Série 1 — facile

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות קצרות על כל הפרק: קצב שינוי ממוצע, מדרגות, כללי הגזירה, שיפוע משיק ומשוואת משיק. כל שאלה דורשת צעד אחד או שניים.

לפני כל שאלה שאלו: מבקשים גובה (ff), שיפוע (f′f') או קצב בקטע (מיתר)? רוב הטעויות בסדרה הזאת הן בחירה בפונקציה הלא נכונה.

Exercices

Exercice 1

חשבו את קצב השינוי הממוצע של f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 בקטע [0,3][0, 3].

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f(3)=10f(0)=1\begin{aligned}f(3) &= 10 \\ \quad f(0) &= 1\end{aligned}

הערכים בקצוות

10−13−0=3\frac{10 - 1}{3 - 0} = 3

שינוי ב-yy חלקי שינוי ב-xx

מי שמחלק f(3)3=103\frac{f(3)}{3} = \frac{10}{3} שוכח לחסר את נקודת ההתחלה. קצב הוא שינוי חלקי שינוי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

גזרו: f(x)=7x3f(x) = 7x^3

  1. 21x321x^3
  2. 21x221x^2
  3. 7x27x^2
  4. 10x210x^2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 21x221x^2

Corrigé :

(7x3)′=7⋅3x2(7x^3)' = 7 \cdot 3x^2

מקדם כפול כלל החזקה

=21x2= 21x^2

מכפילים

הנכונה: 21x221x^2. 7x27x^2 לא הוריד את ה-33; 21x321x^3 לא הקטין את החזקה; 10x210x^2 חיבר 7+37 + 3.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה f(x)=x2−5xf(x) = x^2 - 5x. חשבו את f′(4)f'(4).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f′(x)=2x−5f'(x) = 2x - 5

גוזרים איבר-איבר

f′(4)=8−5=3\begin{aligned}f'(4) &= 8 - 5 \\ &= 3\end{aligned}

On remplace (מציבים)

f(4)=−4f(4) = -4 הוא הגובה; f′(4)=3f'(4) = 3 הוא השיפוע. קודם גוזרים, אחר כך מציבים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הנגזרת של הפונקציה f(x)=9f(x) = 9 היא 99.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

f(x+h)−f(x)=9−9=0\begin{aligned}f(x + h) - f(x) &= 9 - 9 \\ &= 0\end{aligned}

לפי ההגדרה

f′(x)=0f'(x) = 0

קו אופקי — שיפוע אפס

לא נכון. פונקציה קבועה היא קו אופקי, ונגזרתה 00 — לא משנה מהו הקבוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

התאימו לכל פונקציה את הנגזרת שלה.

  • x5x^5
  • 4x4x
  • x2+3x^2 + 3
  • 3x23x^2
  • 2x2x
  • 44
  • 5x45x^4
  • 6x6x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x5x^5 — 5x45x^4 · 4x4x — 44 · x2+3x^2 + 3 — 2x2x · 3x23x^2 — 6x6x

Corrigé :

(xn)′=nxn−1(x^n)' = nx^{n-1}

כלל החזקה

(x2+3)′=2x+0(x^2 + 3)' = 2x + 0

הקבוע נעלם

ל-x2+3x^2 + 3 ול-x2x^2 אותה נגזרת: הקבוע מזיז את הגרף, לא מטה אותו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מהו שיפוע המשיק לגרף f(x)=x3−2xf(x) = x^3 - 2x בנקודה שבה x=1x = 1?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

f′(x)=3x2−2f'(x) = 3x^2 - 2

גוזרים

f′(1)=3−2=1\begin{aligned}f'(1) &= 3 - 2 \\ &= 1\end{aligned}

On remplace (מציבים)

הגובה f(1)=−1f(1) = -1 שלילי, אבל השיפוע חיובי. שיפוע המשיק = הנגזרת בנקודה, לא ערך הפונקציה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מהי משוואת המשיק לגרף f(x)=x2+2f(x) = x^2 + 2 בנקודה שבה x=1x = 1?

  1. y=2xy = 2x
  2. y=2x+3y = 2x + 3
  3. y=3x−1y = 3x - 1
  4. y=2x+1y = 2x + 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D y=2x+1y = 2x + 1

Corrigé :

y0=f(1)=3\begin{aligned}y_0 &= f(1) \\ &= 3\end{aligned}

הגובה

m=f′(1)=2\begin{aligned}m &= f'(1) \\ &= 2\end{aligned}

השיפוע

y−3=2(x−1) ⇒ y=2x+1\begin{aligned}y - 3 &= 2(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= 2x + 1\end{aligned}

ישר דרך נקודה

הנכונה: y=2x+1y = 2x + 1. y=3x−1y = 3x - 1 מחליף בין הגובה לשיפוע; y=2x+3y = 2x + 3 שם את הגובה 33 במקום המספר החופשי. בדיקה: ב-x=1x = 1 חייב לצאת 33.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מיינו: בכל נתון, האם הגרף של ff עולה או יורד בנקודה?

  • הגרף עולה בנקודה
  • הגרף יורד בנקודה
  • f′(−2)=−3f'(-2) = -3
  • f′(1)=−0.5f'(1) = -0.5
  • f′(1)=4f'(1) = 4
  • f′(3)=7f'(3) = 7
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : f′(1)=4f'(1) = 4 — הגרף עולה בנקודה · f′(1)=−0.5f'(1) = -0.5 — הגרף יורד בנקודה · f′(3)=7f'(3) = 7 — הגרף עולה בנקודה · f′(−2)=−3f'(-2) = -3 — הגרף יורד בנקודה

Corrigé :

f′(x0)>0f'(x_0) > 0

שיפוע חיובי — עולה

f′(x0)<0f'(x_0) < 0

שיפוע שלילי — יורד

הסימן של הנגזרת קובע את הכיוון. f′(−2)=−3f'(-2) = -3 יורד בגלל −3-3, לא בגלל x=−2x = -2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

על הגרף של f(x)=x2f(x) = x^2 בונים מדרגה שמתחילה ב-x=1x = 1 ורוחבה 0.50.5. מהו קצב השינוי במדרגה? כתבו תשובה עשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.5

Corrigé :

f(1.5)=2.25f(1)=1\begin{aligned}f(1.5) &= 2.25 \\ \quad f(1) &= 1\end{aligned}

קצות המדרגה

2.25−10.5=1.250.5=2.5\begin{aligned}\frac{2.25 - 1}{0.5} &= \frac{1.25}{0.5} \\ &= 2.5\end{aligned}

גובה המדרגה חלקי הרוחב

1.251.25 הוא הגובה של המדרגה. הקצב הוא הגובה חלקי הרוחב — ומדרגה צרה יותר הייתה מתקרבת ל-f′(1)=2f'(1) = 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

גזרו: f(x)=(x+5)2f(x) = (x + 5)^2

  1. 2(x+5)2(x + 5)
  2. x+5x + 5
  3. 2x2x
  4. 2x+52x + 5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 2(x+5)2(x + 5)

Corrigé :

2(x+5)⋅(x+5)′2(x + 5) \cdot (x + 5)'

חיצונית כפול פנימית

(x+5)′=1 ⇒ 2(x+5)(x + 5)' = 1 \ \Rightarrow \ 2(x + 5)

הנגזרת הפנימית היא 11

(x2+10x+25)′=2x+10(x^2 + 10x + 25)' = 2x + 10

בדיקה בפתיחת סוגריים

הנכונה: 2(x+5)2(x + 5), כלומר 2x+102x + 10. 2x2x גוזר רק את x2x^2 ושוכח את 10x10x; 2x+52x + 5 מערבב בין הביטויים.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe