On résout ensemble · Fonction racine : dérivée et étude · Kita י

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: חקירה עם קיצון בקצה, משיק לגרף של מנה, משוואה עם שורש שמסננת פתרון, פרמטרים, וחקירה שבה הגרף נוגע בציר. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. הפער בין התוכנית שלכם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד.

1 — חקירה, וקיצון בקצה התחום

Activité interactive

נתונה $f(x)=x\sqrt{x+3}$ . א. מצאו את תחום ההגדרה ואת נקודות החיתוך עם הצירים. ב. מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן. ג. מצאו את תחומי העלייה והירידה.

f(x)=x\sqrt{x+3}

לחצו «להתחיל». הסדר קבוע: תחום, צירים, נגזרת, חשודות, סימנים, גבהים.

א. תחום

x+3 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq -3

הקצה $x=-3$ יחזור בסעיף ב.

א. צירים

\begin{aligned}x\sqrt{x+3} &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= -3\end{aligned}

מכפלה מתאפסת כשאחד הגורמים מתאפס. הנקודות $(0,0)$ ו- $(-3,0)$ .

ב. נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{x+3}+\frac{x}{2\sqrt{x+3}} \\ &= \frac{3x+6}{2\sqrt{x+3}}\end{aligned}

כלל המכפלה ומכנה משותף. מוגדרת ל- $x>-3$ .

ב. חשודות

\begin{aligned}3x+6 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -2\end{aligned}

וגם הקצה $x=-3$ .

ב. סימנים

f'(-2.5)<0 \qquad f'(0)=\frac{6}{2\sqrt{3}}>0

המכנה חיובי, והסימן הוא של $3x+6$ .

ב. גבהים

\begin{aligned}f(-2) &= -2 \cdot 1 \\ &= -2 \qquad f(-3) \\ &= 0\end{aligned}

מציבים ב- $f$ .

ב. מסקנה

\min (-2,\,-2) \qquad \max (-3,\,0) \ \text{קצה}

מהקצה הפונקציה יורדת, ולכן הקצה מקסימום.

ג.

-3<x<-2: \ \searrow \qquad x>-2: \ \nearrow

יורדת ב- $-3<x<-2$ , עולה ב- $x>-2$ .

ב- $x=-3$ הנגזרת לא מוגדרת, ובכל זאת יש שם קיצון. מי שמחפש רק $f'(x)=0$ מפספס חצי מהתשובה של סעיף ב.

Faire l'activité sur elev

האם $(-3,\,0)$ היא הנקודה הגבוהה ביותר של הגרף?

Voir la réponse et le corrigé

לא. $f(6)=6 \cdot 3=18$ . זה מקסימום מקומי: הוא גבוה רק מהנקודות הקרובות אליו. אחרי $x=-2$ הפונקציה עולה בלי סוף.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — משיק לגרף של מנה

Activité interactive

משוואת המשיק ל- $f(x)=\frac{x+8}{\sqrt{x}}$ בנקודה שבה $x=4$

נתונה $f(x)=\frac{x+8}{\sqrt{x}}$ . מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה $x=4$ .

$y=-\frac{1}{4}x+7$

$y=-\frac{1}{4}x+6$

$y=\frac{1}{4}x+5$

$y=-4x+22$

מה הצעד הראשון?

נקודת ההשקה: $f(4)$

Voir la réponse et le corrigé

לישר צריך נקודה ושיפוע. הנקודה באה מ- $f$ .

מציבים $f'(4)$ במקום $y_0$

Voir la réponse et le corrigé

$f'(4)$ הוא שיפוע, לא גובה.

\begin{aligned}f(4) &= \frac{12}{2} \\ &= 6 \ \Rightarrow \ (4,\,6)\end{aligned}

נקודת ההשקה

איך גוזרים?

כלל המנה: $\frac{1 \cdot \sqrt{x}-(x+8) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x}$

Voir la réponse et le corrigé

נגזרת המונה כפול המכנה, פחות המונה כפול נגזרת המכנה, חלקי ריבוע המכנה.

$\frac{1}{\frac{1}{2\sqrt{x}}}=2\sqrt{x}$

Voir la réponse et le corrigé

מנת הנגזרות אינה נגזרת המנה.

\begin{aligned}f'(4) &= \frac{2-\frac{12}{4}}{4} \\ &= -\frac{1}{4}\end{aligned}

השיפוע: מציבים בלי לפשט

ומה עכשיו?

$y-6=-\frac{1}{4}(x-4)$

Voir la réponse et le corrigé

שיפוע ונקודה בנוסחת הישר.

Voir la réponse et le corrigé

הגובה נכתב במקום המספר החופשי. הישר הזה לא עובר ב- $(4,6)$ .

\begin{aligned}y &= -\frac{1}{4}x+1+6 \\ &= -\frac{1}{4}x+7\end{aligned}

משוואת המשיק

Voir la réponse et le corrigé

$y=-\frac{1}{4}x+7$ . בדיקה: ב- $x=4$ הישר נותן $-1+7=6$ ✓. « $y=-4x+22$ » הפך את השיפוע, ו« $y=\frac{1}{4}x+5$ » הפך את סדר החיסור בכלל המנה.

Faire l'activité sur elev

באיזה $x$ המשיק לגרף הזה אופקי?

Voir la réponse et le corrigé

מפשטים: $f'(x)=\frac{2x-(x+8)}{2x\sqrt{x}}=\frac{x-8}{2x\sqrt{x}}$ . המונה מתאפס ב- $x=8$ , ושם הנגזרת עוברת ממינוס לפלוס: מינימום.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — משוואה עם שורש, ופתרון שנפסל

Activité interactive

נתונה $f(x)=5\sqrt{x^2+36}-4x$ . א. מהו תחום ההגדרה? ב. מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה. ג. מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה $x=0$ .

f(x)=5\sqrt{x^2+36}-4x

לחצו «להתחיל». בסעיף ב מחכה פתרון שצריך לפסול.

א.

x^2+36>0 \ \Rightarrow \ \text{כל } x

אין קצה לתחום.

ב. נגזרת

f'(x)=\frac{5x}{\sqrt{x^2+36}}-4

נגזרת הפנימית $2x$ , וה- $2$ מצטמצם.

ב. מבודדים

5x=4\sqrt{x^2+36}

משווים לאפס וכופלים במכנה.

ב. בריבוע

\begin{aligned}25x^2 &= 16x^2+576 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 64 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 8\end{aligned}

שני פתרונות למשוואה שבריבוע.

ב. בדיקה

\begin{aligned}x &= 8: \ 40 \\ &= 4 \cdot 10 \ \checkmark \qquad x \\ &= -8: \ -40 \neq 40\end{aligned}

$x=-8$ נפסל.

ב. סוג

\begin{aligned}f'(0) &= -4<0 \qquad f'(8) \\ &= 0 \qquad f'(10) \\ &= \tfrac{50}{\sqrt{136}}-4>0\end{aligned}

ממינוס לפלוס.

ב. מסקנה

\begin{aligned}f(8) &= 50-32 \\ &= 18 \ \Rightarrow \ \min (8,\,18)\end{aligned}

הגובה מ- $f$ .

ג.

\begin{aligned}f(0) &= 30 \\ \quad f'(0) &= -4 \ \Rightarrow \ y \\ &= -4x+30\end{aligned}

כאן $x_0=0$ , ולכן הגובה הוא המספר החופשי.

בלי הבדיקה היו יוצאות שתי נקודות קיצון. אבל ב- $x=-8$ הנגזרת היא $-\frac{40}{10}-4=-8$ , רחוק מאפס.

Faire l'activité sur elev

למה המינימום $(8,\,18)$ הוא מוחלט?

Voir la réponse et le corrigé

הוא הנקודה החשודה היחידה, והתחום בלי קצוות. הפונקציה יורדת לפניו ועולה אחריו, ולכן כל ערך אחר גדול מ- $18$ .

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — פרמטרים

Activité interactive

שני פרמטרים משני תנאים

נתונה $f(x)=\sqrt{ax+b}$ , ו- $a$ , $b$ פרמטרים. ידוע ש- $f(0)=2$ , ושיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה $x=0$ הוא $\frac{1}{2}$ . מצאו את $a$ ואת $b$ .

$a=2 ,\ b=4$

$a=1 ,\ b=4$

$a=4 ,\ b=2$

$a=2 ,\ b=2$

מה אומר $f(0)=2$ ?

$\sqrt{b}=2$ , ולכן $b=4$

Voir la réponse et le corrigé

מציבים $x=0$ בפונקציה ומעלים בריבוע.

$b=2$

Voir la réponse et le corrigé

שכחתם להעלות בריבוע: $\sqrt{2} \neq 2$ .

\begin{aligned}\sqrt{b} &= 2 \ \Rightarrow \ b \\ &= 4\end{aligned}

התנאי הראשון, על $f$

מהי הנגזרת?

$f'(x)=\frac{a}{2\sqrt{ax+b}}$

Voir la réponse et le corrigé

נגזרת הפנימית $a$ במונה.

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{ax+b}}$

Voir la réponse et le corrigé

שכחתם את נגזרת הפנימית, ואז $a$ נעלם מהתנאי.

\begin{aligned}f'(0) &= \frac{a}{2\sqrt{4}} \\ &= \frac{a}{4}\end{aligned}

מציבים $x=0$ ו- $b=4$

איך מסיימים?

$\frac{a}{4}=\frac{1}{2}$ , ולכן $a=2$

Voir la réponse et le corrigé

התנאי השני, על $f'$ .

$\frac{a}{4}=2$ , ולכן $a=8$

Voir la réponse et le corrigé

$2$ הוא הגובה, לא השיפוע.

\begin{aligned}a &= 2 \\ \quad b &= 4 \ \Rightarrow \ f(x) \\ &= \sqrt{2x+4}\end{aligned}

בדיקה: $f(0)=2$ ✓, $f'(0)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ ✓

Voir la réponse et le corrigé

$a=2$ , $b=4$ . « $a=1$ » שכח את נגזרת הפנימית. « $b=2$ » לא העלה בריבוע. תנאי על גובה הולך ל- $f$ , תנאי על שיפוע הולך ל- $f'$ .

Faire l'activité sur elev

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה שמצאנו?

Voir la réponse et le corrigé

$2x+4 \geq 0$ , כלומר $x \geq -2$ . הגרף מתחיל ב- $(-2,\,0)$ , עובר ב- $(0,\,2)$ ועולה.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — חקירה שבה הגרף נוגע בציר

Activité interactive

נתונה $f(x)=x-2\sqrt{x-1}$ . א. מצאו את תחום ההגדרה ואת נקודות החיתוך עם הצירים. ב. מצאו את נקודות הקיצון וקבעו את סוגן. ג. שרטטו סקיצה.

f(x)=x-2\sqrt{x-1}

לחצו «להתחיל». שימו לב לציר ה- $y$ .

א. תחום

x \geq 1

ולכן $x=0$ מחוץ לתחום: אין חיתוך עם ציר ה- $y$ .

א. ציר x

\begin{aligned}x &= 2\sqrt{x-1} \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 4x-4 \ \Rightarrow \ (x-2)^2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

בדיקה: $2=2\sqrt{1}$ ✓. הנקודה $(2,0)$ .

ב. נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= 1-\frac{2}{2\sqrt{x-1}} \\ &= 1-\frac{1}{\sqrt{x-1}} \ \\ \quad x>1\end{aligned}

הנגזרת מוגדרת רק ל- $x>1$ .

ב. חשודות

\begin{aligned}\sqrt{x-1} &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

וגם הקצה $x=1$ .

ב. סימנים

\begin{aligned}f'(1.25) &= 1-2<0 \qquad f'(5) \\ &= 1-\tfrac{1}{2}>0\end{aligned}

יורדת ב- $1<x<2$ , עולה ב- $x>2$ .

ב. מסקנה

\min (2,\,0) \qquad \max (1,\,1) \ \text{קצה}

$f(1)=1$ . מהקצה הפונקציה יורדת: מקסימום מקומי.

ג.

(1,\,1) \searrow (2,\,0) \nearrow

הסקיצה מתחילה ב- $(1,1)$ , יורדת עד $(2,0)$ ועולה.

המינימום $(2,0)$ נמצא על ציר ה- $x$ , ולכן הגרף נוגע בציר ולא חותך אותו. זה מה שסיפר הפתרון הכפול $(x-2)^2=0$ .

Faire l'activité sur elev

האם יש לפונקציה ערך שלילי?

Voir la réponse et le corrigé

לא. המינימום המוחלט הוא $0$ , ב- $x=2$ . לכן $f(x) \geq 0$ בכל התחום, כלומר $x \geq 2\sqrt{x-1}$ לכל $x \geq 1$ .

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

Exercices

Exercice 1

נתונה $f(x)=x\sqrt{x+12}$ . מצאו את נקודת המינימום של הפונקציה ואת שיעור ה- $x$ של נקודת המקסימום בקצה התחום.

מינימום: $($ ____ $,$ ____ $)$ ; מקסימום בקצה: $x=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מינימום: $($ -8 $,$ -16 $)$ ; מקסימום בקצה: $x=$ -12

Corrigé :

x \geq -12

Domaine de définition

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x+12)+x}{2\sqrt{x+12}} \\ &= \frac{3x+24}{2\sqrt{x+12}}\end{aligned}

כלל המכפלה ומכנה משותף

\begin{aligned}x &= -8 \ \\ \ \ f(-8) &= -8 \cdot 2 \\ &= -16\end{aligned}

חשודה וגובה

-12<x<-8: \ f'<0 \qquad x>-8: \ f'>0

ממינוס לפלוס

מינימום $(-8,\,-16)$ , ומקסימום מקומי בקצה $(-12,\,0)$ . מהקצה הפונקציה יורדת, ולכן הקצה הוא מקסימום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה $f(x)=\frac{x+3}{\sqrt{x}}$ . מהי משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה $x=1$ ?

$y=x+3$
$y=-x+4$
$y=-x+5$
$y=-x+1$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $y=-x+5$

Corrigé :

f(1)=4

נקודת ההשקה $(1,\,4)$

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\sqrt{x}-\frac{x+3}{2\sqrt{x}}}{x} \ \Rightarrow \ f'(1) \\ &= 1-2 \\ &= -1\end{aligned}

כלל המנה

\begin{aligned}y-4 &= -(x-1) \ \Rightarrow \ y \\ &= -x+5\end{aligned}

המשיק

הנכונה: $y=-x+5$ . « $y=-x+4$ » כתב את הגובה במקום המספר החופשי. « $y=x+3$ » הפך את סדר החיסור בכלל המנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה $f(x)=5\sqrt{x^2+81}-4x$ . מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה.

$x=$ ____ , $y=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $x=$ 12 , $y=$ 27

Corrigé :

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{5x}{\sqrt{x^2+81}}-4 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ 5x \\ &= 4\sqrt{x^2+81}\end{aligned}

מבודדים

\begin{aligned}25x^2 &= 16x^2+1296 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 144 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 12\end{aligned}

בריבוע

\begin{aligned}x &= 12: \ 60 \\ &= 4 \cdot 15 \ \checkmark \qquad x \\ &= -12: \ -60 \neq 60\end{aligned}

בדיקה

\begin{aligned}f(12) &= 75-48 \\ &= 27\end{aligned}

הגובה; ממינוס לפלוס: מינימום

מינימום $(12,\,27)$ . $x=-12$ פותר רק את המשוואה שבריבוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה $f(x)=\sqrt{ax+b}$ , ו- $a$ , $b$ פרמטרים. ידוע ש- $f(0)=3$ , ושיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה $x=0$ הוא $\frac{1}{2}$ . מצאו את $a$ ואת $b$ .

$a=$ ____ , $b=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $a=$ 3 , $b=$ 9

Corrigé :

\begin{aligned}\sqrt{b} &= 3 \ \Rightarrow \ b \\ &= 9\end{aligned}

תנאי על $f$

\begin{aligned}f'(0) &= \frac{a}{2\sqrt{9}} \\ &= \frac{a}{6} \\ &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ a \\ &= 3\end{aligned}

תנאי על $f'$

$f(x)=\sqrt{3x+9}$ . מי שכותב $b=3$ לא העלה בריבוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה $f(x)=x-4\sqrt{x-3}$ . מהו הערך הקטן ביותר של הפונקציה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1

Corrigé :

x \geq 3

Domaine de définition

\begin{aligned}f'(x) &= 1-\frac{2}{\sqrt{x-3}} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{x-3} \\ &= 2 \ \Rightarrow \ x \\ &= 7\end{aligned}

חשודה

\begin{aligned}f'(4) &= -1<0 \qquad f'(12) \\ &= \tfrac{1}{3}>0\end{aligned}

ממינוס לפלוס

\begin{aligned}f(7) &= 7-8 \\ &= -1\end{aligned}

הגובה

הערך הקטן ביותר $-1$ , ב- $x=7$ . הקצה $(3,\,3)$ הוא מקסימום מקומי, לא מינימום: מהקצה הפונקציה יורדת.

Vérifier la réponse sur elev

1 — חקירה, וקיצון בקצה התחום

2 — משיק לגרף של מנה

3 — משוואה עם שורש, ופתרון שנפסל

4 — פרמטרים

5 — חקירה שבה הגרף נוגע בציר

Exercices

La suite se pratique sur elev