 5$ . א. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים. ב. מצאו את הקדקוד וקבעו את סוגו. ג. מצאו את תחומי העלייה והירידה. ד. מצאו את תחומי החיוביות והשליליות.

f(x) = x^2 - 4x - 5

לחצו «להתחיל». הסדר קבוע: צירים, קדקוד, עלייה וירידה, סימן. כל שלב משתמש בקודם.

א. ציר y

f(0) = -5 \ \Rightarrow \ (0,\,-5)

מציבים $x = 0$ : מקבלים $c$ .

א. ציר x

\begin{aligned}x^2 - 4x - 5 &= 0 \ \Rightarrow \ (x - 5)(x + 1) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ (5,\,0) \\ \ (-1,\,0)\end{aligned}

מציבים $y = 0$ . מכפלה $-5$ , סכום $-4$ .

ב. קדקוד

\begin{aligned}x_V &= \frac{4}{2} \\ &= 2 \\ \qquad y_V &= 4 - 8 - 5 \\ &= -9\end{aligned}

$V(2,\,-9)$ . גם אמצע השורשים: $\frac{-1 + 5}{2} = 2$ ✓

ב. סוג

a = 1 > 0 \ \Rightarrow \ \min

פתוחה כלפי מעלה: הקדקוד הוא מינימום.

ג.

x < 2 \ \searrow \qquad x > 2 \ \nearrow

יורדת עד הקדקוד, עולה אחריו. תחומים בערכי $x$ .

ד.

f(x) > 0: \ x < -1 \ \text{או} \ x > 5 \qquad f(x) < 0: \ -1 < x < 5

$a > 0$ : שלילית בין השורשים, חיובית מחוץ להם.

ארבעה סעיפים, ואף אחד לא דורש כלי חדש. הקדקוד $(2,\,-9)$ מכריע את סעיף ג, השורשים $-1$ ו- $5$ מכריעים את סעיף ד.

Faire l'activité sur elev

לאילו ערכים של $k$ אין למשוואה $f(x) = k$ אף פתרון?

Voir la réponse et le corrigé

$k < -9$ . הפרבולה פתוחה כלפי מעלה והערך הקטן ביותר שלה הוא $-9$ . ישר אופקי מתחת לקדקוד לא פוגש אותה.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — צורת הקדקוד והערך המקסימלי

Activité interactive

כתבו את $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ בצורה $a(x - p)^2 + k$ ומצאו את הערך המקסימלי

נתונה $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ . כתבו אותה בצורה $a(x - p)^2 + k$ , ומצאו את הערך הגדול ביותר של הפונקציה.

$f(x) = -(x - 3)^2 + 4$ , מקסימום $4$

$f(x) = (x - 3)^2 + 4$ , מקסימום $4$

$f(x) = -(x + 3)^2 + 4$ , מקסימום $4$

$f(x) = -(x - 3)^2 - 4$ , מקסימום $-4$

מהו $p$ , ה- $x$ של הקדקוד?

$p = \frac{-6}{2 \cdot (-1)} = 3$

Voir la réponse et le corrigé

נוסחת הקדקוד, עם $a = -1$ במכנה.

$p = \frac{-6}{2} = -3$

Voir la réponse et le corrigé

שכחתם את $a = -1$ במכנה. $\frac{-6}{-2} = 3$ .

x_V = 3

ציר הסימטריה $x = 3$

מהו $k$ , ה- $y$ של הקדקוד?

$k = f(3) = -9 + 18 - 5 = 4$

Voir la réponse et le corrigé

מציבים $x = 3$ . שימו לב: $-3^2 = -9$ .

$k = c = -5$

Voir la réponse et le corrigé

$c$ הוא החיתוך עם ציר ה- $y$ , לא גובה הקדקוד.

V(3,\,4)

הקדקוד

מה כותבים לפני הסוגריים?

$a = -1$ : $f(x) = -(x - 3)^2 + 4$

Voir la réponse et le corrigé

המקדם של $x^2$ לא משתנה במעבר בין הצורות.

$f(x) = (x - 3)^2 + 4$

Voir la réponse et le corrigé

בלי המינוס זו פרבולה שפתוחה כלפי מעלה, עם מינימום. פתחו סוגריים ותראו $+x^2$ .

\begin{aligned}f(x) &= -(x - 3)^2 + 4 \ \Rightarrow \ \max \\ &= 4\end{aligned}

בדיקה: $-(x^2 - 6x + 9) + 4 = -x^2 + 6x - 5$ ✓

Voir la réponse et le corrigé

$f(x) = -(x - 3)^2 + 4$ , מקסימום $4$ . $(x - 3)^2 \geq 0$ , ולכן $-(x - 3)^2 \leq 0$ , ולכן $f(x) \leq 4$ . השוויון מתקיים בדיוק ב- $x = 3$ .

Faire l'activité sur elev

מהו ציר הסימטריה של $f$ , ומהם השורשים שלה?

Voir la réponse et le corrigé

ציר הסימטריה $x = 3$ . השורשים: $-(x - 3)^2 + 4 = 0$ , כלומר $(x - 3)^2 = 4$ , כלומר $x = 5$ ו- $x = 1$ . הם במרחק $2$ מכל צד של הציר.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — פרבולה וישר: חיתוך, ומי מעל מי

Activité interactive

נתונות הפונקציות $f(x) = x^2 - 2x - 3$ ו- $g(x) = -x + 3$ . א. מצאו את נקודות החיתוך של שני הגרפים. ב. מצאו את נקודת החיתוך של כל גרף עם ציר ה- $y$ . ג. לאילו ערכי $x$ מתקיים $f(x) < g(x)$ ?

\begin{aligned}f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ \qquad g(x) &= -x + 3\end{aligned}

לחצו «להתחיל». סעיף ג נקרא מהשרטוט: הפרבולה מתחת לישר בדיוק בין שתי נקודות החיתוך.

א. משווים

\begin{aligned}x^2 - 2x - 3 &= -x + 3 \ \Rightarrow \ x^2 - x - 6 \\ &= 0\end{aligned}

מעבירים את הישר לאגף השני.

א. פותרים

\begin{aligned}(x - 3)(x + 2) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3 \\ \ x &= -2\end{aligned}

מכפלה $-6$ , סכום $-1$ .

א. נקודות

\begin{aligned}g(3) &= 0 \\ \quad g(-2) &= 5 \ \Rightarrow \ (3,\,0) \\ \ (-2,\,5)\end{aligned}

מציבים בישר. בדיקה בפרבולה: $f(3) = 9 - 6 - 3 = 0$ ✓

ב.

\begin{aligned}f(0) &= -3 \ \Rightarrow \ (0,\,-3) \qquad g(0) \\ &= 3 \ \Rightarrow \ (0,\,3)\end{aligned}

ב- $x = 0$ הפרבולה נמוכה מהישר.

ג.

-2 < x < 3

פרבולה שפתוחה כלפי מעלה נמצאת מתחת לישר בין נקודות החיתוך. בדיקה ב- $x = 0$ : $-3 < 3$ ✓

הנקודה $(3,\,0)$ היא גם שורש של $f$ : הישר עובר בדיוק דרך החיתוך של הפרבולה עם ציר ה- $x$ .

Faire l'activité sur elev

הנקודה $(3,\,0)$ נמצאת על ציר ה- $x$ . מה עוד היא?

Voir la réponse et le corrigé

שורש של $f$ , כי $f(3) = 0$ , וגם נקודת החיתוך של $g$ עם ציר ה- $x$ , כי $g(3) = 0$ . נקודה אחת, שלושה תפקידים: בדיוק כמו בווידג׳ט של היחידה הקודמת.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — לאיזה $k$ הישר משיק? הדיסקרימיננטה מכריעה

Activité interactive

הישר $y = -2x + k$ והפרבולה $y = x^2 + 2x + 3$

לאיזה ערך של $k$ הישר $y = -2x + k$ משיק לפרבולה $y = x^2 + 2x + 3$ ? מצאו גם את נקודת ההשקה.

$k = -1$ , נקודת ההשקה $(-2,\,3)$

$k = 1$ , נקודת ההשקה $(-2,\,3)$

$k = 3$ , נקודת ההשקה $(0,\,3)$

$k = -4$ , נקודת ההשקה $(2,\,11)$

מה הצעד הראשון?

משווים: $x^2 + 2x + 3 = -2x + k$

Voir la réponse et le corrigé

בנקודה משותפת שתי הפונקציות שוות.

מציבים $x = 0$ בשתי הפונקציות

Voir la réponse et le corrigé

זה נותן את החיתוך עם ציר ה- $y$ , לא את ההשקה.

x^2 + 4x + 3 - k = 0

מעבירים לאגף אחד. $c = 3 - k$

מה התנאי להשקה?

$\Delta = 0$ : פתרון אחד בדיוק

Voir la réponse et le corrigé

השקה היא נקודה משותפת אחת.

$\Delta < 0$

Voir la réponse et le corrigé

$\Delta < 0$ אומר שאין שום נקודה משותפת.

\begin{aligned}\Delta &= 16 - 4(3 - k) \\ &= 4 + 4k \\ &= 0 \ \Rightarrow \ k \\ &= -1\end{aligned}

$16 - 12 + 4k$

איך מוצאים את נקודת ההשקה?

פותרים את המשוואה עם $k = -1$ : $x^2 + 4x + 4 = 0$

Voir la réponse et le corrigé

הפתרון היחיד הוא ה- $x$ של נקודת ההשקה.

לוקחים את קדקוד הפרבולה

Voir la réponse et le corrigé

הקדקוד הוא נקודת ההשקה רק של ישר אופקי. הישר כאן משופע.

\begin{aligned}(x + 2)^2 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -2 \\ \quad y &= 4 - 1 \\ &= 3\end{aligned}

מציבים בישר: $-2 \cdot (-2) - 1 = 3$

Voir la réponse et le corrigé

$k = -1$ , נקודת ההשקה $(-2,\,3)$ . בדיקה בפרבולה: $4 - 4 + 3 = 3$ ✓. הטעות הנפוצה: לכתוב $\Delta = 16 - 4 \cdot 3 - k$ בלי סוגריים, ולקבל $k = 4$ .

Faire l'activité sur elev

לאילו ערכים של $k$ הישר חותך את הפרבולה בשתי נקודות?

Voir la réponse et le corrigé

$k > -1$ . $\Delta = 4 + 4k > 0$ בדיוק כאשר $k > -1$ : הישר עולה מעל נקודת ההשקה וחוצה את הפרבולה פעמיים.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — בעיית גובה: מהקדקוד ועד השאלה «כמה פעמים»

Activité interactive

אבן נזרקת כלפי מעלה מראש צוק. הגובה שלה במטרים מעל הים אחרי $t$ שניות הוא $h(t) = -5t^2 + 20t + 25$ . א. מאיזה גובה נזרקה האבן? ב. מתי היא בגובה הגדול ביותר, ומהו? ג. אחרי כמה שניות היא פוגעת במים? ד. כמה פעמים האבן בגובה $40$ מטר?

h(t) = -5t^2 + 20t + 25

לחצו «להתחיל». כל סעיף הוא אחד מכלי הפרק: $c$ , הקדקוד, השורשים, ו- $f(x) = k$ .

א.

h(0) = 25

בזמן $t = 0$ : הגובה ההתחלתי הוא $c$ , $25$ מטר.

ב. זמן

\begin{aligned}t_V &= \frac{-20}{2 \cdot (-5)} \\ &= 2\end{aligned}

$a = -5 < 0$ , הקדקוד הוא מקסימום.

ב. גובה

\begin{aligned}h(2) &= -20 + 40 + 25 \\ &= 45\end{aligned}

הגובה הגדול ביותר, $45$ מטר, אחרי $2$ שניות.

ג.

\begin{aligned}-5t^2 + 20t + 25 &= 0 \ \Rightarrow \ t^2 - 4t - 5 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 5 \\ \ t &= -1\end{aligned}

מחלקים ב- $-5$ . הזמן חיובי: $t = 5$ שניות. $t = -1$ נפסל.

ד.

\begin{aligned}-5t^2 + 20t + 25 &= 40 \ \Rightarrow \ t^2 - 4t + 3 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 1 \\ \ t &= 3\end{aligned}

פעמיים: בעלייה ובירידה. $40 < 45$ , ולכן הישר $h = 40$ מתחת לקדקוד.

סעיף ד הוא בדיוק «כמה פתרונות יש ל- $f(x) = k$ »: הגובה $40$ נמוך מהמקסימום $45$ , ולכן שתי פעמים, סימטריות סביב $t = 2$ .

Faire l'activité sur elev

כמה פעמים האבן בגובה $45$ מטר? ובגובה $50$ ?

Voir la réponse et le corrigé

בגובה $45$ פעם אחת, בקדקוד ( $t = 2$ ). בגובה $50$ אף פעם: המקסימום הוא $45$ . שלושת המקרים של $f(x) = k$ , בלי לפתור שום משוואה.

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

Exercices

Exercice 1

נתונה $f(x) = x^2 - 2x - 8$ . מצאו את השורשים ואת הקדקוד.

שורשים: $x_1 =$ ____ (הקטן), $x_2 =$ ____ ; קדקוד: $($ ____ $,$ ____ $)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : שורשים: $x_1 =$ -2 (הקטן), $x_2 =$ 4 ; קדקוד: $($ 1 $,$ -9 $)$

Corrigé :

\begin{aligned}x^2 - 2x - 8 &= 0 \ \Rightarrow \ (x - 4)(x + 2) \\ &= 0\end{aligned}

השורשים $-2$ ו- $4$

\begin{aligned}x_V &= \frac{-2 + 4}{2} \\ &= 1\end{aligned}

אמצע השורשים, או $\frac{2}{2}$

\begin{aligned}y_V &= 1 - 2 - 8 \\ &= -9\end{aligned}

On remplace (מציבים)

הקדקוד $(1,\,-9)$ הוא מינימום. תחום הירידה $x < 1$ , תחום השליליות $-2 < x < 4$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

כתבו את $f(x) = x^2 + 6x + 4$ בצורה $a(x - p)^2 + k$ .

$f(x) = (x + 3)^2 + 13$
$f(x) = (x + 3)^2 - 5$
$f(x) = (x + 3)^2 + 4$
$f(x) = (x - 3)^2 - 5$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $f(x) = (x + 3)^2 - 5$

Corrigé :

\begin{aligned}x_V &= \frac{-6}{2} \\ &= -3 \\ \qquad y_V &= 9 - 18 + 4 \\ &= -5\end{aligned}

הקדקוד $(-3,\,-5)$

f(x) = (x + 3)^2 - 5

$p = -3$ נותן $x + 3$ בסוגריים

x^2 + 6x + 9 - 5 = x^2 + 6x + 4 \ \checkmark

בדיקה

הנכונה: $(x + 3)^2 - 5$ . $(x - 3)^2$ שם את הקדקוד ב- $x = 3$ ; $+4$ מעתיק את $c$ ; $+13$ מוסיף $9$ במקום לגרוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

בשרטוט הפרבולה $f(x) = x^2 - 3x - 4$ והישר $g(x) = x + 1$ . מצאו את שיעור ה- $x$ של נקודת החיתוך $B$ , שה- $x$ שלה גדול יותר.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

\begin{aligned}x^2 - 3x - 4 &= x + 1 \ \Rightarrow \ x^2 - 4x - 5 \\ &= 0\end{aligned}

משווים ומעבירים

\begin{aligned}(x - 5)(x + 1) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5 \\ \ x &= -1\end{aligned}

השורשים

B(5,\,6)

מציבים בישר: $5 + 1 = 6$

$A(-1,\,0)$ היא גם שורש של הפרבולה: $1 + 3 - 4 = 0$ . השאלה ביקשה את $B$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

לאיזה ערך של $k$ הישר $y = 2x + k$ משיק לפרבולה $y = x^2 - 2x + 5$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

\begin{aligned}x^2 - 2x + 5 &= 2x + k \ \Rightarrow \ x^2 - 4x + 5 - k \\ &= 0\end{aligned}

משווים ומעבירים

\begin{aligned}\Delta &= 16 - 4(5 - k) \\ &= 4k - 4 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ k \\ &= 1\end{aligned}

השקה: $\Delta = 0$

x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \ \Rightarrow \ (2,\,5)

בדיקה: נקודת ההשקה

הסוגריים סביב $5 - k$ הם כל השאלה: $-4(5 - k) = -20 + 4k$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

כדור נזרק כלפי מעלה מגג בניין. הגובה שלו במטרים אחרי $t$ שניות הוא $h(t) = -5t^2 + 30t + 35$ . מהו הגובה הגדול ביותר שאליו מגיע הכדור (במטרים)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 80

Corrigé :

\begin{aligned}t_V &= \frac{-30}{2 \cdot (-5)} \\ &= 3\end{aligned}

הזמן של הקדקוד

\begin{aligned}h(3) &= -45 + 90 + 35 \\ &= 80\end{aligned}

הגובה הגדול ביותר

$35$ הוא גובה הגג, לא הגובה המקסימלי: הכדור עולה $45$ מטר מעליו.

Vérifier la réponse sur elev

1 — חקירה מלאה של פרבולה

2 — צורת הקדקוד והערך המקסימלי

3 — פרבולה וישר: חיתוך, ומי מעל מי

4 — לאיזה kkk הישר משיק? הדיסקרימיננטה מכריעה

5 — בעיית גובה: מהקדקוד ועד השאלה «כמה פעמים»

Exercices

La suite se pratique sur elev

4 — לאיזה $k$ הישר משיק? הדיסקרימיננטה מכריעה