Série 5 — vers le bagrout

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שלוש שאלות בנוסח הבגרות, כל אחת מחולקת לסעיפים כמו בשאלון: חקירה של מכפלה עם קיצון בקצה ומספר פתרונות, פרמטר ומשוואה עם שורש שמסננת פתרון, וחקירה של מנה. סעיפים של אותה שאלה חולקים את אותו פתיח.

כתבו כל תשובה כמו בבחינה: תחום, נגזרת מלאה, נקודות חשודות כולל קצוות, סימנים משני הצדדים, וגבהים מ-ff.

Exercices

Exercice 1

נתונה הפונקציה f(x)=(x+2)10−xf(x)=(x+2)\sqrt{10-x}. א. מצאו את תחום ההגדרה ואת נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-xx.

תחום: x≤x \leq ____ ; חיתוך עם ציר xx: x=x= ____ (הקטן) ו-x=x= ____ (הגדול)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : תחום: x≤x \leq 10 ; חיתוך עם ציר xx: x=x= -2 (הקטן) ו-x=x= 10 (הגדול)

Corrigé :

10−x≥0 ⇒ x≤1010-x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 10

Domaine de définition

(x+2)10−x=0 ⇒ x=−2 x=10\begin{aligned}(x+2)\sqrt{10-x} &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -2 \\ \ x &= 10\end{aligned}

מכפלה מתאפסת כשגורם מתאפס

x=10x=10 הוא גם קצה התחום וגם חיתוך עם הציר. הוא יחזור בסעיף ג.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה הפונקציה f(x)=(x+2)10−xf(x)=(x+2)\sqrt{10-x}. ב. מצאו את נקודת המקסימום של הפונקציה.

x=x= ____ , y=y= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=x= 6 , y=y= 16

Corrigé :

f′(x)=10−x−x+2210−x=18−3x210−x\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{10-x}-\frac{x+2}{2\sqrt{10-x}} \\ &= \frac{18-3x}{2\sqrt{10-x}}\end{aligned}

כלל המכפלה ומכנה משותף

x=6 ;  x<6: f′>0  6<x<10: f′<0\begin{aligned}x &= 6 \ ;\ \ x<6: \ f'>0 \\ \ \ 6<x<10: \ f'<0\end{aligned}

מ-++ ל-−-

f(6)=8⋅2=16\begin{aligned}f(6) &= 8 \cdot 2 \\ &= 16\end{aligned}

הגובה

מקסימום (6, 16)(6,\,16). בנגזרת של 10−x\sqrt{10-x} יש מינוס מנגזרת הפנימית, ומי ששוכח אותו מקבל 22−x210−x\frac{22-x}{2\sqrt{10-x}}, שמתאפס רק ב-x=22x=22, מחוץ לתחום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה הפונקציה f(x)=(x+2)10−xf(x)=(x+2)\sqrt{10-x}. ג. מה סוג הנקודה (10, 0)(10,\,0)?

  1. מינימום מקומי בקצה התחום
  2. מינימום מוחלט
  3. אינה נקודת קיצון, כי f′(10)f'(10) לא מוגדרת
  4. מקסימום בקצה התחום
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A מינימום מקומי בקצה התחום

Corrigé :

6<x<10: f′<06<x<10: \ f'<0

הפונקציה מגיעה לקצה בירידה

f(−3)=−1⋅13<0f(-3)=-1 \cdot \sqrt{13}<0

יש ערכים קטנים מ-00

הנכונה: מינימום מקומי בקצה. הוא לא מוחלט: משמאל ל-−2-2 הפונקציה שלילית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

y = (x + 2)√(10 − x)
y = 10(−2,0)(6,16)(10,0)-4-3-2-101234567891011-10-8-6-4-224681012141618xy

נתונה הפונקציה f(x)=(x+2)10−xf(x)=(x+2)\sqrt{10-x}. ד. היעזרו בסקיצה שבשרטוט. כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=10f(x)=10?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f(6)=16>10f(6)=16>10

המקסימום מעל הקו y=10y=10

x<6: ↗ עד 16x<6: \ \nearrow \ \text{עד} \ 16

פתרון אחד בעלייה

6<x≤10: 16↘06<x \leq 10: \ 16 \searrow 0

ופתרון אחד בירידה

שני פתרונות. הקו y=10y=10 חותך את הגרף פעם בעלייה ופעם בירידה. מי שעונה 11 שכח את החלק שאחרי המקסימום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה הפונקציה f(x)=ax2+64−3xf(x)=a\sqrt{x^2+64}-3x, ו-aa פרמטר. לפונקציה נקודת קיצון ב-x=6x=6. א. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

f′(x)=axx2+64−3f'(x)=\frac{ax}{\sqrt{x^2+64}}-3

גוזרים עם הפרמטר

f′(6)=6a10−3=0 ⇒ a=5\begin{aligned}f'(6) &= \frac{6a}{10}-3 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 5\end{aligned}

קיצון פנימי: הנגזרת מתאפסת

a=5a=5. התנאי הוא על f′f'. מי שמציב ב-ff אין לו משוואה בכלל: לא נתון הגובה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה הפונקציה f(x)=ax2+64−3xf(x)=a\sqrt{x^2+64}-3x, ו-aa פרמטר. לפונקציה נקודת קיצון ב-x=6x=6. ב. הציבו a=5a=5. מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה.

x=x= ____ , y=y= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=x= 6 , y=y= 32

Corrigé :

f(6)=5⋅10−18=32\begin{aligned}f(6) &= 5 \cdot 10-18 \\ &= 32\end{aligned}

הגובה

f′(0)=−3<0f′(15)=7517−3>0\begin{aligned}f'(0) &= -3<0 \qquad f'(15) \\ &= \frac{75}{17}-3>0\end{aligned}

ממינוס לפלוס

מינימום (6, 32)(6,\,32): הנגזרת עוברת ממינוס לפלוס. f′(15)=7517−3=2417≈1.4f'(15)=\frac{75}{17}-3=\frac{24}{17} \approx 1.4, ולכן אחרי x=6x=6 הנגזרת חיובית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה הפונקציה f(x)=ax2+64−3xf(x)=a\sqrt{x^2+64}-3x, ו-aa פרמטר. לפונקציה נקודת קיצון ב-x=6x=6. ג. הציבו a=5a=5. הוכיחו או הפריכו: גם x=−6x=-6 היא נקודת קיצון של הפונקציה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

5x=3x2+64 ⇒ 16x2=576 ⇒ x=±6\begin{aligned}5x &= 3\sqrt{x^2+64} \ \Rightarrow \ 16x^2 \\ &= 576 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 6\end{aligned}

המשוואה שבריבוע

x=−6: −30≠30x=-6: \ -30 \neq 30

בדיקה: נפסל

f′(−6)=−3−3=−6≠0\begin{aligned}f'(-6) &= -3-3 \\ &= -6 \neq 0\end{aligned}

והנגזרת לא מתאפסת שם

הטענה לא נכונה. x=−6x=-6 פותר רק את המשוואה שבריבוע. יש לפונקציה נקודת קיצון אחת בלבד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה הפונקציה f(x)=x+25xf(x)=\frac{x+25}{\sqrt{x}}. א. מהו תחום ההגדרה?

  1. x>0x>0
  2. x≠0x \neq 0
  3. כל xx
  4. x≥0x \geq 0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A x>0x>0

Corrigé :

x≥0x \geq 0

שורש

x≠0 ⇒ x≠0\sqrt{x} \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq 0

במכנה

הנכונה: x>0x>0. x≥0x \geq 0 שוכח שהשורש במכנה. x≠0x \neq 0 שוכח שמתחת לשורש אסור שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה הפונקציה f(x)=x+25xf(x)=\frac{x+25}{\sqrt{x}}. ב. מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה.

x=x= ____ , y=y= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=x= 25 , y=y= 10

Corrigé :

f′(x)=x−x+252xx=x−252xx\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\sqrt{x}-\frac{x+25}{2\sqrt{x}}}{x} \\ &= \frac{x-25}{2x\sqrt{x}}\end{aligned}

כלל המנה ומכנה משותף

x=25f(25)=505=10\begin{aligned}x &= 25 \\ \quad f(25) &= \frac{50}{5} \\ &= 10\end{aligned}

חשודה וגובה

f′(1)<0,  f′(36)>0f'(1)<0 ,\ \ f'(36)>0

מינימום

מינימום (25, 10)(25,\,10). המכנה 2xx2x\sqrt{x} חיובי בתחום, והסימן הוא של x−25x-25.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה הפונקציה f(x)=x+25xf(x)=\frac{x+25}{\sqrt{x}}. ג. באיזה תחום הפונקציה יורדת?

  1. 0<x<250<x<25
  2. x>25x>25
  3. x>0x>0
  4. x<25x<25
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 0<x<250<x<25

Corrigé :

0<x<25: x−25<0 ⇒ f′<00<x<25: \ x-25<0 \ \Rightarrow \ f'<0

יורדת

הנכונה: 0<x<250<x<25. «x<25x<25» כולל מספרים שליליים, שאינם בתחום.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe