Valeur absolue · Équations et inéquations — la méthode des intervalles · Kita י

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

הסתכלו על הגרף של $y=|x-2|$ ועל הישר $y=3$ . המשוואה $|x-2|=3$ שואלת איפה הם נפגשים, והאי-שוויון $|x-2|<3$ שואל איפה ה-V מתחת לישר.

על פי הגרף, מה הפתרון של $|x-2|<3$ ? ומה הפתרון של $|x-2|>3$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$-1<x<5$ — בין שתי נקודות החיתוך, שם ה-V מתחת לישר. ו- $|x-2|>3$ הוא $x<-1$ או $x>5$ — שני הקטעים שבחוץ.

ערך מוחלט הוא מרחק

|a|=\begin{cases} a, & a\ge0 \\ -a, & a<0 \end{cases}

$|x-2|$ הוא המרחק בין $x$ לבין $2$ על ציר המספרים. לכן $|x-2|<3$ פירושו « $x$ במרחק פחות מ- $3$ מ- $2$ » — ורואים מיד את הקטע $-1<x<5$ .

|x-a|<r \iff a-r<x<a+r

קרוב ל- $a$ : קטע אחד

|x-a|>r \iff x<a-r \ \text{או}\ x>a+r

רחוק מ- $a$ : שני קטעים

ומכאן גם: $|x|=-3$ אין לה פתרון, ו- $|x|>-2$ מתקיים לכל $x$ — כי מרחק אינו שלילי. ועוד עובדה שחוזרת בפונקציות: $\sqrt{x^2}=|x|$ , ולא $x$ .

כשבאגף השני יש $x$

במשוואה $|x-3|=2x$ האגף הימני תלוי ב- $x$ , ולכן חובה לבדוק כל פתרון בסוף. נסו:

Activité interactive

ערך מוחלט שווה לביטוי

פתרו את המשוואה $|x-3|=2x$ . בכל שלב — בחרו את הצעד הנכון.

איך מתחילים?

מפצלים לשני מקרים: $x-3=2x$ או $x-3=-2x$

Voir la réponse et le corrigé

נכון. מה שבתוך הערך המוחלט שווה לאגף השני, או לנגדי שלו.

מעלים את שני האגפים בחזקה שלישית

Voir la réponse et le corrigé

חזקה שלישית לא מבטלת ערך מוחלט. $|a|^3$ עדיין תלוי בסימן.

כותבים $x-3=2x$ בלבד

Voir la réponse et le corrigé

כך מאבדים את המקרה שבו $x-3$ שלילי. ערך מוחלט נותן שני מקרים.

\begin{aligned}x-3 &= 2x \quad \text{או} \quad x-3 \\ &= -2x\end{aligned}

שתי משוואות ליניאריות.

מה הפתרונות של שתי המשוואות?

$x=-3$ ו- $x=1$

Voir la réponse et le corrigé

נכון: $x-3=2x \Rightarrow x=-3$ , ו- $3x=3 \Rightarrow x=1$ .

$x=3$ ו- $x=-1$

Voir la réponse et le corrigé

בדקו שוב את המעבר אגף: $x-3=2x$ נותן $-3=x$ .

$x=-3$ בלבד

Voir la réponse et le corrigé

גם המשוואה השנייה פתירה: $x-3=-2x \Rightarrow 3x=3$ .

\begin{aligned}x &= -3 \quad \text{או} \quad x \\ &= 1\end{aligned}

שני מועמדים — עוד לא פתרונות.

מה עושים עכשיו?

מציבים כל מועמד במשוואה המקורית

Voir la réponse et le corrigé

נכון. $x=-3$ : $\ |{-6}|=6$ אבל $2x=-6$ — נפסל. $x=1$ : $\ |{-2}|=2=2x$ ✓.

עונים $x=-3$ או $x=1$

Voir la réponse et le corrigé

$x=-3$ נותן בצד שמאל $6$ ובצד ימין $-6$ . ערך מוחלט לא יכול להיות שווה למספר שלילי.

בוחרים את הפתרון החיובי כי ערך מוחלט חיובי

Voir la réponse et le corrigé

הכלל «בוחרים חיובי» מקרי. בודקים את האגף הימני $2x\ge0$ , או מציבים.

x=1

רק $x=1$ עומד בבדיקה.

Voir la réponse et le corrigé

$x=1$ . הצבה בודקת את מה שהפיצול לא רואה: באגף הימני $2x$ חייב להיות אי-שלילי.

Faire l'activité sur elev

אי-שוויון עם ערך מוחלט

פתרו: $|2x+1|\ge5$ .

2x+1\ge5 \quad \text{או} \quad 2x+1\le-5

«גדול מ» — שני קטעים, מחוץ לטווח

x\ge2 \quad \text{או} \quad x\le-3

פותרים כל אחד

הערך המוחלט של פונקציה

את $y=|f(x)|$ משרטטים מהגרף של $f$ : מה שמעל הציר נשאר, ומה שמתחתיו מתהפך למעלה.

כמה פתרונות יש למשוואה $|x^2-4|=3$ ? ולמשוואה $|x^2-4|=4$ ?

Voir la réponse et le corrigé

ל- $|x^2-4|=3$ — ארבעה: $x^2=7$ או $x^2=1$ , כלומר $\pm\sqrt7,\ \pm1$ . ל- $|x^2-4|=4$ — שלושה: $x^2=8$ או $x^2=0$ . הישר $y=4$ עובר בדיוק דרך ה«פסגה» שהתהפכה, ב- $(0,4)$ .

שלוש טעויות של ערך מוחלט.

|x+2|<5 \Rightarrow x<3

-5<x+2<5 \Rightarrow -7<x<3

ערך מוחלט קטן מ- $5$ פירושו שני גבולות. $x=-10$ מקיים $x<3$ אבל $|{-8}|=8$ .

\begin{aligned}|x-3| &= 2x \Rightarrow x \\ &= -3 \ \text{או}\ x \\ &= 1\end{aligned}

x=1

כשבאגף השני יש $x$ , מציבים כל מועמד. $x=-3$ נותן $6=-6$ .

|x|>-2 \Rightarrow \varnothing

|x|>-2 \ \text{לכל}\ x

מרחק תמיד גדול ממספר שלילי, ולכן זה לא «אין פתרון» ( $\varnothing$ ). «אין פתרון» שייך ל- $|x|<-2$ .

Exercices

Exercice 1

פתרו: $|x-3|=7$ .

$x=10$
$x=10$ או $x=4$
$x=4$ או $x=-10$
$x=10$ או $x=-4$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $x=10$ או $x=-4$

Corrigé :

\begin{aligned}x-3 &= 7 \Rightarrow x \\ &= 10\end{aligned}

מקרה ראשון

\begin{aligned}x-3 &= -7 \Rightarrow x \\ &= -4\end{aligned}

מקרה שני

המספרים שמרחקם מ- $3$ הוא $7$ : אחד מימין ואחד משמאל. מי שכותב $x=-10$ פותר $|x+3|=7$ . התשובה: $x=10$ או $x=-4$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

כמה מספרים שלמים מקיימים $|x+1|<4$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

-4<x+1<4

קטע אחד

-5<x<3

מחסירים $1$

\{-4,-3,-2,-1,0,1,2\}

שבעה שלמים

$|x+1|$ הוא המרחק מ- $-1$ , לא מ- $1$ . והקצוות $-5$ ו- $3$ לא נכללים באי-שוויון חזק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

פתרו את האי-שוויון $|2x-3|\ge5$ .

$x\le-4$ או $x\ge1$
$-1\le x\le4$
$x\ge4$
$x\le-1$ או $x\ge4$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $x\le-1$ או $x\ge4$

Corrigé :

2x-3\ge5 \Rightarrow x\ge4

מקרה ראשון

2x-3\le-5 \Rightarrow x\le-1

מקרה שני

«גדול או שווה» — שני קטעים בחוץ, לא קטע אחד באמצע. התשובה: $x\le-1$ או $x\ge4$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

פתרו את המשוואה $|x-4|=2x+1$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

\begin{aligned}x-4 &= 2x+1 \Rightarrow x \\ &= -5\end{aligned}

מקרה ראשון

\begin{aligned}x &= -5:\ |{-9}| \\ &= 9 \\ \ 2x+1 &= -9 \ \text{נפסל}\end{aligned}

הצבה

\begin{aligned}x-4 &= -(2x+1) \Rightarrow 3x \\ &= 3 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

מקרה שני

\begin{aligned}x &= 1:\ |{-3}| \\ &= 3 \\ &= 2\cdot1+1 \ \checkmark\end{aligned}

הצבה

$x=-5$ יוצא מהחישוב אבל נותן $9=-9$ . כשבאגף השני יש $x$ — מציבים כל מועמד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

הוכיחו או הפריכו: $\sqrt{x^2}=x$ לכל $x$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

\begin{aligned}x &= -3:\ \sqrt{(-3)^2} \\ &= \sqrt9 \\ &= 3\end{aligned}

דוגמה נגדית

3\ne-3

הטענה נכשלת

\sqrt{x^2}=|x|

הזהות הנכונה

הטענה שגויה. שורש ריבועי אינו שלילי לעולם, ולכן $\sqrt{x^2}=|x|$ . השוויון $\sqrt{x^2}=x$ נכון רק ל- $x\ge0$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

הגרף של

y=|x-1|

והישר

y=2

לפניכם הגרף של $y=|x-1|$ והישר $y=2$ . איזה אי-שוויון פתרונו $-1<x<3$ ?

$|x-1|<2$
$|x-1|\le2$
$|x-1|>2$
$|x+1|<2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $|x-1|<2$

Corrigé :

-1<x<3

הקטע שבו ה-V מתחת לישר

|x-1|<2 \iff -2<x-1<2 \iff -1<x<3

בדיקה אלגברית

$|x-1|\le2$ כוללת גם את הקצוות $-1$ ו- $3$ . ו- $|x+1|<2$ נותן $-3<x<1$ — מרחק מ- $-1$ . התשובה: $|x-1|<2$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

כמה פתרונות יש למשוואה $|x^2-4|=3$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

\begin{aligned}x^2-4 &= 3 \Rightarrow x \\ &= \pm\sqrt7\end{aligned}

מקרה ראשון

\begin{aligned}x^2-4 &= -3 \Rightarrow x \\ &= \pm1\end{aligned}

מקרה שני

4 \ \text{פתרונות}

מי שפותר רק $x^2-4=3$ עונה «שניים». בגרף של $|x^2-4|$ יש גם את החלק שהתהפך, והישר $y=3$ חותך גם אותו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

בפתרון של $|x+2|\le3$ שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

-3\le x+2\le3

-3-2\le x\le3-2

-1\le x\le1

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $-1\le x\le1$ → $-5\le x\le1$

Corrigé :

-3\le x+2\le3

קטע אחד

\begin{aligned}-3-2 &= -5 \\ \quad 3-2 &= 1\end{aligned}

מחסירים $2$ משלושת האגפים

$-3-2=-5$ , לא $-1$ . בדיקה מהירה: המרכז של הקטע צריך להיות $-2$ — ובקטע $-1\le x\le1$ המרכז הוא $0$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

השלימו את הפתרון של $|x-5|<2$ .

____ $<x<$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3 $<x<$ 7

Corrigé :

-2<x-5<2

קטע אחד

3<x<7

מוסיפים $5$

המספרים שמרחקם מ- $5$ פחות מ- $2$ . הקצוות לא נכללים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

התאימו לכל אי-שוויון את הפתרון שלו.

$|x|<2$
$|x|>2$
$|x-2|<1$
$|x|<-2$

$-2<x<2$
$1<x<3$
$x<-2$ או $x>2$
אין פתרון

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $|x|<2$ — $-2<x<2$ · $|x|>2$ — $x<-2$ או $x>2$ · $|x-2|<1$ — $1<x<3$ · $|x|<-2$ — אין פתרון

Corrigé :

|x|<2

קרוב ל- $0$ — קטע אחד

|x|>2

רחוק מ- $0$ — שני קטעים

|x-2|<1:\ 1<x<3

קרוב ל- $2$

|x|\ge0>-2

מרחק אינו קטן ממספר שלילי

ההבדל בין קטע אחד לבין שני קטעים הוא כל ההבדל בין $<$ ל- $>$ . ו- $|x|<-2$ — אין לה פתרון.

Vérifier la réponse sur elev

ערך מוחלט הוא מרחק

כשבאגף השני יש xxx

הערך המוחלט של פונקציה

Exercices

La suite se pratique sur elev

כשבאגף השני יש $x$