Périmètres, aires et lignes

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

במשולש שצלעותיו 33, 44 ו-55 ההיקף הוא 1212 והשטח 66. מגדילים אותו פי 22: הצלעות 66, 88 ו-1010, ההיקף 2424 — פי 22, כצפוי. אבל השטח הוא 6⋅82=24\frac{6 \cdot 8}{2} = 24, כלומר פי 4. הזיזו את המחוון וראו את זה קורה עם כל יחס.

למה השטח גדל פי k2k^2 ולא פי kk?

Voir la réponse et le corrigé

כי שטח הוא אורך כפול אורך: S=a⋅h2S = \frac{a \cdot h}{2}. בדמיון גם הצלע aa וגם הגובה hh גדלים פי kk, ולכן המכפלה גדלה פי k⋅k=k2k \cdot k = k^2.

היקפים ושטחים

P2P1=kS2S1=k2\begin{aligned}\frac{P_2}{P_1} &= k \qquad\qquad \frac{S_2}{S_1} \\ &= k^2\end{aligned}

יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון; יחס השטחים שווה לריבועו

ההיקף הוא סכום של אורכים, וכל אורך גדל פי kk, ולכן גם הסכום גדל פי kk. השטח הוא מכפלה של שני אורכים, ולכן פי k2k^2. הכיוון ההפוך שימושי לא פחות: מיחס שטחים מוציאים שורש כדי לקבל את יחס הדמיון.

מהיקפים לשטח

היקפי שני משולשים דומים הם 1818 ו-2727. שטח הקטן הוא 88. מצאו את שטח הגדול.

k=2718=32\begin{aligned}k &= \frac{27}{18} \\ &= \frac{3}{2}\end{aligned}

יחס ההיקפים הוא יחס הדמיון

S2S1=k2=94\begin{aligned}\frac{S_2}{S_1} &= k^2 \\ &= \frac{9}{4}\end{aligned}

יחס השטחים

S2=8⋅94=18\begin{aligned}S_2 &= 8 \cdot \frac{9}{4} \\ &= 18\end{aligned}

שטח הגדול

יחס השטחים של שני משולשים דומים הוא 1:161:16. מהו יחס ההיקפים?

Voir la réponse et le corrigé

k2=16k^2 = 16, ולכן k=4k = 4: יחס ההיקפים 1:41:4. משטחים לאורכים הולכים דרך השורש, לא דרך חלוקה ב-22.

גבהים, תיכונים וחוצי זוויות

ABCDEF
במשולשים דומים, הגובה של הגדול הוא הגובה של הקטן כפול kk. אותו דבר לתיכון ולחוצה הזווית המתאימים.

במשולשים דומים, היחס בין גבהים מתאימים, בין תיכונים מתאימים ובין חוצי זוויות מתאימים שווה ליחס הדמיון kk. הסיבה: הגובה יוצר במשולש הקטן משולש ישר-זווית, ובגדול משולש ישר-זווית דומה לו לפי ז.ז (זווית ישרה וזווית שווה של המשולשים המקוריים). לכן גם הגבהים הם צלעות מתאימות של משולשים דומים, ויחסם kk.

צלע\text{צלע}

פי kk

היקף\text{היקף}

פי kk

גובה\text{גובה}

פי kk, וכך גם תיכון וחוצה זווית

שטח\text{שטח}

פי k2k^2 — היחיד שמתנהג אחרת

גובה מתאים

△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF, AB=6AB=6 ו-DE=9DE=9. הגובה לצלע ABAB במשולש ABCABC הוא 44. מצאו את הגובה לצלע DEDE במשולש DEFDEF.

k=DEAB=96=1.5\begin{aligned}k &= \frac{DE}{AB} \\ &= \frac{9}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

יחס הדמיון

h2=1.5⋅4=6\begin{aligned}h_2 &= 1.5 \cdot 4 \\ &= 6\end{aligned}

גבהים מתאימים ביחס kk

S2S1=9⋅66⋅4=5424=2.25=1.52\begin{aligned}\frac{S_2}{S_1} &= \frac{9 \cdot 6}{6 \cdot 4} \\ &= \frac{54}{24} \\ &= 2.25 \\ &= 1.5^2\end{aligned}

בדיקה דרך השטחים ✓

שאלת בקרה לפני כל תשובה: מה מדדתי — אורך או שטח? אורך (צלע, היקף, גובה, תיכון, חוצה זווית) הולך עם kk. שטח הולך עם k2k^2. אין סוג שלישי.

שלוש הטעויות של היחסים.

k=3 ⇒ S2S1=3\begin{aligned}k &= 3 \ \Rightarrow \ \frac{S_2}{S_1} \\ &= 3\end{aligned}
k=3 ⇒ S2S1=9\begin{aligned}k &= 3 \ \Rightarrow \ \frac{S_2}{S_1} \\ &= 9\end{aligned}

השטח גדל פי k2k^2. בדיקה קלה: משולש 33-44-55 ששטחו 66, מוגדל פי 33 הוא 99-1212-1515 ששטחו 54=6⋅954 = 6 \cdot 9.

S2S1=259 ⇒ k=259\begin{aligned}\frac{S_2}{S_1} &= \frac{25}{9} \ \Rightarrow \ k \\ &= \frac{25}{9}\end{aligned}
S2S1=259 ⇒ k=53\begin{aligned}\frac{S_2}{S_1} &= \frac{25}{9} \ \Rightarrow \ k \\ &= \frac{5}{3}\end{aligned}

מיחס שטחים ליחס דמיון מוציאים שורש. מי ששוכח מקבל היקפים גדולים כמעט פי שניים ממה שצריך.

k=2 ⇒ h2h1=4\begin{aligned}k &= 2 \ \Rightarrow \ \frac{h_2}{h_1} \\ &= 4\end{aligned}
k=2 ⇒ h2h1=2\begin{aligned}k &= 2 \ \Rightarrow \ \frac{h_2}{h_1} \\ &= 2\end{aligned}

גובה הוא אורך, לא שטח. רק השטח מקבל את הריבוע.

Exercices

Exercice 1

ABCDEF

יחס הדמיון בין משולש גדול למשולש קטן הוא 33. היקף המשולש הקטן הוא 1212. מהו היקף המשולש הגדול?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 36

Corrigé :

P2P1=k=3\begin{aligned}\frac{P_2}{P_1} &= k \\ &= 3\end{aligned}

יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון

P2=3⋅12=36\begin{aligned}P_2 &= 3 \cdot 12 \\ &= 36\end{aligned}

היקף הגדול

3636. ההיקף הוא סכום אורכים, ולכן גדל פי kk ולא פי k2k^2. מי שענה 108108 כפל ב-99, וזה יחס של שטחים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

ABCDEF

יחס הדמיון בין משולש גדול למשולש קטן הוא 33. שטח המשולש הקטן הוא 55 סמ״ר. מהו שטח המשולש הגדול, בסמ״ר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 45

Corrigé :

S2S1=k2=9\begin{aligned}\frac{S_2}{S_1} &= k^2 \\ &= 9\end{aligned}

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון

S2=9⋅5=45\begin{aligned}S_2 &= 9 \cdot 5 \\ &= 45\end{aligned}

שטח הגדול

4545 סמ״ר. מי שענה 1515 כפל ב-kk במקום ב-k2k^2: שטח הוא אורך כפול אורך, ושני האורכים גדלו פי 33.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

ABCDEF

שטחי שני משולשים דומים הם 44 ו-3636. מהו יחס הדמיון בין הגדול לקטן?

  1. 66
  2. 33
  3. 99
  4. 3232
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 33

Corrigé :

k2=364=9\begin{aligned}k^2 &= \frac{36}{4} \\ &= 9\end{aligned}

יחס השטחים

k=9=3\begin{aligned}k &= \sqrt{9} \\ &= 3\end{aligned}

יחס הדמיון: שורש של יחס השטחים

הנכונה: 33. 99 הוא יחס השטחים עצמו, בלי השורש. 66 הוא 36\sqrt{36} לבד, בלי לחלק ב-44 קודם. 3232 הוא הפרש, ולא יחס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

ABCHDEFG
CHCH הגובה לצלע ABAB, ו-FGFG הגובה לצלע DEDE.

נתון △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF, AB=6AB=6 ו-DE=9DE=9. הגובה מהקודקוד CC לצלע ABAB הוא 44. מצאו את הגובה מהקודקוד FF לצלע DEDE.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

k=DEAB=96=1.5\begin{aligned}k &= \frac{DE}{AB} \\ &= \frac{9}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

יחס הדמיון

hF=1.5⋅4=6\begin{aligned}h_F &= 1.5 \cdot 4 \\ &= 6\end{aligned}

גבהים מתאימים במשולשים דומים ביחס kk

66. הגובה מ-FF ל-DEDE מתאים לגובה מ-CC ל-ABAB, כי C↔FC \leftrightarrow F ו-AB↔DEAB \leftrightarrow DE. גובה הוא אורך: פי kk, לא פי k2k^2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

ABCDEF

היקפי שני משולשים דומים הם 2020 ו-3030, ושטח הקטן הוא 1616. השלימו.

יחס הדמיון k=k= ____ , שטח הגדול: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : יחס הדמיון k=k= 1.5 , שטח הגדול: 36

Corrigé :

k=3020=1.5\begin{aligned}k &= \frac{30}{20} \\ &= 1.5\end{aligned}

יחס ההיקפים הוא יחס הדמיון

S2=16⋅1.52=16⋅2.25=36\begin{aligned}S_2 &= 16 \cdot 1.5^2 \\ &= 16 \cdot 2.25 \\ &= 36\end{aligned}

יחס השטחים k2k^2

k=1.5k=1.5 ו-S2=36S_2=36. מהיקפים ל-kk מחלקים ישירות, אין שורש. השורש מופיע רק כשמתחילים משטחים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ABCDEF

הוכיחו או הפריכו: אם יחס הדמיון בין שני משולשים הוא 22, אז היחס בין גבהים מתאימים בהם הוא 44.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

h2h1=k=2\begin{aligned}\frac{h_2}{h_1} &= k \\ &= 2\end{aligned}

גבהים מתאימים במשולשים דומים ביחס kk

S2S1=4\frac{S_2}{S_1} = 4

44 הוא יחס השטחים, לא יחס הגבהים

הטענה לא נכונה. הגובה הוא אורך, והוא גדל פי 22. דוגמה נגדית: משולש ישר-זווית עם ניצבים 33 ו-44, מוגדל פי 22 לניצבים 66 ו-88: הגובה 33 הפך ל-66.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

ABCDEF

שטחי שני משולשים דומים הם 1818 ו-5050. היקף המשולש הקטן הוא 2121. מצאו את היקף המשולש הגדול.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 35

Corrigé :

k2=5018=259\begin{aligned}k^2 &= \frac{50}{18} \\ &= \frac{25}{9}\end{aligned}

יחס השטחים; מצמצמים ב-22

k=259=53\begin{aligned}k &= \sqrt{\frac{25}{9}} \\ &= \frac{5}{3}\end{aligned}

שורש: יחס הדמיון

P2=21⋅53=35\begin{aligned}P_2 &= 21 \cdot \frac{5}{3} \\ &= 35\end{aligned}

יחס ההיקפים kk

3535. שני צעדים: שורש כדי לרדת מהשטחים ל-kk, ואז כפל ב-kk להיקף. מי שכפל את 2121 ב-259\frac{25}{9} דילג על השורש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

ABCDE

במשולש ABCABC הקטע DEDE מקביל ל-BCBC (DD על ABAB, EE על ACAC). נתון AD=2AD=2, DB=4DB=4, ושטח המשולש ADEADE הוא 33. מצאו את שטח המשולש ABCABC.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 27

Corrigé :

△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC

ז.ז: ∠A\angle A משותפת, ∠ADE=∠ABC\angle ADE = \angle ABC מתאימות

k=ABAD=62=3\begin{aligned}k &= \frac{AB}{AD} \\ &= \frac{6}{2} \\ &= 3\end{aligned}

חלק מול שלם: AB=2+4=6AB = 2 + 4 = 6

SABC=3⋅32=27\begin{aligned}S_{ABC} &= 3 \cdot 3^2 \\ &= 27\end{aligned}

יחס השטחים k2k^2

2727. שתי מלכודות בשאלה אחת: kk נמדד מול השלם AB=6AB=6 ולא מול DB=4DB=4, והשטח גדל פי k2=9k^2=9 ולא פי 33.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

ABCDEF

נתון △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF ביחס דמיון DEAB=12\dfrac{DE}{AB} = \dfrac{1}{2}. התיכון מהקודקוד AA במשולש ABCABC הוא 1010. מהו התיכון המתאים במשולש DEFDEF?

  1. 1010
  2. 2.52.5
  3. 2020
  4. 55
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 55

Corrigé :

mD=k⋅mAm_D = k \cdot m_A

תיכונים מתאימים במשולשים דומים ביחס kk

mD=12⋅10=5\begin{aligned}m_D &= \frac{1}{2} \cdot 10 \\ &= 5\end{aligned}

התיכון מ-DD

הנכונה: 55. DEFDEF הוא המשולש הקטן (k=12k=\frac{1}{2}), ולכן התיכון בו קטן יותר. 2020 הולך בכיוון ההפוך, ו-2.52.5 כופל ב-k2k^2, שמתאים רק לשטח.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

ABCDEF

בשני משולשים דומים, חוצה הזווית במשולש הקטן הוא 66 וחוצה הזווית המתאים במשולש הגדול הוא 99. שטח המשולש הקטן הוא 2020. מצאו את שטח המשולש הגדול.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 45

Corrigé :

k=96=1.5\begin{aligned}k &= \frac{9}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

חוצי זוויות מתאימים ביחס kk

S2=20⋅1.52=20⋅2.25=45\begin{aligned}S_2 &= 20 \cdot 1.5^2 \\ &= 20 \cdot 2.25 \\ &= 45\end{aligned}

יחס השטחים k2k^2

4545. חוצה זווית הוא אורך, ולכן היחס 96\frac{9}{6} הוא kk עצמו, בלי שורש. ואז השטח, שהוא היחיד שמקבל ריבוע.

Vérifier la réponse sur elev

חזרה משולבת — משולש האמצעים

Exercice 11

במשולש ABCABC הנקודות DD, EE, FF הן אמצעי הצלעות ABAB, BCBC, ACAC בהתאמה. א. הוכיחו: המרובע ADEFADEF הוא מקבילית.

  • DD אמצע ABAB
  • EE אמצע BCBC
  • FF אמצע ACAC

ADEFADEF מקבילית

Voir la réponse et le corrigé
  1. DE∥ACDE \parallel AC — קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית
  2. EF∥ABEF \parallel AB — קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית
  3. DE∥AFDE \parallel AF ו-EF∥ADEF \parallel AD — FF על ACAC ו-DD על ABAB
  4. ADEFADEF מקבילית — מרובע שבו כל זוג צלעות נגדיות מקבילות הוא מקבילית

Corrigé :

DE∥AC,EF∥ABDE \parallel AC ,\quad EF \parallel AB

שני קטעי אמצעים

DE∥AF,EF∥ADDE \parallel AF ,\quad EF \parallel AD

הצלעות AFAF ו-ADAD מונחות על ACAC ועל ABAB

שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות. אפשר גם: DE=12AC=AFDE = \frac{1}{2}AC = AF ו-DE∥AFDE \parallel AF — זוג צלעות נגדיות שוות ומקבילות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

במשולש ABCABC הנקודות DD, EE, FF הן אמצעי הצלעות ABAB, BCBC, ACAC בהתאמה. נתון A(−3,2)A(-3, 2), F(1,0)F(1, 0), E(4,2)E(4, 2), D(0,4)D(0, 4). ב. מצאו את שיעורי הנקודה BB.

B=B = ( ____ , ____ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B=B = ( 3 , 6 )

Corrigé :

−3+xB2=02+yB2=4\begin{aligned}\frac{-3 + x_B}{2} &= 0 \\ \quad \frac{2 + y_B}{2} &= 4\end{aligned}

DD אמצע ABAB

xB=3yB=6\begin{aligned}x_B &= 3 \\ \quad y_B &= 6\end{aligned}

הקצה השני

B(3,6)B(3, 6). קיצור: B=2D−A=(0+3,8−2)B = 2D - A = (0 + 3, 8 - 2).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

במשולש ABCABC הנקודות DD, EE, FF הן אמצעי הצלעות ABAB, BCBC, ACAC בהתאמה. נתון A(−3,2)A(-3, 2), F(1,0)F(1, 0), E(4,2)E(4, 2), D(0,4)D(0, 4). נמצא B(3,6)B(3, 6). ג. חשבו את שיעורי הנקודה CC.

C=C = ( ____ , ____ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C=C = ( 5 , -2 )

Corrigé :

−3+xC2=12+yC2=0\begin{aligned}\frac{-3 + x_C}{2} &= 1 \\ \quad \frac{2 + y_C}{2} &= 0\end{aligned}

FF אמצע ACAC

C=(5,−2)C = (5, -2)

הקצה השני

(3+52,6−22)=(4,2)=E\begin{aligned}\left(\frac{3 + 5}{2}, \frac{6 - 2}{2}\right) &= (4, 2) \\ &= E\end{aligned}

בדיקה: EE אמצע BCBC ✓

C(5,−2)C(5, -2). הנתון EE לא נחוץ לחישוב — הוא משמש לבדיקה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

במשולש ABCABC הנקודות DD, EE, FF הן אמצעי הצלעות ABAB, BCBC, ACAC בהתאמה. ד. מדוע △DEF∼△CAB\triangle DEF \sim \triangle CAB?

  1. לשני המשולשים יש זווית משותפת AA — ז.ז
  2. שני המשולשים ישרי זווית
  3. כל צלע של DEFDEF היא קטע אמצעים, ושווה למחצית הצלע המקבילה לה — צ.צ.צ ביחס 12\frac{1}{2}
  4. ADEFADEF מקבילית, ולכן △DEF≅△CAB\triangle DEF \cong \triangle CAB
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C כל צלע של DEFDEF היא קטע אמצעים, ושווה למחצית הצלע המקבילה לה — צ.צ.צ ביחס 12\frac{1}{2}

Corrigé :

DE=12CAEF=12ABFD=12BC\begin{aligned}DE &= \tfrac{1}{2}CA \\ \quad EF &= \tfrac{1}{2}AB \\ \quad FD &= \tfrac{1}{2}BC\end{aligned}

שלושה קטעי אמצעים

DECA=EFAB=FDBC=12\begin{aligned}\frac{DE}{CA} &= \frac{EF}{AB} \\ &= \frac{FD}{BC} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

משפט דמיון צ.צ.צ

סדר האותיות: DE↔CADE \leftrightarrow CA ו-EF↔ABEF \leftrightarrow AB, ולכן D↔CD \leftrightarrow C, E↔AE \leftrightarrow A, F↔BF \leftrightarrow B. הזווית AA אינה זווית של DEFDEF.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

במשולש ABCABC הנקודות DD, EE, FF הן אמצעי הצלעות ABAB, BCBC, ACAC בהתאמה. ידוע ש-△DEF∼△CAB\triangle DEF \sim \triangle CAB. ה. מהו היחס בין היקף המשולש DEFDEF להיקף המשולש CABCAB? (כתבו כשבר עשרוני)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

k=DECA=12\begin{aligned}k &= \frac{DE}{CA} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

יחס הדמיון: קטע אמצעים הוא חצי מהצלע

PDEFPCAB=k=12\begin{aligned}\frac{P_{DEF}}{P_{CAB}} &= k \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון

היחס 1:21 : 2. ההיקף הוא סכום אורכים, ולכן הוא מתכווץ בדיוק כמו כל צלע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

במשולש ABCABC הנקודות DD, EE, FF הן אמצעי הצלעות ABAB, BCBC, ACAC בהתאמה. ידוע ש-△DEF∼△CAB\triangle DEF \sim \triangle CAB ביחס דמיון 12\frac{1}{2}. ו. מהו היחס בין שטח המשולש DEFDEF לשטח המשולש CABCAB? (כתבו כשבר עשרוני)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.25

Corrigé :

SDEFSCAB=k2=(12)2=14\begin{aligned}\frac{S_{DEF}}{S_{CAB}} &= k^2 \\ &= \left(\frac{1}{2}\right)^2 \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון

SDEF=7SABC=28\begin{aligned}S_{DEF} &= 7 \\ \quad S_{ABC} &= 28\end{aligned}

בדיקה בנוסחת שטח בשיעורים ✓

היחס 1:41 : 4. ארבעת המשולשים הקטנים (ADFADF, DBEDBE, FECFEC ו-DEFDEF) חופפים, ולכן כל אחד הוא רבע מהמשולש הגדול.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

במשולש ABCABC הנקודות DD, EE, FF הן אמצעי הצלעות ABAB, BCBC, ACAC בהתאמה. ידוע ש-SDEFSCAB=14\frac{S_{DEF}}{S_{CAB}} = \frac{1}{4}. ז. הוכיחו: S△ABF=2⋅S△DEFS_{\triangle ABF} = 2 \cdot S_{\triangle DEF}.

  • FF אמצע ACAC
  • SDEFSCAB=14\frac{S_{DEF}}{S_{CAB}} = \frac{1}{4}

S△ABF=2⋅S△DEFS_{\triangle ABF} = 2 \cdot S_{\triangle DEF}

Voir la réponse et le corrigé
  1. S△ABF=12S△ABCS_{\triangle ABF} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABC} — תיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח
  2. S△DEF=14S△ABCS_{\triangle DEF} = \frac{1}{4} S_{\triangle ABC} — נתון (סעיף ו)
  3. S△ABF=2⋅S△DEFS_{\triangle ABF} = 2 \cdot S_{\triangle DEF} — השוואה: 12=2⋅14\frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{4}

Corrigé :

SABF=12SABCS_{ABF} = \frac{1}{2}S_{ABC}

BFBF תיכון: אותו גובה מ-BB, ובסיסים שווים AF=FCAF = FC

SDEF=14SABC⇒SABF=2SDEF\begin{aligned}S_{DEF} &= \frac{1}{4}S_{ABC} \Rightarrow S_{ABF} \\ &= 2S_{DEF}\end{aligned}

השוואה

SABF=14=2⋅7\begin{aligned}S_{ABF} &= 14 \\ &= 2 \cdot 7\end{aligned}

בדיקה בשיעורים ✓

שני השטחים נמדדים ביחס לאותו משולש גדול: חצי ממנו ורבע ממנו.

Vérifier la réponse sur elev

חזרה משולבת — טרפז ישר זווית במערכת צירים

Exercice 18

המרובע ABCOABCO הוא טרפז ישר זווית (∠C=90∘\angle C = 90^\circ, AB∥OCAB \parallel OC). משוואת הצלע ABAB היא y=−12x+5y = -\frac{1}{2}x + 5. הנקודות AA ו-BB נמצאות על ציר ה-xx ועל ציר ה-yy בהתאמה, ו-OO ראשית הצירים. א. (1) מצאו את משוואת הצלע BCBC.

y=y = ____ x+x + ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=y = 2 x+x + 5

Corrigé :

BC⊥OC, OC∥AB⇒BC⊥ABBC \perp OC ,\ OC \parallel AB \Rightarrow BC \perp AB

∠C=90∘\angle C = 90^\circ, והבסיסים מקבילים

mBC⋅(−12)=−1⇒mBC=2\begin{aligned}m_{BC} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) &= -1 \Rightarrow m_{BC} \\ &= 2\end{aligned}

מכפלת שיפועים −1-1

B(0,5)⇒y=2x+5B(0, 5) \Rightarrow y = 2x + 5

BB היא נקודת החיתוך של ABAB עם ציר ה-yy

y=2x+5y = 2x + 5. בטרפז ישר זווית השוק BCBC מאונכת לשני הבסיסים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

המרובע ABCOABCO הוא טרפז ישר זווית (∠C=90∘\angle C = 90^\circ, AB∥OCAB \parallel OC). משוואת הצלע ABAB היא y=−12x+5y = -\frac{1}{2}x + 5. הנקודות AA ו-BB נמצאות על ציר ה-xx ועל ציר ה-yy בהתאמה, ו-OO ראשית הצירים. משוואת הצלע BCBC היא y=2x+5y = 2x + 5. א. (2) חשבו את שיעורי הקודקוד CC.

C=C = ( ____ , ____ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C=C = ( -2 , 1 )

Corrigé :

OC: y=−12xOC:\ y = -\frac{1}{2}x

OC∥ABOC \parallel AB ועובר בראשית

−12x=2x+5⇒x=−2\begin{aligned}-\frac{1}{2}x &= 2x + 5 \Rightarrow x \\ &= -2\end{aligned}

חיתוך OCOC ו-BCBC

y=−12⋅(−2)=1\begin{aligned}y &= -\frac{1}{2} \cdot (-2) \\ &= 1\end{aligned}

הצבה

C(−2,1)C(-2, 1). בדיקה ב-BCBC: 2⋅(−2)+5=12 \cdot (-2) + 5 = 1 ✓

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

המרובע ABCOABCO הוא טרפז ישר זווית (∠C=90∘\angle C = 90^\circ, AB∥OCAB \parallel OC). משוואת הצלע ABAB היא y=−12x+5y = -\frac{1}{2}x + 5. הנקודות AA ו-BB נמצאות על ציר ה-xx ועל ציר ה-yy בהתאמה, ו-OO ראשית הצירים. נמצא C(−2,1)C(-2, 1). ב. חשבו את גודל הזווית ∠BOC\angle BOC (במעלות, דיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 63.43

Corrigé :

tan⁡α=12⇒α≈26.57∘\tan \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha \approx 26.57^\circ

α\alpha הזווית בין OCOC לחלק השלילי של ציר ה-xx: הישר עולה 11 על כל 22

∠BOC=90∘−26.57∘=63.43∘\begin{aligned}\angle BOC &= 90^\circ - 26.57^\circ \\ &= 63.43^\circ\end{aligned}

OBOB על ציר ה-yy, מאונך לציר ה-xx

∠BOC≈63.43∘\angle BOC \approx 63.43^\circ. דרך אחרת: במשולש ישר הזווית BCOBCO, cos⁡∠BOC=OCOB=55\cos \angle BOC = \frac{OC}{OB} = \frac{\sqrt{5}}{5}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 21

המרובע ABCOABCO הוא טרפז ישר זווית (∠C=90∘\angle C = 90^\circ, AB∥OCAB \parallel OC). משוואת הצלע ABAB היא y=−12x+5y = -\frac{1}{2}x + 5. הנקודות AA ו-BB נמצאות על ציר ה-xx ועל ציר ה-yy בהתאמה, ו-OO ראשית הצירים. ג. (1) הוכיחו: △ABO∼△BOC\triangle ABO \sim \triangle BOC.

  • ∠BCO=90∘\angle BCO = 90^\circ
  • AB∥OCAB \parallel OC
  • AA על ציר ה-xx, BB על ציר ה-yy

△ABO∼△BOC\triangle ABO \sim \triangle BOC

Voir la réponse et le corrigé
  1. ∠AOB=90∘\angle AOB = 90^\circ — הצירים מאונכים זה לזה
  2. ∠AOB=∠BCO\angle AOB = \angle BCO — שתיהן 90∘90^\circ
  3. ∠ABO=∠BOC\angle ABO = \angle BOC — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות (AB∥OCAB \parallel OC)
  4. △ABO∼△BOC\triangle ABO \sim \triangle BOC — Théorème de similitude A-A

Corrigé :

∠AOB=∠BCO=90∘\begin{aligned}\angle AOB &= \angle BCO \\ &= 90^\circ\end{aligned}

צירים; נתון

∠ABO=∠BOC\angle ABO = \angle BOC

מתחלפות: הישר BOBO חותך את המקבילים ABAB ו-OCOC

△ABO∼△BOC\triangle ABO \sim \triangle BOC

ז.ז: A↔BA \leftrightarrow B, B↔OB \leftrightarrow O, O↔CO \leftrightarrow C

סדר האותיות הוא ההתאמה: הזווית הישרה OO ב-ABOABO מתאימה לזווית הישרה CC ב-BOCBOC.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 22

המרובע ABCOABCO הוא טרפז ישר זווית (∠C=90∘\angle C = 90^\circ, AB∥OCAB \parallel OC). משוואת הצלע ABAB היא y=−12x+5y = -\frac{1}{2}x + 5. הנקודות AA ו-BB נמצאות על ציר ה-xx ועל ציר ה-yy בהתאמה, ו-OO ראשית הצירים. נמצא C(−2,1)C(-2, 1), והוכח △ABO∼△BOC\triangle ABO \sim \triangle BOC. ג. (2) חשבו את יחס השטחים S△ABOS△BOC\frac{S_{\triangle ABO}}{S_{\triangle BOC}}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

A(10,0), B(0,5)A(10, 0) ,\ B(0, 5)

חיתוכי ABAB עם הצירים

k=ABBO=1255=5\begin{aligned}k &= \frac{AB}{BO} \\ &= \frac{\sqrt{125}}{5} \\ &= \sqrt{5}\end{aligned}

יחס היתרים: ABAB מתאים ל-BOBO

SABOSBOC=k2=5\begin{aligned}\frac{S_{ABO}}{S_{BOC}} &= k^2 \\ &= 5\end{aligned}

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון

SABO=10⋅52=25SBOC=5⋅202=5\begin{aligned}S_{ABO} &= \frac{10 \cdot 5}{2} \\ &= 25 \\ \quad S_{BOC} &= \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{20}}{2} \\ &= 5\end{aligned}

בדיקה ישירה ✓

היחס 55. המלכודת: לענות 5\sqrt{5} — זה יחס הצלעות.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe