On résout ensemble · Similitude des triangles · Kita י

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

חמש שאלות בסגנון שאלון 471, אחת לכל תצורה של הפרק: ישר מקביל לצלע, יחס שטחים, שעון חול, מלבן חסום במשולש, וטרפז שמוכיחים. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב, ובכל שלב כתוב שם המשפט. שאלה תאומה מחכה למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה כתבו על דף טענה ונימוק, ובכל דמיון — את סדר האותיות. הפער בין מה שכתבתם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד.

1 — ישר מקביל לצלע

DE \parallel BC

. נתון

AD=6

DB=4

DE=9

ו-

AE=3

Activité interactive

שאלה 1 — מקבילה ושלושה סעיפים

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $AB$ והנקודה $E$ על $AC$ , ו- $DE \parallel BC$ . נתון $AD=6$ , $DB=4$ , $DE=9$ ו- $AE=3$ . א. הוכיחו $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ . ב. מצאו את $BC$ . ג. מצאו את $EC$ .

$BC=15$ , $EC=2$

$BC=6$ , $EC=2$

$BC=15$ , $EC=5$

$BC=13.5$ , $EC=3$

סעיף א: אילו שתי זוויות שוות?

$\angle A$ משותפת, ו- $\angle ADE = \angle ABC$ מתאימות בין מקבילים

Voir la réponse et le corrigé

כן. זה הזוג הקבוע של התצורה הזאת.

$\angle ADE = \angle ACB$

Voir la réponse et le corrigé

$\angle ADE$ נמצאת על הישר $AB$ , ולכן היא מתאימה ל- $\angle ABC$ , לא ל- $\angle ACB$ .

$\angle AED = \angle ABC$

Voir la réponse et le corrigé

$\angle AED$ נמצאת על $AC$ , ולכן היא מתאימה ל- $\angle ACB$ .

\triangle ADE \sim \triangle ABC

משפט דמיון ז.ז. הסדר: $A \leftrightarrow A$ , $D \leftrightarrow B$ , $E \leftrightarrow C$ .

סעיף ב: איזה יחס נותן את $BC$ ?

$\dfrac{BC}{DE} = \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{10}{6}$

Voir la réponse et le corrigé

כן. $AB = 6 + 4 = 10$ : חלק מול שלם.

$\dfrac{BC}{DE} = \dfrac{DB}{AD} = \dfrac{4}{6}$

Voir la réponse et le corrigé

$DB$ אינו צלע של אף אחד משני המשולשים. הצלע המתאימה ל- $AD$ היא $AB$ כולה.

$\dfrac{BC}{DE} = \dfrac{AD}{AB}$

Voir la réponse et le corrigé

הפוך: $BC$ במשולש הגדול, ולכן היחס גדול מ- $1$ .

\begin{aligned}BC &= 9 \cdot \frac{10}{6} \\ &= 15\end{aligned}

צלעות מתאימות במשולשים דומים.

סעיף ג: איך מגיעים ל- $EC$ ?

מוצאים $AC$ מהדמיון, ומחסרים $AE$

Voir la réponse et le corrigé

כן. $EC$ אינו צלע של אף משולש, ולכן קודם $AC$ .

$\dfrac{EC}{AE} = \dfrac{BC}{DE}$

Voir la réponse et le corrigé

$EC$ אינו צלע של המשולש $ABC$ . היחס הזה לא נובע מהדמיון.

$EC = DB = 4$

Voir la réponse et le corrigé

אין סיבה ש- $EC = DB$ : המשולש אינו שווה-שוקיים.

\begin{aligned}AC &= 3 \cdot \frac{10}{6} \\ &= 5 \ \Rightarrow \ EC \\ &= 5 - 3 \\ &= 2\end{aligned}

$\frac{AC}{AE} = \frac{AB}{AD}$ , ואז חיסור.

Voir la réponse et le corrigé

$BC=15$ , $EC=2$ . שתי המלכודות של השאלה: $DB$ במקום $AB$ בסעיף ב, ו- $EC$ ישר מהיחס בסעיף ג. הצלעות שביחס הן תמיד צלעות של המשולשים הדומים עצמם.

Faire l'activité sur elev

בשאלה 1, מהו היחס $\dfrac{AE}{EC}$ ? ולמה הוא שווה ל- $\dfrac{AD}{DB}$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$\frac{AE}{EC} = \frac{3}{2}$ ו- $\frac{AD}{DB} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ . השוויון נובע מהדמיון: $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$ (חלק מול שלם), ומשוויון של «חלק מול שלם» יוצא גם «חלק מול חלק». אבל $DE$ לא משתתף בזה: $\frac{DE}{BC}$ שווה רק לחלק מול שלם.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — יחס השטחים

DE \parallel BC

, ו-

AD:DB = 2:3

. שטח המשולש

ABC

הוא

50

Activité interactive

שאלה 2 — שטח הטרפז שנשאר

\begin{aligned}DE \parallel BC \\ \quad AD : DB &= 2 : 3 \\ \quad S_{ABC} &= 50 \\ \quad S_{DBCE} &= \ ?\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הדמיון קודם, אחר כך $k$ מול השלם, ורק אז השטח.

דמיון

\triangle ADE \sim \triangle ABC

ז.ז: $\angle A$ משותפת, $\angle ADE = \angle ABC$ מתאימות ( $DE \parallel BC$ ).

\begin{aligned}k &= \frac{AD}{AB} \\ &= \frac{2}{2+3} \\ &= \frac{2}{5}\end{aligned}

חלק מול שלם: $AB$ הוא $2+3=5$ חלקים.

שטחים

\begin{aligned}\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} &= k^2 \\ &= \frac{4}{25}\end{aligned}

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון.

המשולש הקטן

\begin{aligned}S_{ADE} &= 50 \cdot \frac{4}{25} \\ &= 8\end{aligned}

הטרפז

\begin{aligned}S_{DBCE} &= 50 - 8 \\ &= 42\end{aligned}

הטרפז הוא מה שנשאר מהמשולש הגדול.

המלכודת: $k = \frac{2}{3}$ . היחס $2:3$ הוא חלק מול חלק, ואילו $k$ הוא חלק מול שלם.

Faire l'activité sur elev

בשאלה 2, אם היו נותנים $AD:AB = 2:3$ במקום $AD:DB = 2:3$ , מה היה שטח הטרפז?

Voir la réponse et le corrigé

אז $k = \frac{2}{3}$ ישירות, $S_{ADE} = 50 \cdot \frac{4}{9} = \frac{200}{9}$ , והטרפז $50 - \frac{200}{9} = \frac{250}{9}$ . הנתון « $AD:DB$ » ו« $AD:AB$ » נראים דומים, ומשנים הכול.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — שעון חול

AB

ו-

CD

נחתכים ב-

O

, ו-

AC \parallel DB

. נתון

AO=4

OB=6

CO=6

ו-

AC=8

Activité interactive

שאלה 3 — שני ישרים נחתכים

הקטעים $AB$ ו- $CD$ נחתכים בנקודה $O$ , ו- $AC \parallel DB$ . נתון $AO=4$ , $OB=6$ , $CO=6$ ו- $AC=8$ . א. הוכיחו $\triangle AOC \sim \triangle BOD$ . ב. מצאו את $OD$ ואת $BD$ . ג. מצאו את היקף המשולש $BOD$ .

$OD=9$ , $BD=12$ , היקף $27$

$OD=4$ , $BD=8$ , היקף $18$

$OD=9$ , $BD=12$ , היקף $18$

$OD=9$ , $BD=10$ , היקף $25$

סעיף א: מאיפה באות שתי הזוויות השוות?

קודקודיות ב- $O$ , ומתחלפות בין $AC \parallel DB$

Voir la réponse et le corrigé

כן. אין כאן זווית משותפת: הזוויות באות מהחיתוך ומהמקבילים.

זווית משותפת ב- $O$ וזוויות מתאימות

Voir la réponse et le corrigé

אין למשולשים זווית משותפת: הם משני צדי $O$ . הזוויות ב- $O$ קודקודיות, לא משותפות.

$\angle A = \angle D$ מתחלפות

Voir la réponse et le corrigé

$\angle CAO$ מתחלפת עם $\angle DBO$ — שתיהן על הישר $AB$ . $\angle D$ מתחלפת עם $\angle C$ .

\triangle AOC \sim \triangle BOD

ז.ז. הסדר: $A \leftrightarrow B$ , $O \leftrightarrow O$ , $C \leftrightarrow D$ .

סעיף ב: מהו יחס הדמיון $k$ , גדול חלקי קטן?

$k = \dfrac{OB}{AO} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$

Voir la réponse et le corrigé

כן. $OB$ מול $AO$ : זוג צלעות מתאימות ששתיהן נתונות.

$k = \dfrac{CO}{AO} = \dfrac{6}{4}$

Voir la réponse et le corrigé

$CO$ ו- $AO$ הן שתי צלעות של אותו משולש. יחס דמיון הוא בין צלעות מתאימות של שני משולשים.

$k = \dfrac{OB}{CO} = 1$

Voir la réponse et le corrigé

$OB$ מתאימה ל- $AO$ , לא ל- $CO$ .

\begin{aligned}OD &= \frac{3}{2} \cdot 6 \\ &= 9 \\ \qquad BD &= \frac{3}{2} \cdot 8 \\ &= 12\end{aligned}

$OD \leftrightarrow CO$ , $BD \leftrightarrow AC$ .

סעיף ג: איך מוצאים את היקף $BOD$ בלי לחבר?

היקף $AOC$ כפול $k$

Voir la réponse et le corrigé

כן. יחס ההיקפים הוא $k$ .

היקף $AOC$ כפול $k^2$

Voir la réponse et le corrigé

$k^2$ הוא יחס השטחים. היקף הוא אורך.

היקף $AOC$ ועוד $k$

Voir la réponse et le corrigé

יחס הוא כפל, לא חיבור.

\begin{aligned}P_{BOD} &= (4 + 6 + 8) \cdot \frac{3}{2} \\ &= 27\end{aligned}

בדיקה: $6 + 9 + 12 = 27$ ✓

Voir la réponse et le corrigé

$OD=9$ , $BD=12$ , היקף $27$ . שתי הדרכים להיקף מסכימות, וזו הבדיקה הטובה ביותר. המלכודת בסעיף ב: להשוות שתי צלעות של אותו משולש.

Faire l'activité sur elev

בשאלה 3, מהו יחס השטחים $\dfrac{S_{BOD}}{S_{AOC}}$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$k^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$ . שטח הוא היחיד שמקבל ריבוע; ההיקף, כמו שראינו, פי $\frac{3}{2}$ בלבד.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — מלבן חסום במשולש

BC=18

, הגובה

AH=12

. המלבן

KLMN

שגובהו

KN=4

;

P

הוא חיתוך

AH

עם

KL

Activité interactive

שאלה 4 — צלע המלבן ושטחו

\begin{aligned}BC &= 18 \\ \quad AH &= 12 \\ \quad KN &= 4 \\ \quad KL &= \ ? \\ \quad S_{KLMN} &= \ ?\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הגובה של המשולש הקטן הוא לא גובה המלבן.

דמיון

KL \parallel BC \ \Rightarrow \ \triangle AKL \sim \triangle ABC

ז.ז: $\angle A$ משותפת, $\angle AKL = \angle ABC$ מתאימות.

גובה קטן

\begin{aligned}AP &= AH - KN \\ &= 12 - 4 \\ &= 8\end{aligned}

$AP$ הוא הגובה של $AKL$ מהקודקוד $A$ לצלע $KL$ .

יחס

\begin{aligned}\frac{KL}{BC} &= \frac{AP}{AH} \\ &= \frac{8}{12} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

גבהים מתאימים ביחס הדמיון.

צלע

\begin{aligned}KL &= 18 \cdot \frac{2}{3} \\ &= 12\end{aligned}

שטח

\begin{aligned}S_{KLMN} &= 12 \cdot 4 \\ &= 48\end{aligned}

צלע כפול גובה.

אם השאלה נותנת את $KL$ ומבקשת את הגובה, הולכים הפוך: $AP$ מהיחס, ואז $KN = AH - AP$ .

Faire l'activité sur elev

באותו משולש, מהו גובה המלבן החסום שצלעו העליונה $KL = 6$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$\frac{AP}{12} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$ , ולכן $AP = 4$ , ו- $KN = 12 - 4 =$ 8. מלבן צר וגבוה: $KL$ קטן פירושו $AP$ קטן, כלומר המלבן מטפס גבוה.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — טרפז שמוכיחים

AB=15

AC=12

AD=5

AE=4

ו-

BC=18

. ההקבלה של

DE

ל-

BC

אינה נתונה.

Activité interactive

שאלה 5 — מצלעות פרופורציוניות לטרפז

במשולש $ABC$ , $AB=15$ , $AC=12$ ו- $BC=18$ . הנקודה $D$ על $AB$ עם $AD=5$ , והנקודה $E$ על $AC$ עם $AE=4$ . א. הוכיחו ש- $DBCE$ טרפז. ב. מצאו את $DE$ . ג. מצאו את היקף הטרפז $DBCE$ .

$DE=6$ , היקף $42$

$DE=6$ , היקף $51$

$DE=4.5$ , היקף $40.5$

$DE=6$ , היקף $36$

סעיף א: באיזה משפט דמיון מתחילים?

צ.ז.צ: $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{1}{3}$ והזווית $A$ משותפת

Voir la réponse et le corrigé

כן. ההקבלה עוד לא ידועה, ולכן אין זוויות מתאימות. יש יחסים וזווית כלואה.

ז.ז: $\angle A$ משותפת ו- $\angle ADE = \angle ABC$ מתאימות

Voir la réponse et le corrigé

זוויות מתאימות שוות רק אם $DE \parallel BC$ , וזה מה שצריך להוכיח. הנימוק מעגלי.

צ.צ.צ

Voir la réponse et le corrigé

הצלע השלישית $DE$ אינה נתונה.

\triangle ADE \sim \triangle ABC

משפט דמיון צ.ז.צ.

סעיף א, המשך: איך מגיעים מהדמיון להקבלה?

$\angle ADE = \angle ABC$ (זוויות מתאימות במשולשים דומים), ולכן $DE \parallel BC$

Voir la réponse et le corrigé

כן. זוויות מתאימות שוות מוכיחות הקבלה.

$\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{1}{3}$ , ולכן $DE \parallel BC$

Voir la réponse et le corrigé

יחס של אורכים לא מוכיח הקבלה. מקבילות מוכיחים בזוויות.

$DE < BC$ , ולכן $DE \parallel BC$

Voir la réponse et le corrigé

קטע קצר יותר אינו בהכרח מקביל.

\angle ADE = \angle ABC \ \Rightarrow \ DE \parallel BC

$DBCE$ טרפז: זוג אחד של צלעות מקבילות.

סעיפים ב ו-ג: מה מחשבים?

$DE = \dfrac{1}{3} \cdot 18 = 6$ , והיקף $= DB + BC + CE + ED$

Voir la réponse et le corrigé

כן. $DB = 15 - 5 = 10$ , $CE = 12 - 4 = 8$ .

$DE = 6$ , והיקף $= AB + BC + CA$

Voir la réponse et le corrigé

זה היקף המשולש הגדול ( $45$ ), לא של הטרפז.

$DE = \dfrac{1}{3} \cdot 18 = 6$ , והיקף $= 15 + 18 + 12 + 6$

Voir la réponse et le corrigé

$AB$ ו- $AC$ הן צלעות שלמות של המשולש. השוקיים של הטרפז הן $DB$ ו- $CE$ .

\begin{aligned}P &= 10 + 18 + 8 + 6 \\ &= 42\end{aligned}

Voir la réponse et le corrigé

$DE=6$ , היקף $42$ . המלכודת בסעיף א: ז.ז עם «מתאימות» היא הנחה של המסקנה. המלכודת בסעיף ג: היקף עם $AB$ ו- $AC$ במקום $DB$ ו- $CE$ .

Faire l'activité sur elev

בשאלה 5, איזה חלק משטח המשולש $ABC$ הוא שטח הטרפז $DBCE$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = k^2 = \frac{1}{9}$ , ולכן הטרפז הוא $1 - \frac{1}{9} =$ $\frac{8}{9}$ מהשטח. אין צורך בשום מספר של הצלעות: רק $k$ .

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

תרגילים תאומים. חמשת התרגילים שלמטה בנויים כמו חמש השאלות, עם נתונים אחרים.

Exercices

Exercice 1

במשולש $ABC$ הקטע $DE$ מקביל ל- $BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ). נתון $AD=4$ , $DB=8$ ו- $DE=5$ . מצאו את $BC$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 15

Corrigé :

\triangle ADE \sim \triangle ABC

ז.ז: $\angle A$ משותפת, $\angle ADE = \angle ABC$ מתאימות

\begin{aligned}\frac{BC}{DE} &= \frac{AB}{AD} \\ &= \frac{12}{4} \\ &= 3\end{aligned}

חלק מול שלם: $AB = 4 + 8 = 12$

\begin{aligned}BC &= 3 \cdot 5 \\ &= 15\end{aligned}

התשובה

$BC=15$ . מי שכתב $\frac{BC}{DE} = \frac{DB}{AD} = 2$ קיבל $10$ : $DB$ אינו צלע של אף אחד משני המשולשים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

במשולש $ABC$ הקטע $DE$ מקביל ל- $BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ), ו- $AD:DB = 1:2$ . שטח המשולש $ABC$ הוא $36$ . מצאו את שטח הטרפז $DBCE$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 32

Corrigé :

\triangle ADE \sim \triangle ABC

A-A

\begin{aligned}k &= \frac{AD}{AB} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

חלק מול שלם: $1 + 2 = 3$ חלקים

\begin{aligned}S_{ADE} &= 36 \cdot \frac{1}{9} \\ &= 4\end{aligned}

יחס השטחים $k^2$

\begin{aligned}S_{DBCE} &= 36 - 4 \\ &= 32\end{aligned}

מה שנשאר

$32$ . המלכודת: $k = \frac{1}{2}$ מהיחס $1:2$ . זה חלק מול חלק, ו- $k$ הוא חלק מול שלם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

הקטעים $AB$ ו- $CD$ נחתכים בנקודה $O$ , ו- $AC \parallel DB$ . נתון $AO=3$ , $OB=9$ ו- $AC=5$ . מצאו את $BD$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 15

Corrigé :

\triangle AOC \sim \triangle BOD

ז.ז: קודקודיות ב- $O$ , מתחלפות בין $AC \parallel DB$

\begin{aligned}\frac{BD}{AC} &= \frac{OB}{AO} \\ &= \frac{9}{3} \\ &= 3\end{aligned}

צלעות מתאימות

\begin{aligned}BD &= 3 \cdot 5 \\ &= 15\end{aligned}

התשובה

$BD=15$ . $BD$ מול $AC$ (שני המקבילים), $OB$ מול $AO$ . הסדר $\triangle AOC \sim \triangle BOD$ אומר בדיוק את זה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

במשולש $ABC$ , $BC=20$ והגובה $AH=10$ . חסום בו המלבן $KLMN$ ( $K$ על $AB$ , $L$ על $AC$ , $M$ ו- $N$ על $BC$ ), וגובהו $KN=4$ . מצאו את $KL$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

\triangle AKL \sim \triangle ABC

ז.ז: $KL \parallel BC$

\begin{aligned}AP &= 10 - 4 \\ &= 6\end{aligned}

הגובה של המשולש הקטן

\begin{aligned}\frac{KL}{20} &= \frac{6}{10} \ \Rightarrow \ KL \\ &= 12\end{aligned}

גבהים מתאימים ביחס הדמיון

$KL=12$ . הגובה המתאים הוא $AP = AH - KN$ , לא $KN$ . מי שכתב $\frac{KL}{20} = \frac{4}{10}$ קיבל $8$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

במשולש $ABC$ , $AB=12$ ו- $AC=9$ . הנקודה $D$ על $AB$ עם $AD=4$ , והנקודה $E$ על $AC$ עם $AE=3$ . הוכיחו או הפריכו: $DBCE$ טרפז.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{AD}{AB} &= \frac{4}{12} \\ &= \frac{1}{3} \\ \qquad \frac{AE}{AC} &= \frac{3}{9} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

יחסים שווים, והזווית $A$ כלואה ומשותפת

\triangle ADE \sim \triangle ABC

משפט דמיון צ.ז.צ

\angle ADE = \angle ABC \ \Rightarrow \ DE \parallel BC

זוויות מתאימות במשולשים דומים שוות; זוויות מתאימות שוות, ולכן מקבילים

הטענה נכונה: $DBCE$ טרפז, כי $DE \parallel BC$ . המשפט שפותח הוא צ.ז.צ, לא ז.ז — ההקבלה היא המסקנה.

Vérifier la réponse sur elev

1 — ישר מקביל לצלע

2 — יחס השטחים

3 — שעון חול

4 — מלבן חסום במשולש

5 — טרפז שמוכיחים

Exercices

La suite se pratique sur elev