Série 4 — avancé

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות שמחברות שני כלים: פרבולה שמוצאים משורשיה, f(x)<g(x)f(x) < g(x) על השרטוט, מרחק בין שתי נקודות חיתוך, השקה כשהפרמטר בשיפוע, שתי פרבולות שנפגשות, ורווח מקסימלי.

כשהפרמטר יושב בשיפוע של הישר, הדיסקרימיננטה היא משוואה ריבועית ב-mm, ויכולים להיות שני ערכים. קראו מה השאלה מבקשת: לפעמים רק את החיובי.

Exercices

Exercice 1

הפרבולה y=ax2+bx−6y = ax^2 + bx - 6 חותכת את ציר ה-xx בנקודות (2, 0)(2,\,0) ו-(3, 0)(3,\,0). א. מצאו את aa ואת bb.

a=a = ____ , b=b = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : a=a = -1 , b=b = 5

Corrigé :

y=a(x−2)(x−3)=a(x2−5x+6)\begin{aligned}y &= a(x - 2)(x - 3) \\ &= a(x^2 - 5x + 6)\end{aligned}

פרבולה עם השורשים 22 ו-33

6a=−6 ⇒ a=−1\begin{aligned}6a &= -6 \ \Rightarrow \ a \\ &= -1\end{aligned}

האיבר החופשי חייב להיות −6-6

y=−x2+5x−6 ⇒ b=5\begin{aligned}y &= -x^2 + 5x - 6 \ \Rightarrow \ b \\ &= 5\end{aligned}

פותחים

בדיקה: −4+10−6=0-4 + 10 - 6 = 0 ✓ ו-−9+15−6=0-9 + 15 - 6 = 0 ✓. מי שלקח a=1a = 1 קיבל c=6c = 6, לא −6-6.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

הפרבולה y=ax2+bx−6y = ax^2 + bx - 6 חותכת את ציר ה-xx בנקודות (2, 0)(2,\,0) ו-(3, 0)(3,\,0). ב. מצאו את שיעור ה-yy של הקדקוד.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.25

Corrigé :

y=−x2+5x−6y = -x^2 + 5x - 6

מסעיף א

xV=2+32=2.5\begin{aligned}x_V &= \frac{2 + 3}{2} \\ &= 2.5\end{aligned}

אמצע השורשים

yV=−6.25+12.5−6=0.25\begin{aligned}y_V &= -6.25 + 12.5 - 6 \\ &= 0.25\end{aligned}

On remplace (מציבים)

הקדקוד (2.5, 0.25)(2.5,\,0.25) הוא מקסימום, ממש מעט מעל ציר ה-xx: הגיוני, כי השורשים קרובים זה לזה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

בשרטוט הפרבולה f(x)=x2−4x−5f(x) = x^2 - 4x - 5 והישר g(x)=2x−5g(x) = 2x - 5, הנחתכים ב-A(0, −5)A(0,\,-5) וב-B(6, 7)B(6,\,7). א. לאילו ערכי xx מתקיים f(x)<g(x)f(x) < g(x)?

  1. 0<x<60 < x < 6
  2. x>6x > 6
  3. −5<x<7-5 < x < 7
  4. x<0x < 0 או x>6x > 6
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 0<x<60 < x < 6

Corrigé :

x2−4x−5=2x−5 ⇒ x2−6x=0 ⇒ x=0 x=6\begin{aligned}x^2 - 4x - 5 &= 2x - 5 \ \Rightarrow \ x^2 - 6x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 6\end{aligned}

נקודות החיתוך, לאימות

f(3)=−8<g(3)=1\begin{aligned}f(3) &= -8 < g(3) \\ &= 1\end{aligned}

בדיקה בנקודה בין החיתוכים: הפרבולה נמוכה

הנכונה: 0<x<60 < x < 6. פרבולה שפתוחה כלפי מעלה נמצאת מתחת לישר בין שתי נקודות החיתוך, ומעליו מחוץ להן. −5<x<7-5 < x < 7 הם ערכי yy, לא xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

בשרטוט הפרבולה f(x)=x2−4x−5f(x) = x^2 - 4x - 5 והישר g(x)=2x−5g(x) = 2x - 5, הנחתכים ב-A(0, −5)A(0,\,-5) וב-B(6, 7)B(6,\,7). ב. חשבו את אורך הקטע ABAB. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 13.42

Corrigé :

AB=(6−0)2+(7−(−5))2=36+144\begin{aligned}AB &= \sqrt{(6 - 0)^2 + (7 - (-5))^2} \\ &= \sqrt{36 + 144}\end{aligned}

נוסחת המרחק

=180=65≈13.42= \sqrt{180} = 6\sqrt{5} \approx 13.42

תשובה מדויקת, ואז עיגול

7−(−5)=127 - (-5) = 12, לא 22: המינוס הכפול הוא המלכודת של הסעיף. הקטע ABAB הוא חלק מהישר gg.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

הישר y=ky = k נפגש עם הפרבולה y=x2−8x+12y = x^2 - 8x + 12 בנקודה אחת בדיוק. מהו kk?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -4

Corrigé :

xV=82=4yV=16−32+12=−4\begin{aligned}x_V &= \frac{8}{2} \\ &= 4 \\ \qquad y_V &= 16 - 32 + 12 \\ &= -4\end{aligned}

הקדקוד (4, −4)(4,\,-4)

k=−4k = -4

ישר אופקי נוגע בפרבולה בנקודה אחת רק בגובה הקדקוד

x2−8x+16=(x−4)2=0 ✓\begin{aligned}x^2 - 8x + 16 &= (x - 4)^2 \\ &= 0 \ \checkmark\end{aligned}

אימות: Δ=0\Delta = 0

אפשר גם דרך הדיסקרימיננטה של x2−8x+12−k=0x^2 - 8x + 12 - k = 0: 64−48+4k=064 - 48 + 4k = 0, ו-k=−4k = -4. שתי הדרכים, אותה תשובה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

בשרטוט הפרבולה y=x2−8x+12y = x^2 - 8x + 12, עם השורשים x=2x = 2 ו-x=6x = 6 והקדקוד V(4, −4)V(4,\,-4). לאילו ערכים של kk יש למשוואה x2−8x+12=kx^2 - 8x + 12 = k שני פתרונות בעלי סימנים שונים, כלומר אחד שלילי ואחד חיובי?

  1. k>12k > 12
  2. −4<k<12-4 < k < 12
  3. k>−4k > -4
  4. k<12k < 12
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A k>12k > 12

Corrigé :

f(0)=12 ⇒ C(0, 12)f(0) = 12 \ \Rightarrow \ C(0,\,12)

הגרף חוצה את ציר ה-yy בגובה 1212

k>12k > 12

ישר אופקי מעל CC פוגש את הפרבולה פעם אחת משמאל לציר ה-yy ופעם אחת מימינו

−4<k<12 ⇒ 0<x1<x2-4 < k < 12 \ \Rightarrow \ 0 < x_1 < x_2

בין הקדקוד ל-CC: שני פתרונות, אבל שניהם חיוביים

הנכונה: k>12k > 12. k>−4k > -4 נותן שני פתרונות, אבל לא בהכרח בסימנים שונים: הישר צריך לעבור מעל נקודת החיתוך עם ציר ה-yy, ואז הענף השמאלי נמצא כבר משמאל לציר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הישר y=mx−4y = mx - 4 משיק לפרבולה y=x2y = x^2. יש שני ערכים אפשריים של mm. מצאו את הערך החיובי.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

x2=mx−4 ⇒ x2−mx+4=0\begin{aligned}x^2 &= mx - 4 \ \Rightarrow \ x^2 - mx + 4 \\ &= 0\end{aligned}

משווים ומעבירים

Δ=m2−16=0 ⇒ m=±4\begin{aligned}\Delta &= m^2 - 16 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ m \\ &= \pm 4\end{aligned}

השקה: Δ=0\Delta = 0, משוואה ריבועית ב-mm

m=4: (x−2)2=0 ⇒ (2, 4)\begin{aligned}m &= 4: \ (x - 2)^2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ (2,\,4)\end{aligned}

בדיקה: נקודת ההשקה

שני משיקים, סימטריים: y=4x−4y = 4x - 4 נוגע ב-(2, 4)(2,\,4), ו-y=−4x−4y = -4x - 4 נוגע ב-(−2, 4)(-2,\,4). השאלה ביקשה את החיובי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הוכיחו או הפריכו: הפרבולות y=x2−2x+1y = x^2 - 2x + 1 ו-y=−x2+2x−1y = -x^2 + 2x - 1 נפגשות בנקודה אחת בדיוק.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

x2−2x+1=−x2+2x−1 ⇒ 2x2−4x+2=0\begin{aligned}x^2 - 2x + 1 &= -x^2 + 2x - 1 \ \Rightarrow \ 2x^2 - 4x + 2 \\ &= 0\end{aligned}

משווים ומעבירים

x2−2x+1=0 ⇒ (x−1)2=0 ⇒ x=1\begin{aligned}x^2 - 2x + 1 &= 0 \ \Rightarrow \ (x - 1)^2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

מחלקים ב-22: שורש אחד

(1, 0)(1,\,0)

הנקודה המשותפת היחידה

הטענה נכונה. שתי הפרבולות הן (x−1)2(x - 1)^2 ו-−(x−1)2-(x - 1)^2: אותו קדקוד (1, 0)(1,\,0), אחת מעל ציר ה-xx ואחת מתחתיו. הן נוגעות רק שם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

דוכן בשוק מוכר מיץ. כשמחיר הכוס הוא xx שקלים, הרווח היומי בשקלים הוא P(x)=−2x2+40x−150P(x) = -2x^2 + 40x - 150. מהו הרווח היומי הגדול ביותר האפשרי (בשקלים)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 50

Corrigé :

a=−2<0a = -2 < 0

יש מקסימום, בקדקוד

xV=−402⋅(−2)=10\begin{aligned}x_V &= \frac{-40}{2 \cdot (-2)} \\ &= 10\end{aligned}

המחיר הטוב ביותר: 1010 שקלים לכוס

P(10)=−200+400−150=50\begin{aligned}P(10) &= -200 + 400 - 150 \\ &= 50\end{aligned}

הרווח המקסימלי

השאלה ביקשה את הרווח, לא את המחיר. 1010 הוא ה-xx של הקדקוד, 5050 הוא ה-yy שלו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

כתבו את y=2x2−12x+7y = 2x^2 - 12x + 7 בצורה a(x−p)2+ka(x - p)^2 + k.

a=a = ____ , p=p = ____ , k=k = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : a=a = 2 , p=p = 3 , k=k = -11

Corrigé :

xV=124=3\begin{aligned}x_V &= \frac{12}{4} \\ &= 3\end{aligned}

2a=42a = 4 במכנה

yV=18−36+7=−11\begin{aligned}y_V &= 18 - 36 + 7 \\ &= -11\end{aligned}

מציבים: 2⋅9=182 \cdot 9 = 18

y=2(x−3)2−11y = 2(x - 3)^2 - 11

aa נשאר 22

2(x2−6x+9)−11=2x2−12x+7 ✓2(x^2 - 6x + 9) - 11 = 2x^2 - 12x + 7 \ \checkmark

בדיקה

כש-a≠1a \neq 1 שתי מלכודות: המכנה 2a2a בנוסחת הקדקוד, ו-aa שנשאר לפני הסוגריים. מי שכתב (x−3)2−11(x - 3)^2 - 11 בלי ה-22 קיבל פרבולה אחרת.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe