Domaine et inéquations rationnelles

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שבר שיש במכנה שלו xx אינו מוגדר בכל מקום. הסתכלו על הגרף לפני שאנחנו כותבים אף כלל:

על פי הגרף, מתי x−1x+2<0\frac{x-1}{x+2}<0?

Voir la réponse et le corrigé

−2<x<1-2<x<1. שם הגרף מתחת לציר. ב-x=1x=1 השבר שווה 00, וב-x=−2x=-2 הוא לא מוגדר — אף אחת מהנקודות לא נכללת.

שברים אלגבריים ותחום הגדרה

הסדר קבוע ואי אפשר לדלג עליו: מפרקים כל מונה וכל מכנה, רושמים תחום הגדרה, ורק אז מצמצמים.

תחום ההגדרה נקבע לפי המכנה המקורי, לפני הצמצום. גורם שהצטמצם ונעלם מהתשובה עדיין פוסל את הערך שמאפס אותו.

משוואה עם נעלם במכנה

סדר מלא

פתרו: xx−2=4x−2+1\frac{x}{x-2} = \frac{4}{x-2} + 1.

x≠2x \neq 2

קודם כול — תחום הגדרה

x=4+(x−2)x = 4 + (x - 2)

כופלים את שני האגפים ב-(x−2)(x-2) — במשוואה זה מותר

x=x+2x = x + 2

מפשטים

0=20 = 2

סתירה

⇒\Rightarrow

אין פתרון: המשוואה לא מתקיימת לאף xx

ולפעמים קורה ההפך: הפתרון שיוצא הוא בדיוק הערך שנפסל בתחום ההגדרה. גם אז הוא אינו פתרון.

אי-שוויון רציונלי: f(x)g(x)≥0\frac{f(x)}{g(x)}\ge0

במשוואה מותר לכפול במכנה. באי-שוויון אסור — הסימן של המכנה משתנה עם xx, וכפל בשלילי הופך את הסימן. אבל יש עובדה פשוטה: לשבר ולמכפלה אותו סימן. לכן עובדים בשיטת הקטעים, עם שני סוגים של נקודות:

f(x)=0f(x)=0

שורש של המונה — השבר שווה 00. נכלל ב-≥\ge וב-≤\le.

g(x)=0g(x)=0

שורש של המכנה — השבר לא מוגדר. לעולם לא נכלל.

f(x)g(x)≥0  ⟺  f(x)⋅g(x)≥0 וגם g(x)≠0\frac{f(x)}{g(x)}\ge0 \iff f(x)\cdot g(x)\ge0 \ \text{וגם}\ g(x)\ne0

צמצמתם (x−3)(x+1)(x−3)\frac{(x-3)(x+1)}{(x-3)} ל-x+1x+1. מה חייב להופיע בתשובה?

Voir la réponse et le corrigé

תחום ההגדרה x≠3x \neq 3. הגורם שהצטמצם ונעלם עדיין פוסל את הערך שמאפס אותו — התחום נקבע לפי המכנה המקורי.

שלוש הטעויות של הפרק.

x2x−3=9x−3⇒x=±3\begin{aligned}\frac{x^2}{x-3} &= \frac{9}{x-3} \Rightarrow x \\ &= \pm3\end{aligned}
x=−3x=-3

הפתרון x=3x=3 מאפס את המכנה. פתרון שנפסל בתחום ההגדרה אינו פתרון.

x+3x−1≥2⇒x+3≥2(x−1)\frac{x+3}{x-1}\ge2 \Rightarrow x+3\ge2(x-1)
5−xx−1≥0\frac{5-x}{x-1}\ge0

כפל במכנה שסימנו לא ידוע אסור באי-שוויון. מעבירים אגף ומביאים למכנה משותף.

x−4x+1≥0⇒x≤−1 או x≥4\frac{x-4}{x+1}\ge0 \Rightarrow x\le-1 \ \text{או}\ x\ge4
x<−1 או x≥4x<-1 \ \text{או}\ x\ge4

את x=4x=4 מצרפים, את x=−1x=-1 לא — שם המכנה מתאפס.

Exercices

Exercice 1

פתרו: xx−3=3x−3+2\frac{x}{x-3} = \frac{3}{x-3} + 2

  1. אין פתרון
  2. x=3x = 3
  3. x=−3x = -3
  4. x=5x = 5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A אין פתרון

Corrigé :

x≠3x \neq 3

תחום הגדרה

x=3+2(x−3)x = 3 + 2(x-3)

כופלים את שני האגפים ב-(x−3)(x-3) — גם את ה-22

x=2x−3⇒x=3\begin{aligned}x &= 2x-3 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

מפשטים

x=3 נפסלx=3 \ \text{נפסל}

הערך היחיד שיצא מאפס את המכנה

החישוב נותן x=3x=3 — בדיוק הערך שנפסל בתחום ההגדרה, ולכן הוא אינו פתרון. מי שעונה x=5x=5 שכח לכפול את ה-22 במכנה. התשובה: אין פתרון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

בביטוי x2−1x2−4\frac{x^2-1}{x^2-4}, כמה ערכים של xx אסורים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

x2−4=0x^2 - 4 = 0

מאפסים את המכנה

x=2  x=−2\begin{aligned}x &= 2 \ \\ \ x &= -2\end{aligned}

שני ערכים

רק המכנה קובע את תחום ההגדרה. ±1\pm1 מאפסים את המונה — שם השבר שווה 00, והוא מוגדר היטב.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

צמצמו: x2−1x−1\frac{x^2 - 1}{x - 1}

  1. x−1x - 1
  2. לא ניתן לצמצום
  3. x+1x + 1 לכל xx
  4. x+1x + 1, כאשר x≠1x \neq 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D x+1x + 1, כאשר x≠1x \neq 1

Corrigé :

(x−1)(x+1)x−1\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}

מפרקים את המונה

x+1,x≠1x + 1,\quad x\ne1

מצמצמים, והתנאי נשאר

הגורם נעלם מהתשובה, אבל התנאי נשאר — x=1x = 1 עדיין אסור. התשובה: x+1x+1, כאשר x≠1x\ne1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

צמצמו x2−9x−3\dfrac{x^2 - 9}{x - 3} וחשבו את ערכו ב-x=5x = 5.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

(x−3)(x+3)x−3=x+3\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3

מצמצמים, בתנאי x≠3x \neq 3

5+3=85 + 3 = 8

On remplace (מציבים)

התנאי x≠3x \neq 3 נשאר בתוקף אחרי הצמצום: אם היו שואלים על x=3x=3, התשובה הייתה «לא מוגדר» ולא 66.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מהו תחום ההגדרה של x+1x2−4\dfrac{x+1}{x^2 - 4}?

  1. כל xx פרט ל-22 ול-−2-2
  2. כל xx פרט ל-22
  3. כל xx
  4. כל xx פרט ל-−1-1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A כל xx פרט ל-22 ול-−2-2

Corrigé :

x2−4≠0x^2 - 4 \neq 0

המכנה

(x−2)(x+2)≠0⇒x≠±2(x-2)(x+2) \neq 0 \Rightarrow x\ne\pm2

מפרקים

שני ערכים נפסלים — x2=4x^2=4 גם ב-x=−2x=-2. ו-x=−1x=-1 מאפס את המונה, לא את המכנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

פתרו את האי-שוויון x−4x+1≥0\frac{x-4}{x+1}\ge0.

  1. x<−1x<-1 או x≥4x\ge4
  2. x≤−1x\le-1 או x≥4x\ge4
  3. x≥4x\ge4
  4. −1<x≤4-1<x\le4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A x<−1x<-1 או x≥4x\ge4

Corrigé :

x=4 (מונה)x=−1 (מכנה)\begin{aligned}x &= 4\ (\text{מונה}) \\ \quad x &= -1\ (\text{מכנה})\end{aligned}

הנקודות על הציר

x>4: +,−1<x<4: −,x<−1: +x>4:\ +,\quad -1<x<4:\ -,\quad x<-1:\ +

סימנים בשיטת הקטעים

x<−1 או x≥4x<-1 \ \text{או}\ x\ge4

x=4x=4 נכלל, x=−1x=-1 לא

הטעות השכיחה היא לכלול את x=−1x=-1 «כי הסימן ≥\ge». שם המכנה מתאפס. התשובה: x<−1x<-1 או x≥4x\ge4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

כמה מספרים שלמים מקיימים x+3x−2<0\frac{x+3}{x-2}<0?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

x=−3x=2\begin{aligned}x &= -3 \\ \quad x &= 2\end{aligned}

שורש המונה ושורש המכנה

−3<x<2-3<x<2

השבר שלילי בין שתי הנקודות

{−2,−1,0,1}\{-2,-1,0,1\}

ארבעה שלמים

x=−3x=-3 נותן 00, ו-0<00<0 לא נכון; x=2x=2 לא מוגדר. אף אחת מהנקודות לא נכללת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

פתרו את האי-שוויון x+5x−2≥2\frac{x+5}{x-2}\ge2.

  1. 2≤x≤92\le x\le9
  2. x<2x<2 או x≥9x\ge9
  3. x≤9x\le9
  4. 2<x≤92<x\le9
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 2<x≤92<x\le9

Corrigé :

x+5x−2−2≥0⇒9−xx−2≥0\frac{x+5}{x-2}-2\ge0 \Rightarrow \frac{9-x}{x-2}\ge0

מעבירים אגף ומכנה משותף

x<2: −,2<x<9: +,x>9: −x<2:\ -,\quad 2<x<9:\ +,\quad x>9:\ -

שיטת הקטעים

2<x≤92<x\le9

x=9x=9 נכלל, x=2x=2 לא

x≤9x\le9 היא התשובה של מי שכפל במכנה: x=0x=0 מקיים אותה, אבל 5−2=−2.5\frac{5}{-2}=-2.5 אינו ≥2\ge2. התשובה: 2<x≤92<x\le9.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הוכיחו או הפריכו: האי-שוויון x2+1x−3>0\frac{x^2+1}{x-3}>0 מתקיים בדיוק כאשר x>3x>3.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

x2+1>0 לכל xx^2+1>0 \ \text{לכל}\ x

המונה תמיד חיובי

x2+1x−3>0  ⟺  x−3>0\frac{x^2+1}{x-3}>0 \iff x-3>0

לכן הסימן של השבר הוא הסימן של המכנה

x>3x>3

נכון. למונה אין שורשים, ולכן אין לו השפעה על הסימן. מי שמחפש «שורשים של המונה» ומוצא ±1\pm1 — טעה: x2+1≠0x^2+1\ne0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

פתרו את המשוואה x2x−3=9x−3\frac{x^2}{x-3}=\frac{9}{x-3}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -3

Corrigé :

x≠3x\ne3

תחום הגדרה

x2=9⇒x=±3\begin{aligned}x^2 &= 9 \Rightarrow x \\ &= \pm3\end{aligned}

כופלים במכנה — במשוואה מותר

x=3 נפסל⇒x=−3\begin{aligned}x &= 3 \ \text{נפסל} \Rightarrow x \\ &= -3\end{aligned}

בודקים מול תחום ההגדרה

x=3x=3 יוצא מהחישוב, אבל הוא מאפס את המכנה. הפתרון היחיד הוא x=−3x=-3.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe