Série 5

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות בסגנון הבגרות. חלקן בנויות כסעיפים של שאלה אחת: קודם מוצאים פרמטר, ואחר כך פותרים אי-שוויון.

בבגרות כל סעיף מכין את הבא. השתמשו בתשובה הקודמת — ובדקו אותה: שורש נתון חייב להופיע כגורם.

Exercices

Exercice 1

נתון הפולינום f(x)=x3+ax2−9x−9f(x)=x^3+ax^2-9x-9. ידוע ש-x=−1x=-1 הוא שורש של ff. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

f(−1)=−1+a+9−9=0\begin{aligned}f(-1) &= -1+a+9-9 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים את השורש

a=1a=1

הטעות השכיחה היא בסימן של −9⋅(−1)=+9-9\cdot(-1)=+9. בודקים: x3+x2−9x−9=(x+1)(x2−9)x^3+x^2-9x-9=(x+1)(x^2-9) — הגורם (x+1)(x+1) מופיע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתון f(x)=x3+x2−9x−9f(x)=x^3+x^2-9x-9. פתרו את האי-שוויון f(x)<0f(x)<0.

  1. −1<x<3-1<x<3
  2. x<−3x<-3 או −1<x<3-1<x<3
  3. −3<x<−1-3<x<-1 או x>3x>3
  4. x<3x<3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B x<−3x<-3 או −1<x<3-1<x<3

Corrigé :

x2(x+1)−9(x+1)=(x+1)(x−3)(x+3)x^2(x+1)-9(x+1)=(x+1)(x-3)(x+3)

קיבוץ איברים

x>3:+, −1<x<3:−, −3<x<−1:+, x<−3:−x>3:+,\ -1<x<3:-,\ -3<x<-1:+,\ x<-3:-

שלושה שורשים

x<−3 או −1<x<3x<-3 \ \text{או}\ -1<x<3

הקטע x<−3x<-3 נשכח כשמסתכלים רק «בין השורשים». פולינום ממעלה שלישית עם מקדם מוביל חיובי שלילי משמאל. התשובה: x<−3x<-3 או −1<x<3-1<x<3.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה הפונקציה g(x)=x2−4x+1g(x)=\frac{x^2-4}{x+1}. כמה מספרים שלמים בתחום −5≤x≤5-5\le x\le5 מקיימים g(x)≥0g(x)\ge0?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

(x−2)(x+2)x+1≥0\frac{(x-2)(x+2)}{x+1}\ge0

Décomposition

x>2:+, −1<x<2:−, −2<x<−1:+, x<−2:−x>2:+,\ -1<x<2:-,\ -2<x<-1:+,\ x<-2:-

שלוש נקודות

−2≤x<−1 או x≥2-2\le x<-1 \ \text{או}\ x\ge2
{−2, 2, 3, 4, 5}\{-2,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}

חמישה שלמים בתחום

בקטע −2≤x<−1-2\le x<-1 יש רק שלם אחד, −2-2 — כי −1-1 לא מוגדר. ו-x=0x=0 נותן −4<0-4<0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הוכיחו או הפריכו: אם f(x)≥0f(x)\ge0 לכל xx, אז ∣f(x)∣=f(x)|f(x)|=f(x) לכל xx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

∣a∣=a  ⟺  a≥0|a|=a \iff a\ge0

הגדרת ערך מוחלט

f(x)≥0⇒∣f(x)∣=f(x)f(x)\ge0 \Rightarrow |f(x)|=f(x)

מציבים a=f(x)a=f(x) לכל xx

נכון. ולכן הגרף של ∣f∣|f| שונה מהגרף של ff רק בקטעים שבהם ff שלילית — שם הוא מתהפך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

לאילו ערכי kk יש למשוואה x4−6x2=kx^4-6x^2=k בדיוק ארבעה פתרונות?

  1. −3<k<0-3<k<0
  2. k>−9k>-9
  3. −9<k<0-9<k<0
  4. k<0k<0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C −9<k<0-9<k<0

Corrigé :

t=x2: t2−6t−k=0\begin{aligned}t &= x^2:\ t^2-6t-k \\ &= 0\end{aligned}

הצבה

t1≠t2,t1,t2>0t_1 \neq t_2,\quad t_1, t_2 > 0

ארבעה פתרונות בדיוק כשיש שני ערכי tt חיוביים ושונים

Δ=36+4k>0t1t2=−k>0\begin{aligned}\Delta &= 36+4k>0 \\ \quad t_1t_2 &= -k>0\end{aligned}

דיסקרימיננטה חיובית ומכפלה חיובית (הסכום 66 כבר חיובי)

−9<k<0-9<k<0

k>−9k>-9 כולל את k=1k=1, שבו אחד מערכי tt שלילי ויש רק שני פתרונות. בגרף: הישר צריך לעבור בין המינימום −9-9 לבין 00. התשובה: −9<k<0-9<k<0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

כמה פתרונות יש למשוואה ∣x2−6x+5∣=4|x^2-6x+5|=4?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

x2−6x+5=4⇒x2−6x+1=0\begin{aligned}x^2-6x+5 &= 4 \Rightarrow x^2-6x+1 \\ &= 0\end{aligned}

מקרה ראשון: Δ=32>0\Delta=32>0 — שני פתרונות

x2−6x+5=−4⇒(x−3)2=0\begin{aligned}x^2-6x+5 &= -4 \Rightarrow (x-3)^2 \\ &= 0\end{aligned}

מקרה שני: פתרון אחד, x=3x=3

2+1=32+1=3

המקרה השני נותן שורש כפול — פתרון אחד, לא שניים. בגרף: y=4y=4 נוגע בפסגה (3,4)(3,4).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

לאילו ערכי aa מתקיים ax2−4x+a>0ax^2-4x+a>0 לכל xx?

  1. a>0a>0
  2. −2<a<2-2<a<2
  3. a>2a>2 או a<−2a<-2
  4. a>2a>2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D a>2a>2

Corrigé :

a>0a>0

הפרבולה צריכה «לחייך»

Δ=16−4a2<0⇒a<−2 או a>2\Delta=16-4a^2<0 \Rightarrow a<-2 \ \text{או}\ a>2

ואין שורשים

a>2a>2

חיתוך שני התנאים

a<−2a<-2 מקיים את תנאי הדיסקרימיננטה, אבל הפרבולה אז כולה מתחת לציר. התשובה: a>2a>2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

כמה מספרים שלמים מקיימים x2−9x2+x−2<0\frac{x^2-9}{x^2+x-2}<0?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

(x−3)(x+3)(x+2)(x−1)<0\frac{(x-3)(x+3)}{(x+2)(x-1)}<0

Décomposition

x>3:+, 1<x<3:−, −2<x<1:+, −3<x<−2:−, x<−3:+x>3:+,\ 1<x<3:-,\ -2<x<1:+,\ -3<x<-2:-,\ x<-3:+

ארבע נקודות: −3, −2, 1, 3-3,\ -2,\ 1,\ 3

−3<x<−2 או 1<x<3-3<x<-2 \ \text{או}\ 1<x<3
x=2x=2

בקטע −3<x<−2-3<x<-2 אין אף שלם

הקטע −3<x<−2-3<x<-2 פתוח משני הצדדים ולכן ריק משלמים. והנקודות עצמן לא נכללות באי-שוויון חזק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

בפתרון של ∣x−1∣>x+3|x-1|>x+3 שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

x≥1: x−1>x+3⇒−1>3x\ge1:\ x-1>x+3 \Rightarrow -1>3
x<1: 1−x>x+3x<1:\ 1-x>x+3
−2x>2⇒x>−1-2x>2 \Rightarrow x>-1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : −2x>2⇒x>−1-2x>2 \Rightarrow x>-1 → −2x>2⇒x<−1-2x>2 \Rightarrow x<-1

Corrigé :

x≥1x\ge1

אין פתרון — סתירה

x<1: −2x>2x<1:\ -2x>2

מעבירים אגף

x<−1x<-1

חילוק במספר שלילי הופך את הסימן

חילוק ב-−2-2 הופך את הכיוון. הפתרון המלא: x<−1x<-1 (והוא מקיים גם את x<1x<1).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

הוכיחו כי x4−2x2+1≥0x^4-2x^2+1\ge0 לכל xx.

  • xx מספר ממשי כלשהו

x4−2x2+1≥0x^4-2x^2+1\ge0

Voir la réponse et le corrigé
  1. x4−2x2+1=(x2−1)2x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2 — נוסחת הכפל המקוצר (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 עם a=x2, b=1a=x^2,\ b=1
  2. (x2−1)2≥0(x^2-1)^2\ge0 — חזקה שנייה של מספר ממשי אינה שלילית
  3. x4−2x2+1≥0x^4-2x^2+1\ge0 — הצבה של השוויון בטענה הקודמת

Corrigé :

x4−2x2+1=(x2−1)2x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2

זיהוי: t2−2t+1t^2-2t+1 עם t=x2t=x^2

(x2−1)2≥0(x^2-1)^2\ge0

ריבוע אינו שלילי

(x2−1)2=0  ⟺  x=±1\begin{aligned}(x^2-1)^2 &= 0 \iff x \\ &= \pm1\end{aligned}

שוויון בדיוק ב-x=±1x=\pm1 — שני שורשים מריבוי 2

אין צורך בשיטת הקטעים: ריבוע שלם מוכיח את הטענה בשורה אחת. בגרף — הפונקציה נוגעת בציר ב-±1\pm1 ולא יורדת מתחתיו.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe