Étude complète d'une fonction racine

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

חקירה של פונקציית שורש היא אותה חקירה כמו של פולינום. דבר אחד חדש: לתחום יש קצה. בקצה הנגזרת לא מוגדרת, אבל לפונקציה יש ערך, ולכן יכולה להיות שם נקודת קיצון.

y = 4√x − x
(0,0)(4,4)(16,0)024681012141618-2-112345xy
הגרף מתחיל ב-(0,0)(0,0), עולה עד (4,4)(4,4), יורד, וחותך את ציר ה-xx ב-(16,0)(16,0). אחרי 1616 הוא ממשיך לרדת.

לפי הגרף, לפני כל חישוב: מהו הערך הגדול ביותר של הפונקציה? והאם (0,0)(0,0) היא נקודת קיצון?

Voir la réponse et le corrigé

הערך הגדול ביותר הוא 44, ב-x=4x=4. הנקודה (0,0)(0,0) נמוכה מהנקודות הקרובות אליה בתחום, כי הגרף מתחיל שם ומיד עולה. לכן זו נקודת מינימום בקצה התחום. היא מינימום מקומי בלבד: אחרי x=16x=16 יש ערכים שליליים.

11

תחום הגדרה

22

זוגיות, אם התחום סימטרי

33

חיתוך עם הצירים

44

נגזרת, ואיפה היא מוגדרת

55

נקודות חשודות: f′(x)=0f'(x)=0, וגם קצוות התחום

66

עלייה וירידה, וסוג כל נקודה: מקומית או מוחלטת

77

סקיצה

קיצון בקצה התחום

בקצה התחום משווים את ff לערכים שלידו בתוך התחום. אם מהקצה הפונקציה עולה, הקצה הוא מינימום. אם היא יורדת, הקצה הוא מקסימום. את הכיוון קוראים מהסימן של f′f' בקטע הסמוך לקצה.

y = x√(12 − x)
(0,0)(8,16)(12,0)-3-2-1012345678910111213-9-6-3369121518xy
מקסימום ב-(8,16)(8,16). הנקודה (12,0)(12,0) היא קצה התחום: הגרף מגיע אליה בירידה ונעצר. משמאל הגרף יורד מתחת לציר ה-xx.

ב-f(x)=x12−xf(x)=x\sqrt{12-x} התחום הוא x≤12x \leq 12. הנגזרת f′(x)=24−3x212−xf'(x)=\frac{24-3x}{2\sqrt{12-x}} מתאפסת ב-x=8x=8. המכנה חיובי, ולכן הסימן של f′f' הוא הסימן של 24−3x24-3x: חיובי ב-x<8x<8, שלילי ב-8<x<128<x<12. מקסימום (8,16)(8,16), מוחלט. בקצה (12,0)(12,0) הפונקציה מגיעה בירידה: מינימום קצה, מקומי, כי f(−3)=−315<0f(-3)=-3\sqrt{15}<0.

מה סוג הנקודה (5,0)(5,0) בגרף של f(x)=x−5f(x)=\sqrt{x-5}?

Voir la réponse et le corrigé

התחום x≥5x \geq 5, ו-f′(x)=12x−5>0f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-5}}>0 לכל x>5x>5: הפונקציה עולה. לכן (5,0)(5,0) היא מינימום בקצה התחום, והוא מוחלט, כי שורש אינו שלילי.

כשהתחום הוא כל המספרים: טבלת סימנים

זוגיות

f(x)=9−x2f(x)=\sqrt{9-x^2}

זוגית: f(−x)=9−(−x)2=f(x)f(-x)=\sqrt{9-(-x)^2}=f(x). הגרף סימטרי לציר ה-yy

f(x)=xx2+4f(x)=x\sqrt{x^2+4}

אי-זוגית: f(−x)=−xx2+4=−f(x)f(-x)=-x\sqrt{x^2+4}=-f(x)

f(x)=x+1f(x)=\sqrt{x+1}

לא זוגית ולא אי-זוגית: התחום x≥−1x \geq -1 לא סימטרי

האם f(x)=x2−x2+5f(x)=x^2-\sqrt{x^2+5} זוגית?

Voir la réponse et le corrigé

כן. התחום הוא כל xx, ו-f(−x)=(−x)2−(−x)2+5=f(x)f(-x)=(-x)^2-\sqrt{(-x)^2+5}=f(x). בכל מקום ש-xx מופיע, הוא מופיע בריבוע.

הגרף של ff והגרף של f′f'

הגרף של f ושל f′
ff′024681012141618-2-1012345xy
f(x)=4√x−xf(x)=4\surd x-x והנגזרת f′(x)=2√x−1f'(x)=\frac{2}{\surd x}-1 על אותם צירים. f′f' מעל הציר ב-0<x<40<x<4, שם ff עולה. f′f' חותכת את הציר ב-x=4x=4, בדיוק מתחת למקסימום של ff.

הקשר זהה לזה של פולינום: איפה f′>0f'>0, ff עולה; איפה f′<0f'<0, ff יורדת; איפה f′f' חותכת את הציר ועוברת מסימן לסימן, יש ל-ff קיצון. ליד הקצה x=0x=0 הגרף של f′f' עולה מאוד: שם ff עולה תלול מאוד.

פרמטרים

פרמטר מנקודת קיצון

נתונה f(x)=ax−xf(x)=a\sqrt{x}-x, ו-aa פרמטר. לפונקציה נקודת קיצון ב-x=9x=9. מצאו את aa ואת סוג הנקודה.

f′(x)=a2x−1f'(x)=\frac{a}{2\sqrt{x}}-1

גוזרים עם הפרמטר

f′(9)=a6−1=0 ⇒ a=6\begin{aligned}f'(9) &= \frac{a}{6}-1 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 6\end{aligned}

בנקודת קיצון פנימית הנגזרת מתאפסת

f′(4)=12>0f′(16)=−14<0\begin{aligned}f'(4) &= \tfrac{1}{2}>0 \qquad f'(16) \\ &= -\tfrac{1}{4}<0\end{aligned}

מ-++ ל-−-

f(9)=18−9=9 ⇒ max⁡(9, 9)\begin{aligned}f(9) &= 18-9 \\ &= 9 \ \Rightarrow \ \max (9,\,9)\end{aligned}

הגובה מ-ff

נקודה חשודה שמצאתם, בדקו שהיא בתוך התחום. ובסוף החקירה, עברו על כל קצה של התחום ושאלו: עולים ממנו או יורדים ממנו?

שלוש טעויות בחקירה של פונקציית שורש.

חשודות: f′(x)=0\text{חשודות}: \ f'(x)=0
חשודות: f′(x)=0  קצוות\begin{aligned}\text{חשודות}: \ f'(x) &= 0 \ \\ \ \text{קצוות}\end{aligned}

בקצה התחום הנגזרת לא מתאפסת, ובכל זאת יש שם קיצון.

f′(4)=0 ⇒ (4, 0)f'(4)=0 \ \Rightarrow \ (4,\,0)
f(4)=4 ⇒ (4, 4)f(4)=4 \ \Rightarrow \ (4,\,4)

את שיעור ה-yy מחשבים ב-ff, לא ב-f′f'.

x12−x : min⁡(12,0) מוחלטx \sqrt{12-x} \ : \ \min (12,0) \ \text{מוחלט}
min⁡(12,0) מקומי\min (12,0) \ \text{מקומי}

משמאל יש ערכים שליליים: f(−3)<0f(-3)<0. מוחלט דורש להשוות לכל התחום.

Exercices

Exercice 1

נתונה f(x)=2x−xf(x)=2\sqrt{x}-x. מצאו את נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה.

x=x= ____ , y=y= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=x= 1 , y=y= 1

Corrigé :

f′(x)=1x−1f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-1

הנגזרת

x=1 ⇒ x=1\begin{aligned}\sqrt{x} &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

משווים לאפס

f(1)=2−1=1\begin{aligned}f(1) &= 2-1 \\ &= 1\end{aligned}

הגובה מ-ff

f′(14)=1>0  f′(4)=−12<0\begin{aligned}f'(\tfrac{1}{4}) &= 1>0 \\ \ \ f'(4) &= -\tfrac{1}{2}<0\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

מקסימום (1, 1)(1,\,1). מי ששוכח את ה-22 של (x)′(\sqrt{x})' כותב 2x−1\frac{2}{\sqrt{x}}-1 ומקבל x=4x=4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=2x−xf(x)=2\sqrt{x}-x. מה נכון לגבי הנקודה (0,0)(0,0)?

  1. אינה על הגרף
  2. נקודת מקסימום בקצה התחום
  3. אינה נקודת קיצון, כי f′(0)f'(0) לא מוגדרת
  4. נקודת מינימום בקצה התחום
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D נקודת מינימום בקצה התחום

Corrigé :

x≥0x \geq 0

x=0x=0 הוא קצה התחום

0<x<1: f′>00<x<1: \ f'>0

מהקצה הפונקציה עולה

הנכונה: מינימום בקצה. בקצה הנגזרת לא מוגדרת, ובכל זאת יש קיצון: משווים את f(0)=0f(0)=0 לערכים הסמוכים, שכולם גדולים ממנו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה f(x)=x3−xf(x)=x\sqrt{3-x}. באיזה תחום הפונקציה עולה?

  1. x<3x<3
  2. 2<x<32<x<3
  3. 0<x<20<x<2
  4. x<2x<2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D x<2x<2

Corrigé :

f′(x)=3−x−x23−x=6−3x23−x\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{3-x}-\frac{x}{2\sqrt{3-x}} \\ &= \frac{6-3x}{2\sqrt{3-x}}\end{aligned}

כלל המכפלה ומכנה משותף

6−3x>0 ⇒ x<26-3x>0 \ \Rightarrow \ x<2

המכנה חיובי

הנכונה: x<2x<2. התחום הוא x≤3x \leq 3, והוא כולל גם מספרים שליליים: 0<x<20<x<2 שוכח אותם. 2<x<32<x<3 הוא תחום הירידה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה f(x)=8−2x+xf(x)=\sqrt{8-2x}+x. השלימו.

מקסימום: (( ____ ,, ____ )) ; בקצה התחום: f=f= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מקסימום: (( 3.5 ,, 4.5 )) ; בקצה התחום: f=f= 4

Corrigé :

8−2x≥0 ⇒ x≤48-2x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 4

Domaine de définition

f′(x)=−18−2x+1=0 ⇒ 8−2x=1 ⇒ x=3.5\begin{aligned}f'(x) &= \frac{-1}{\sqrt{8-2x}}+1 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{8-2x} \\ &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3.5\end{aligned}

נקודה חשודה

f(3.5)=1+3.5=4.5f(4)=0+4=4\begin{aligned}f(3.5) &= 1+3.5 \\ &= 4.5 \\ \quad f(4) &= 0+4 \\ &= 4\end{aligned}

גבהים

f′(0)=1−18>0  f′(3.9)=1−10.2<0\begin{aligned}f'(0) &= 1-\tfrac{1}{\sqrt{8}}>0 \\ \ \ f'(3.9) &= 1-\tfrac{1}{\sqrt{0.2}}<0\end{aligned}

מ-++ ל-−-

מקסימום (3.5, 4.5)(3.5,\,4.5) ומינימום בקצה (4, 4)(4,\,4). בין שתי הנקודות הפונקציה יורדת רק בחצי יחידה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

הוכיחו או הפריכו: ל-f(x)=x2+4f(x)=\sqrt{x^2+4} יש מינימום מוחלט בנקודה (0, 2)(0,\,2).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f′(x)=xx2+4f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}

הנגזרת

x<0: f′<0x>0: f′>0x<0: \ f'<0 \qquad x>0: \ f'>0

יורדת ואז עולה

f(0)=2f(0)=2

הגובה

הטענה נכונה. זו נקודת הקיצון היחידה, ובכל מקום אחר x2+4>4x^2+4>4, ולכן f(x)>2f(x)>2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה f(x)=ax−2xf(x)=a\sqrt{x}-2x, ו-aa פרמטר. לפונקציה נקודת קיצון ב-x=4x=4. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

f′(x)=a2x−2f'(x)=\frac{a}{2\sqrt{x}}-2

גוזרים

f′(4)=a4−2=0 ⇒ a=8\begin{aligned}f'(4) &= \frac{a}{4}-2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 8\end{aligned}

הנגזרת מתאפסת בקיצון פנימי

התנאי הוא על f′f', לא על ff. מי שכותב f(4)=0f(4)=0 מקבל a=4a=4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מיינו את הפונקציות: זוגיות, ולא זוגיות.

  • זוגית
  • לא זוגית
  • 16−x2\sqrt{16-x^2}
  • x2+1\sqrt{x^2+1}
  • x2+2x+2\sqrt{x^2+2x+2}
  • x+4\sqrt{x+4}
  • xx2+1x\sqrt{x^2+1}
  • x2+x2+5x^2+\sqrt{x^2+5}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 16−x2\sqrt{16-x^2} — זוגית · x2+1\sqrt{x^2+1} — זוגית · x2+x2+5x^2+\sqrt{x^2+5} — זוגית · x+4\sqrt{x+4} — לא זוגית · xx2+1x\sqrt{x^2+1} — לא זוגית · x2+2x+2\sqrt{x^2+2x+2} — לא זוגית

Corrigé :

f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)

זוגית: xx מופיע רק בריבוע

x+4 : x≥−4\sqrt{x+4} \ : \ x \geq -4

התחום לא סימטרי

(−x)x2+1=−f(x)(-x)\sqrt{x^2+1}=-f(x)

אי-זוגית, לא זוגית

(−x)2+2(−x)+2=x2−2x+2(-x)^2+2(-x)+2=x^2-2x+2

המחובר 2x2x מחליף סימן

בודקים f(−x)f(-x). x2+2x+2\sqrt{x^2+2x+2} נראית זוגית, אבל המחובר 2x2x מחליף סימן: f(1)=5f(1)=\sqrt{5} ו-f(−1)=1f(-1)=1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הגרף של f′
(16,0)051015202530-101234f′(x)x

בשרטוט הגרף של הנגזרת f′f' של הפונקציה f(x)=8x−xf(x)=8\sqrt{x}-x, בתחום x>0x>0. מה נכון לגבי ff?

  1. ל-ff מקסימום ב-x=1x=1
  2. ל-ff מקסימום ב-x=16x=16
  3. ל-ff מינימום ב-x=16x=16
  4. ff יורדת לכל x>0x>0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B ל-ff מקסימום ב-x=16x=16

Corrigé :

f′(x)=4x−1f'(x)=\frac{4}{\sqrt{x}}-1

הנגזרת בשרטוט

0<x<16: f′>0x>16: f′<00<x<16: \ f'>0 \qquad x>16: \ f'<0

מעל הציר, ואז מתחת

הנכונה: מקסימום ב-x=16x=16. הגרף של f′f' יורד כל הזמן, אבל ff עצמה עולה כל עוד f′f' מעל הציר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה f(x)=x27−xf(x)=x\sqrt{27-x}. מהו הערך הגדול ביותר של הפונקציה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 54

Corrigé :

f′(x)=2(27−x)−x227−x=54−3x227−x\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(27-x)-x}{2\sqrt{27-x}} \\ &= \frac{54-3x}{2\sqrt{27-x}}\end{aligned}

כלל המכפלה ומכנה משותף

x=18 ;  x<18: f′>0  18<x<27: f′<0\begin{aligned}x &= 18 \ ;\ \ x<18: \ f'>0 \\ \ \ 18<x<27: \ f'<0\end{aligned}

מקסימום

f(18)=18⋅3=54\begin{aligned}f(18) &= 18 \cdot 3 \\ &= 54\end{aligned}

הגובה

מקסימום מוחלט, כי זו הנקודה החשודה הפנימית היחידה והפונקציה עולה לפניה ויורדת אחריה. הקצה (27, 0)(27,\,0) הוא מינימום מקומי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

y = √(9 − x²)
(−3,0)(0,3)(3,0)-4-3-2-101234123xy

בשרטוט הגרף של f(x)=9−x2f(x)=\sqrt{9-x^2}. כמה נקודות קיצון יש לפונקציה?

  1. 22
  2. 33
  3. 11
  4. 00
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 33

Corrigé :

−3≤x≤3-3 \leq x \leq 3

Domaine de définition

f′(x)=−x9−x2=0 ⇒ x=0\begin{aligned}f'(x) &= \frac{-x}{\sqrt{9-x^2}} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0\end{aligned}

מקסימום (0, 3)(0,\,3)

(−3, 0), (3, 0)(-3,\,0) ,\ (3,\,0)

שני קצוות: מינימום בכל אחד

שלוש. מי שעונה 11 ספר רק את אפסי הנגזרת. שני הקצוות הם נקודות מינימום.

Vérifier la réponse sur elev

חזרה — שאלה 5

Exercice 11

נתונה הפונקציה f(x)=3x−12f(x)=\sqrt{3x-12}. א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

תחום ההגדרה: x≥x \geq ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : תחום ההגדרה: x≥x \geq 4

Corrigé :

3x−12≥03x-12 \geq 0

מה שמתחת לשורש אי-שלילי

x≥4x \geq 4

מחלקים ב-33

תחום ההגדרה: x≥4x \geq 4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

נתונה הפונקציה f(x)=3x−12f(x)=\sqrt{3x-12}, שתחום הגדרתה x≥4x \geq 4. א. (2) מהן נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים?

  1. (4, 0)(4,\,0) ו-(0, −12)(0,\,-12)
  2. (4, 0)(4,\,0) בלבד
  3. (−4, 0)(-4,\,0) בלבד
  4. (0, 4)(0,\,4) בלבד
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B (4, 0)(4,\,0) בלבד

Corrigé :

3x−12=0 ⇒ x=4\begin{aligned}\sqrt{3x-12} &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-xx: (4, 0)(4,\,0)

x=0∉{x≥4}x=0 \notin \{x \geq 4\}

אין חיתוך עם ציר ה-yy

הנכונה: (4, 0)(4,\,0) בלבד. f(0)=−12f(0)=\sqrt{-12} לא מוגדר, ולכן הגרף לא מגיע לציר ה-yy. (0, −12)(0,\,-12) שכח את השורש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

נתונה הפונקציה f(x)=3x−12f(x)=\sqrt{3x-12}, שתחום הגדרתה x≥4x \geq 4. א. (3) הוכיחו או הפריכו: f′(x)=323x−12f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x-12}}, ולכן הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f′(x)=323x−12f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x-12}}

הנגזרת הפנימית היא 33

x>4: 3x−12>0 ⇒ f′(x)>0x>4: \ \sqrt{3x-12}>0 \ \Rightarrow \ f'(x)>0

מונה חיובי ומכנה חיובי

הטענה נכונה. הנגזרת חיובית לכל x>4x>4, ולכן ff עולה מהקצה x=4x=4 והלאה: בכל תחום הגדרתה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

נתונה הפונקציה f(x)=3x−12f(x)=\sqrt{3x-12}. א. (4) איזה תיאור מתאים לסקיצה של גרף הפונקציה?

  1. מתחיל בנקודה (0, 4)(0,\,4) ועולה ימינה
  2. מתחיל בנקודה (4, 0)(4,\,0) ועולה ימינה, ונעשה פחות תלול
  3. מתחיל בנקודה (4, 0)(4,\,0) ועולה שמאלה
  4. פרבולה שקודקודה בנקודה (4, 0)(4,\,0)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B מתחיל בנקודה (4, 0)(4,\,0) ועולה ימינה, ונעשה פחות תלול

Corrigé :

x≥4 f(4)=0\begin{aligned}x \geq 4 \\ \ f(4) &= 0\end{aligned}

הגרף מתחיל על ציר ה-xx ב-(4, 0)(4,\,0) וממשיך ימינה

f′(x)=323x−12f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x-12}}

חיובית, והולכת וקטנה כש-xx גדל

הגרף הוא «חצי פרבולה שוכבת»: מתחיל ב-(4, 0)(4,\,0), עולה ימינה, והשיפוע שלו קטן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

נתונה הפונקציה f(x)=3x−12f(x)=\sqrt{3x-12}. ב. הפונקציה gg מקיימת g(x)=f(x+3)g(x)=f(x+3). מצאו את תחום ההגדרה של g(x)g(x).

תחום ההגדרה של gg: x≥x \geq ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : תחום ההגדרה של gg: x≥x \geq 1

Corrigé :

g(x)=3(x+3)−12=3x−3\begin{aligned}g(x) &= \sqrt{3(x+3)-12} \\ &= \sqrt{3x-3}\end{aligned}

מציבים x+3x+3 במקום xx

3x−3≥0 ⇒ x≥13x-3 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq 1

מה שמתחת לשורש אי-שלילי

תחום ההגדרה של gg: x≥1x \geq 1. הגרף של gg הוא הגרף של ff מוזז 33 יחידות שמאלה, ולכן גם הקצה זז מ-44 ל-11.

Vérifier la réponse sur elev

חזרה — שאלה 7

Exercice 16

נתונה הפונקציה f(x)=x2−6x+8f(x)=\sqrt{x^2-6x+8}. א. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?

  1. כל xx
  2. x≥4x \geq 4
  3. x≤2x \leq 2 או x≥4x \geq 4
  4. 2≤x≤42 \leq x \leq 4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C x≤2x \leq 2 או x≥4x \geq 4

Corrigé :

x2−6x+8≥0x^2-6x+8 \geq 0

מה שמתחת לשורש אי-שלילי

(x−2)(x−4)≥0(x-2)(x-4) \geq 0

שורשים: x=2x=2 ו-x=4x=4

x≤2 או x≥4x \leq 2 \ \text{או} \ x \geq 4

פרבולה «שמחה»: אי-שלילית מחוץ לשורשים

הנכונה: x≤2x \leq 2 או x≥4x \geq 4. בין 22 ל-44 הביטוי שלילי: f(3)=−1f(3)=\sqrt{-1} לא מוגדר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

נתונה הפונקציה f(x)=x2−6x+8f(x)=\sqrt{x^2-6x+8}, שתחום הגדרתה x≤2x \leq 2 או x≥4x \geq 4. ב. מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

עם ציר ה-xx: x=x= ____ ו-x=x= ____ (מהקטן לגדול). עם ציר ה-yy: y=y= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : עם ציר ה-xx: x=x= 2 ו-x=x= 4 (מהקטן לגדול). עם ציר ה-yy: y=y= 2.83

Corrigé :

x2−6x+8=0 ⇒ x=2 x=4\begin{aligned}\sqrt{x^2-6x+8} &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \ x &= 4\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-xx: (2, 0)(2,\,0), (4, 0)(4,\,0)

f(0)=8≈2.83f(0)=\sqrt{8}\approx 2.83

x=0x=0 בתחום (0≤20 \leq 2): חיתוך עם ציר ה-yy

שלוש נקודות: (2, 0)(2,\,0), (4, 0)(4,\,0) ו-(0, 8)(0,\,\sqrt{8}).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

נתונה הפונקציה f(x)=x2−6x+8f(x)=\sqrt{x^2-6x+8}, שתחום הגדרתה x≤2x \leq 2 או x≥4x \geq 4. ג. מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה?

  1. יורדת ב-x<2x<2, עולה ב-x>4x>4
  2. יורדת ב-x<3x<3, עולה ב-x>3x>3
  3. עולה בכל תחום הגדרתה
  4. עולה ב-x<2x<2, יורדת ב-x>4x>4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A יורדת ב-x<2x<2, עולה ב-x>4x>4

Corrigé :

f′(x)=2x−62x2−6x+8=x−3x2−6x+8\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x-6}{2\sqrt{x^2-6x+8}} \\ &= \frac{x-3}{\sqrt{x^2-6x+8}}\end{aligned}

גוזרים

x<2: x−3<0 ⇒ f′(x)<0x<2: \ x-3<0 \ \Rightarrow \ f'(x)<0

יורדת

x>4: x−3>0 ⇒ f′(x)>0x>4: \ x-3>0 \ \Rightarrow \ f'(x)>0

עולה

הנכונה: יורדת ב-x<2x<2, עולה ב-x>4x>4. f′f' מתאפסת ב-x=3x=3, אבל 33 לא בתחום: אין שם נקודת קיצון, ו-«x<3x<3» כולל קטע שבו הפונקציה לא מוגדרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

נתונה הפונקציה f(x)=x2−6x+8f(x)=\sqrt{x^2-6x+8}, שתחום הגדרתה x≤2x \leq 2 או x≥4x \geq 4. ה. האם הישר y=x−3y=x-3 חותך את גרף הפונקציה?

  1. לא, כי הישר יורד והגרף עולה
  2. כן, בשתי נקודות
  3. כן, בנקודה (3, 0)(3,\,0)
  4. לא: המשוואה x2−6x+8=x−3\sqrt{x^2-6x+8}=x-3 מובילה ל-8=98=9
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D לא: המשוואה x2−6x+8=x−3\sqrt{x^2-6x+8}=x-3 מובילה ל-8=98=9

Corrigé :

x2−6x+8=x−3\sqrt{x^2-6x+8}=x-3

משווים את שתי הפונקציות

x2−6x+8=x2−6x+9x^2-6x+8=x^2-6x+9

מעלים בריבוע (צריך גם x≥3x \geq 3)

8=98=9

סתירה: אין פתרון

הנכונה: לא. בכל צד של התחום הגרף נשאר מעל הישר: ל-x≤2x \leq 2 הישר שלילי והשורש אי-שלילי, ול-x≥4x \geq 4 הגרף מתקרב לישר בלי לגעת בו. (3, 0)(3,\,0) לא על הגרף: 33 לא בתחום.

Vérifier la réponse sur elev

חזרה — שאלה 8

Exercice 20

נתונה הפונקציה f(x)=−4+10x−x2f(x)=-4+\sqrt{10x-x^2}. א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

____ ≤x≤\leq x \leq ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0 ≤x≤\leq x \leq 10

Corrigé :

10x−x2≥010x-x^2 \geq 0

מה שמתחת לשורש אי-שלילי

x(10−x)≥0x(10-x) \geq 0

שורשים: x=0x=0 ו-x=10x=10

0≤x≤100 \leq x \leq 10

פרבולה «עצובה»: אי-שלילית בין השורשים

תחום ההגדרה: 0≤x≤100 \leq x \leq 10, קטע סגור.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 21

נתונה הפונקציה f(x)=−4+10x−x2f(x)=-4+\sqrt{10x-x^2}, שתחום הגדרתה 0≤x≤100 \leq x \leq 10. ב. מהם שיעורי ה-xx של נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה-xx?

x=x= ____ ו-x=x= ____ (מהקטן לגדול)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=x= 2 ו-x=x= 8 (מהקטן לגדול)

Corrigé :

−4+10x−x2=0 ⇒ 10x−x2=4\begin{aligned}-4+\sqrt{10x-x^2} &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{10x-x^2} \\ &= 4\end{aligned}

מבודדים את השורש

10x−x2=16 ⇒ x2−10x+16=0\begin{aligned}10x-x^2 &= 16 \ \Rightarrow \ x^2-10x+16 \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בריבוע

(x−2)(x−8)=0 ⇒ x=2 x=8\begin{aligned}(x-2)(x-8) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \ x &= 8\end{aligned}

שניהם בתחום ✓

נקודות החיתוך: (2, 0)(2,\,0) ו-(8, 0)(8,\,0). בדיקה: 20−4=4\sqrt{20-4}=4 ✓.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 22

נתונה הפונקציה f(x)=−4+10x−x2f(x)=-4+\sqrt{10x-x^2}, שתחום הגדרתה 0≤x≤100 \leq x \leq 10. ג. מצאו את נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה.

(( ____ ,, ____ ))

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (( 5 ,, 1 ))

Corrigé :

f′(x)=10−2x210x−x2=5−x10x−x2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{10-2x}{2\sqrt{10x-x^2}} \\ &= \frac{5-x}{\sqrt{10x-x^2}}\end{aligned}

גוזרים

f′(x)=0 ⇒ x=5\begin{aligned}f'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

המונה מתאפס

f(5)=−4+25=1\begin{aligned}f(5) &= -4+\sqrt{25} \\ &= 1\end{aligned}

שיעור ה-yy

הנקודה (5, 1)(5,\,1). משמאל לה f′>0f'>0 ומימין f′<0f'<0: זו נקודת מקסימום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 23

נתונה הפונקציה f(x)=−4+10x−x2f(x)=-4+\sqrt{10x-x^2}, שתחום הגדרתה 0≤x≤100 \leq x \leq 10, ונקודת המקסימום שלה (5, 1)(5,\,1). ג. מה סוג הנקודות (0, −4)(0,\,-4) ו-(10, −4)(10,\,-4), בקצוות התחום?

  1. אינן נקודות קיצון, כי f′f' לא מתאפסת בהן
  2. שתיהן נקודות מינימום (בקצה התחום)
  3. שתיהן נקודות מקסימום (בקצה התחום)
  4. (0, −4)(0,\,-4) מינימום ו-(10, −4)(10,\,-4) מקסימום
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B שתיהן נקודות מינימום (בקצה התחום)

Corrigé :

f(0)=f(10)=−4\begin{aligned}f(0) &= f(10) \\ &= -4\end{aligned}

הערך בשני הקצוות

0<x<5: f′>00<x<5: \ f'>0

מהקצה x=0x=0 הפונקציה עולה: מינימום

5<x<10: f′<05<x<10: \ f'<0

אל הקצה x=10x=10 הפונקציה יורדת: מינימום

הנכונה: שתיהן מינימום. בקצה התחום לא בודקים f′=0f'=0: משווים לערכים שלידו בתוך התחום. כל ערכי ff גדולים מ-−4-4 או שווים לו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 24

נתונה הפונקציה f(x)=−4+10x−x2f(x)=-4+\sqrt{10x-x^2}, שתחום הגדרתה 0≤x≤100 \leq x \leq 10. ד. מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה?

  1. עולה ב-2<x<52<x<5, יורדת ב-5<x<85<x<8
  2. עולה ב-x<5x<5, יורדת ב-x>5x>5
  3. יורדת ב-0<x<50<x<5, עולה ב-5<x<105<x<10
  4. עולה ב-0<x<50<x<5, יורדת ב-5<x<105<x<10
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D עולה ב-0<x<50<x<5, יורדת ב-5<x<105<x<10

Corrigé :

f′(x)=5−x10x−x2f'(x)=\frac{5-x}{\sqrt{10x-x^2}}

המכנה חיובי בתוך התחום

0<x<5: 5−x>00<x<5: \ 5-x>0

עולה

5<x<10: 5−x<05<x<10: \ 5-x<0

יורדת

הנכונה: עולה ב-0<x<50<x<5, יורדת ב-5<x<105<x<10. «x<5x<5» שוכח שהפונקציה לא מוגדרת ב-x<0x<0. נקודות החיתוך 22 ו-88 לא משנות את הכיוון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 25

נתונה הפונקציה f(x)=−4+10x−x2f(x)=-4+\sqrt{10x-x^2}, שתחום הגדרתה 0≤x≤100 \leq x \leq 10. נקודות הקיצון שלה: (0, −4)(0,\,-4), (5, 1)(5,\,1) ו-(10, −4)(10,\,-4). נתונה הפונקציה g(x)=f(x)+cg(x)=f(x)+c (cc פרמטר), שתחום הגדרתה הוא תחום ההגדרה של ff. ו. מהם כל ערכי cc שבעבורם הפונקציה g(x)g(x) חיובית בכל תחום הגדרתה?

c>c> ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : c>c> 4

Corrigé :

min⁡f=−4\min f=-4

הערך הקטן ביותר של ff, בשני הקצוות

min⁡g=−4+c\min g=-4+c

gg היא ff מוזזת cc יחידות למעלה

−4+c>0 ⇒ c>4-4+c>0 \ \Rightarrow \ c>4

גם הנקודה הנמוכה ביותר מעל ציר ה-xx

c>4c>4. ב-c=4c=4 הפונקציה מתאפסת בקצוות, ואפס הוא לא חיובי.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe