Série 4 — avancé

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות מתקדמות: משוואה עם שורש שמסננת פתרון, מנה, משיק וצירים, פרמטר ממשיק, קיצון בקצה וקריאת הגרף של f′f'. כל שאלה משלבת שני רעיונות של הפרק.

שאלו בכל שאלה: מה ידוע לי על ff (גובה) ומה על f′f' (שיפוע)? ובכל פתרון שיצא מהעלאה בריבוע, בדיקה.

Exercices

Exercice 1

נתונה f(x)=2x2+12−xf(x)=2\sqrt{x^2+12}-x. מהו הערך הקטן ביותר של הפונקציה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

f′(x)=2xx2+12−1=0 ⇒ 2x=x2+12\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x}{\sqrt{x^2+12}}-1 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ 2x \\ &= \sqrt{x^2+12}\end{aligned}

מבודדים

4x2=x2+12 ⇒ x=±2\begin{aligned}4x^2 &= x^2+12 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}

בריבוע

x=2: 4=4 ✓x=−2: −4≠4\begin{aligned}x &= 2: \ 4 \\ &= 4 \ \checkmark \qquad x \\ &= -2: \ -4 \neq 4\end{aligned}

בדיקה

f(2)=8−2=6\begin{aligned}f(2) &= 8-2 \\ &= 6\end{aligned}

ממינוס לפלוס: מינימום

66, ב-x=2x=2. מי שלא פסל את x=−2x=-2 היה מחשב גם f(−2)=10f(-2)=10 ומתבלבל בין השניים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=x+16xf(x)=\frac{x+16}{\sqrt{x}}. מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה.

x=x= ____ , y=y= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=x= 16 , y=y= 8

Corrigé :

f′(x)=x−x+162xx=x−162xx\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\sqrt{x}-\frac{x+16}{2\sqrt{x}}}{x} \\ &= \frac{x-16}{2x\sqrt{x}}\end{aligned}

כלל המנה ומכנה משותף

x=16f(16)=324=8\begin{aligned}x &= 16 \\ \quad f(16) &= \frac{32}{4} \\ &= 8\end{aligned}

חשודה וגובה

f′(4)<0,  f′(25)>0f'(4)<0 ,\ \ f'(25)>0

מינימום

מינימום (16, 8)(16,\,8). מי שהופך את הסדר במונה מקבל 16−x2xx\frac{16-x}{2x\sqrt{x}}, ואז מסמן בטעות מקסימום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה f(x)=x2+16f(x)=\sqrt{x^2+16}. המשיק לגרף בנקודה שבה x=3x=3 חותך את ציר ה-yy. מצאו את שיעור ה-yy של נקודת החיתוך.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3.2

Corrigé :

f(3)=5f′(3)=35\begin{aligned}f(3) &= 5 \\ \quad f'(3) &= \frac{3}{5}\end{aligned}

נקודה ושיפוע

y−5=35(x−3) ⇒ y=35x+165\begin{aligned}y-5 &= \frac{3}{5}(x-3) \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{3}{5}x+\frac{16}{5}\end{aligned}

המשיק

165=3.2\frac{16}{5}=3.2. f(0)=4f(0)=4 הוא החיתוך של הגרף, והמשיק עובר מתחתיו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה f(x)=x2−4x+8f(x)=\sqrt{x^2-4x+8}. מהי נקודת המינימום של הפונקציה?

  1. (0, 22)(0,\,2\sqrt{2})
  2. (2, 4)(2,\,4)
  3. אין לפונקציה מינימום
  4. (2, 2)(2,\,2)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D (2, 2)(2,\,2)

Corrigé :

f′(x)=x−2x2−4x+8f'(x)=\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+8}}

הנגזרת

x=2 ;  f(2)=4=2\begin{aligned}x &= 2 \ ;\ \ f(2) \\ &= \sqrt{4} \\ &= 2\end{aligned}

חשודה וגובה

הנכונה: (2, 2)(2,\,2). «(2, 4)(2,\,4)» שכח לקחת שורש: x2−4x+8=4x^2-4x+8=4, אבל f(2)=4f(2)=\sqrt{4}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה f(x)=x+af(x)=\sqrt{x+a}, ו-aa פרמטר. המשיק לגרף בנקודה שבה x=1x=1 עובר בנקודה (−7, 0)(-7,\,0). מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f(1)=1+a=sf′(1)=12s\begin{aligned}f(1) &= \sqrt{1+a} \\ &= s \\ \quad f'(1) &= \frac{1}{2s}\end{aligned}

נקודה ושיפוע

0−s=12s(−7−1) ⇒ s2=4\begin{aligned}0-s &= \frac{1}{2s}(-7-1) \ \Rightarrow \ s^2 \\ &= 4\end{aligned}

מציבים את (−7,0)(-7,0) במשוואת המשיק

1+a=4 ⇒ a=3\begin{aligned}1+a &= 4 \ \Rightarrow \ a \\ &= 3\end{aligned}

s2=1+as^2=1+a

a=3a=3: f=x+3f=\sqrt{x+3}, והמשיק y=14x+74y=\frac{1}{4}x+\frac{7}{4} מתאפס ב-x=−7x=-7 ✓.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

הוכיחו או הפריכו: ל-f(x)=x−4f(x)=\sqrt{x-4} אין נקודות קיצון, כי f′(x)f'(x) אף פעם לא מתאפסת.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

x≥4f′(x)=12x−4>0\begin{aligned}x \geq 4 \\ \quad f'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{x-4}}>0\end{aligned}

עולה בכל פנים התחום

min⁡(4, 0) קצה\min (4,\,0) \ \text{קצה}

מהקצה הפונקציה עולה

הטענה לא נכונה. יש מינימום בקצה התחום, (4, 0)(4,\,0). נקודות חשודות הן גם קצוות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה f(x)=xx+27f(x)=x\sqrt{x+27}. מהו הערך הקטן ביותר של הפונקציה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -54

Corrigé :

f′(x)=2(x+27)+x2x+27=3x+542x+27\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x+27)+x}{2\sqrt{x+27}} \\ &= \frac{3x+54}{2\sqrt{x+27}}\end{aligned}

כלל המכפלה

x=−18 ;  f′<0 לפני f′>0 אחרי\begin{aligned}x &= -18 \ ;\ \ f'<0 \ \text{לפני} \\ \ f'>0 \ \text{אחרי}\end{aligned}

מינימום

f(−18)=−18⋅3=−54\begin{aligned}f(-18) &= -18 \cdot 3 \\ &= -54\end{aligned}

הגובה

מינימום מוחלט −54-54. הקצה (−27, 0)(-27,\,0) הוא מקסימום מקומי בלבד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הגרף של f′
(4,0)0246810121416-2-101234f′(x)x

בשרטוט הגרף של הנגזרת f′f' של הפונקציה f(x)=8x−2xf(x)=8\sqrt{x}-2x, בתחום x>0x>0. בנקודה שבה הגרף של f′f' חותך את ציר ה-xx, לפונקציה ff יש נקודת קיצון. מהו שיעור ה-yy שלה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

f′(x)=4x−2=0 ⇒ x=4\begin{aligned}f'(x) &= \frac{4}{\sqrt{x}}-2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

קוראים מהשרטוט, ובודקים

f(4)=16−8=8\begin{aligned}f(4) &= 16-8 \\ &= 8\end{aligned}

הגובה מ-ff, לא מ-f′f'

88. מהשרטוט רואים רק ש-x=4x=4. הגובה f′(4)=0f'(4)=0 הוא של הנגזרת; את הגובה של ff מקבלים רק מהצבה ב-ff.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

פותרים את המשוואה 2x+7=x+2\sqrt{2x+7}=x+2. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

2x+7=x2+4x+42x+7=x^2+4x+4
x2+2x−3=0x^2+2x-3=0
(x+3)(x−1)=0(x+3)(x-1)=0
x=1 x=−3\begin{aligned}x &= 1 \\ \ x &= -3\end{aligned}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=1, x=−3x=1 ,\ x=-3 → x=1(x=−3: 1≠−1)x=1 \qquad (x=-3: \ \sqrt{1} \neq -1)

Corrigé :

x=1: 9=3=1+2 ✓\begin{aligned}x &= 1: \ \sqrt{9} \\ &= 3 \\ &= 1+2 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

x=−3: 1=1 −3+2=−1\begin{aligned}x &= -3: \ \sqrt{1} \\ &= 1 \\ \ -3+2 &= -1\end{aligned}

נפסל

השורה האחרונה לא בדקה. אגף ימין x+2x+2 חייב להיות אי-שלילי, כי הוא שווה לשורש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה f(x)=6−2x+xf(x)=\sqrt{6-2x}+x. מהו הערך הגדול ביותר של הפונקציה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3.5

Corrigé :

x≤3x \leq 3

Domaine de définition

f′(x)=−16−2x+1=0 ⇒ 6−2x=1 ⇒ x=2.5\begin{aligned}f'(x) &= \frac{-1}{\sqrt{6-2x}}+1 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{6-2x} \\ &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2.5\end{aligned}

חשודה

f(2.5)=1+2.5=3.5f(3)=3\begin{aligned}f(2.5) &= 1+2.5 \\ &= 3.5 \\ \quad f(3) &= 3\end{aligned}

מקסימום, והקצה נמוך ממנו

3.53.5. הקצה x=3x=3 נותן 33: הוא מינימום מקומי, לא הערך הגדול ביותר.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe