Série 3 — exigeant · Similitude des triangles · Kita י

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

סדרה 3 דורשת לבחור את הכלי בעצמכם: שטח טרפז דרך $k^2$ , הגובה ליתר, אלכסוני טרפז, שטחים והיקפים יחד, זווית שווה לזווית של המשולש, וסדר שלבים של פתרון שלם.

כשאין מקבילים בשרטוט, חפשו זווית משותפת ועוד זווית שווה אחת. וכשנתונים שטחים, השורש הוא הצעד הראשון.

Exercices

Exercice 1

במשולש $ABC$ הקטע $DE$ מקביל ל- $BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ). נתון $AD=6$ , $DB=3$ , ושטח המשולש $ABC$ הוא $45$ . מצאו את שטח הטרפז $DBCE$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 25

Corrigé :

\triangle ADE \sim \triangle ABC

ז.ז: $\angle A$ משותפת, $\angle ADE = \angle ABC$ מתאימות

\begin{aligned}k &= \frac{AD}{AB} \\ &= \frac{6}{9} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

חלק מול שלם

\begin{aligned}S_{ADE} &= 45 \cdot \frac{4}{9} \\ &= 20\end{aligned}

יחס השטחים $k^2$

\begin{aligned}S_{DBCE} &= 45 - 20 \\ &= 25\end{aligned}

מה שנשאר

$25$ . שתי מלכודות: $k = \frac{6}{3} = 2$ (חלק מול חלק, וגם הפוך), ושטח פי $k$ במקום $k^2$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, ו- $CD$ הגובה ליתר $AB$ . הוכיחו: $\triangle ACD \sim \triangle CBD$ .

$\angle ACB = 90^\circ$
$CD \perp AB$

$\triangle ACD \sim \triangle CBD$

Voir la réponse et le corrigé

$\angle ADC = \angle CDB = 90^\circ$ — $CD$ גובה ליתר
$\angle ACD = 90^\circ - \angle A$ — סכום הזוויות במשולש $ACD$ הוא $180°$
$\angle CBD = 90^\circ - \angle A$ — סכום הזוויות במשולש $ABC$ הוא $180°$ , ו- $\angle ACB = 90^\circ$
$\angle ACD = \angle CBD$ — שתיהן שוות ל- $90^\circ - \angle A$
$\triangle ACD \sim \triangle CBD$ — Théorème de similitude A-A

Corrigé :

\begin{aligned}\angle ADC &= \angle CDB \\ &= 90^\circ\end{aligned}

גובה

\begin{aligned}\angle ACD &= \angle CBD \\ &= 90^\circ - \angle A\end{aligned}

משלימות ל- $90°$ עם אותה זווית

\triangle ACD \sim \triangle CBD

ז.ז: $A \leftrightarrow C$ , $C \leftrightarrow B$ , $D \leftrightarrow D$

כאן אין זווית משותפת בין שני המשולשים הקטנים, ולכן מוצאים זווית שווה דרך «שתיהן משלימות את $\angle A$ ל- $90°$ ». המלכודת: לכתוב $\triangle ACD \sim \triangle BCD$ — $C$ הקטן מתאים ל- $B$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

בטרפז $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) האלכסונים נחתכים בנקודה $O$ . נתון $AB=6$ , $DC=9$ ו- $AO=4$ . מצאו את $OC$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

\begin{aligned}\angle AOB &= \angle COD \\ \quad \angle BAO &= \angle DCO\end{aligned}

קודקודיות; מתחלפות בין $AB \parallel DC$

\triangle AOB \sim \triangle COD

משפט דמיון ז.ז

\begin{aligned}\frac{OC}{AO} &= \frac{DC}{AB} \\ &= \frac{9}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

צלעות מתאימות: $A \leftrightarrow C$ , $B \leftrightarrow D$

\begin{aligned}OC &= 1.5 \cdot 4 \\ &= 6\end{aligned}

התשובה

$OC=6$ . אלכסוני הטרפז יוצרים שעון חול, והבסיסים הם הצלעות המקבילות שלו. המלכודת: לחשוב שהאלכסונים חוצים זה את זה — זה נכון רק במקבילית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

שטחי שני משולשים דומים הם $16$ ו- $36$ , וסכום ההיקפים שלהם הוא $40$ . מצאו את היקף המשולש הגדול.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 24

Corrigé :

\begin{aligned}k &= \sqrt{\frac{36}{16}} \\ &= \frac{6}{4} \\ &= \frac{3}{2}\end{aligned}

מיחס שטחים ליחס דמיון: שורש

\begin{aligned}P_1 + \frac{3}{2} P_1 &= 40 \ \Rightarrow \ \frac{5}{2} P_1 \\ &= 40 \ \Rightarrow \ P_1 \\ &= 16\end{aligned}

יחס ההיקפים $k$ ; מסמנים את היקף הקטן

\begin{aligned}P_2 &= 40 - 16 \\ &= 24\end{aligned}

היקף הגדול

$24$ . בדיקה: $\frac{24}{16} = \frac{3}{2}$ ✓. מי שדילג על השורש כתב $P_1 + \frac{36}{16}P_1 = 40$ וקיבל היקפים לא שלמים — סימן לטעות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $BC$ , ו- $\angle BAD = \angle C$ . איזו טענה נכונה?

$\triangle ABD \sim \triangle ACD$
$\triangle BAD \sim \triangle BCA$
אין משולשים דומים בשרטוט
$\triangle BAD \sim \triangle BAC$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $\triangle BAD \sim \triangle BCA$

Corrigé :

\angle B = \angle B

angle (זווית) commun

\angle BAD = \angle BCA

נתון

\triangle BAD \sim \triangle BCA

משפט דמיון ז.ז: $B \leftrightarrow B$ , $A \leftrightarrow C$ , $D \leftrightarrow A$

הנכונה: $\triangle BAD \sim \triangle BCA$ . הזווית $B$ משותפת, והזווית הנתונה מציבה את $A$ הקטן מול $C$ הגדול. $\triangle BAC$ מציב את $A$ מול $A$ , וזה שגוי: הזוויות $\angle BAD$ ו- $\angle BAC$ אינן שוות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $BC$ , ו- $\angle BAD = \angle C$ . נתון $AB=6$ ו- $BC=9$ . מצאו את $BD$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

\triangle BAD \sim \triangle BCA

ז.ז: $\angle B$ משותפת, $\angle BAD = \angle C$ נתון

\frac{BD}{BA} = \frac{BA}{BC}

צלעות מתאימות: $BD \leftrightarrow BA$ , $BA \leftrightarrow BC$

\begin{aligned}BD &= \frac{6^2}{9} \\ &= 4\end{aligned}

כפל בהצלבה

$BD=4$ . הצלע $AB$ מופיעה בשני המשולשים, פעם כצלע של הקטן ופעם של הגדול, ולכן היא מופיעה פעמיים ביחס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הקטעים $AB$ ו- $CD$ נחתכים בנקודה $O$ , ו- $AC \parallel DB$ . נתון $AO=6$ , $OB=4$ , ושטח המשולש $AOC$ הוא $18$ . מצאו את שטח המשולש $BOD$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

\triangle AOC \sim \triangle BOD

ז.ז: קודקודיות ב- $O$ , מתחלפות בין $AC \parallel DB$

\begin{aligned}k &= \frac{OB}{AO} \\ &= \frac{4}{6} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

יחס הדמיון, קטן חלקי גדול

\begin{aligned}S_{BOD} &= 18 \cdot \frac{4}{9} \\ &= 8\end{aligned}

יחס השטחים $k^2$

$8$ . $BOD$ הוא הקטן, ולכן $k<1$ והשטח קטן. מי שכפל ב- $\frac{2}{3}$ בלי ריבוע קיבל $12$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

במשולש $ABC$ הקטע $DE$ מקביל ל- $BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ). נתון $AD=4$ , $DB=8$ ו- $BC=15$ . סדרו את שלבי הפתרון שמוצא את $DE$ .

$\angle A$ משותפת, ו- $\angle ADE = \angle ABC$ זוויות מתאימות בין מקבילים
$\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{4}{12}$
$\triangle ADE \sim \triangle ABC$ לפי ז.ז
$AB = 4 + 8 = 12$
$DE = 15 \cdot \dfrac{1}{3} = 5$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $\angle A$ משותפת, ו- $\angle ADE = \angle ABC$ זוויות מתאימות בין מקבילים · $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ לפי ז.ז · $AB = 4 + 8 = 12$ · $\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{4}{12}$ · $DE = 15 \cdot \dfrac{1}{3} = 5$

Corrigé :

\text{זוויות} \ \rightarrow \ \text{דמיון} \ \rightarrow \ \text{יחס} \ \rightarrow \ \text{חישוב}

הסדר הקבוע של כל שאלת דמיון

קודם הזוויות, אחר כך הדמיון עם סדר האותיות, ורק אז היחס. יחס שנכתב לפני הדמיון הוא ניחוש, גם כשהוא נכון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

במשולש $ABC$ , $BC=24$ והגובה $AH=16$ . חסום בו המלבן $KLMN$ ( $K$ על $AB$ , $L$ על $AC$ , $M$ ו- $N$ על $BC$ ), ו- $KL=15$ . מצאו את גובה המלבן $KN$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

\triangle AKL \sim \triangle ABC

ז.ז: $KL \parallel BC$

\begin{aligned}\frac{AP}{16} &= \frac{15}{24} \ \Rightarrow \ AP \\ &= 10\end{aligned}

גבהים מתאימים ביחס הדמיון

\begin{aligned}KN &= 16 - 10 \\ &= 6\end{aligned}

גובה המלבן: $AH$ פחות $AP$

$KN=6$ . הפעם הצלע נתונה ומחפשים גובה: היחס נותן את $AP$ , ואז מחסרים. מי שענה $10$ עצר ב- $AP$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

צלעות המשולש $ABC$ הן $6$ , $8$ ו- $10$ . משולש $DEF$ דומה לו, והיקפו $60$ . השלימו.

הצלע הקצרה ביותר ב- $DEF$ : ____ , הצלע הארוכה ביותר: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הצלע הקצרה ביותר ב- $DEF$ : 15 , הצלע הארוכה ביותר: 25

Corrigé :

\begin{aligned}P_{ABC} &= 6 + 8 + 10 \\ &= 24\end{aligned}

היקף הקטן

\begin{aligned}k &= \frac{60}{24} \\ &= 2.5\end{aligned}

יחס ההיקפים הוא יחס הדמיון

\begin{aligned}6 \cdot 2.5 &= 15 \\ \quad 10 \cdot 2.5 &= 25\end{aligned}

קצרה מול קצרה, ארוכה מול ארוכה

$15$ ו- $25$ . בדיקה: $15 + 20 + 25 = 60$ ✓. ההיקף נותן את $k$ ישירות, בלי שורש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev