Série 2 — moyen

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות בינוניות: נגזרת לפי ההגדרה, כלל המכפלה ופונקציה מורכבת, משוואת משיק, קריאת הסימן של f′f' מתוך גרף, וקצב ממוצע בתנועה.

בשאלות משיק כתבו שלוש שורות נפרדות: y0=f(x0)y_0 = f(x_0), m=f′(x0)m = f'(x_0), ורק אז המשוואה. מי שמדלג על השורה הראשונה מחליף בין ff ל-f′f'.

Exercices

Exercice 1

נתונה f(x)=3x2f(x) = 3x^2. חשבו לפי ההגדרה את f′(−1)f'(-1).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -6

Corrigé :

f(−1+h)=3(1−2h+h2)=3−6h+3h2\begin{aligned}f(-1 + h) &= 3(1 - 2h + h^2) \\ &= 3 - 6h + 3h^2\end{aligned}

מציבים ופותחים

3−6h+3h2−3h=−6+3h\frac{3 - 6h + 3h^2 - 3}{h} = -6 + 3h

מחסרים f(−1)=3f(-1) = 3 ומחלקים

h→0 ⇒ f′(−1)=−6h \to 0 \ \Rightarrow \ f'(-1) = -6

משאיפים

המלכודת היא (−1+h)2=1+2h+h2(-1 + h)^2 = 1 + 2h + h^2. הסימן של 2h2h שלילי, ובלעדיו יוצא +6+6.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=(x−2)(x2+x)f(x) = (x - 2)(x^2 + x). חשבו את f′(1)f'(1).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1

Corrigé :

f′(x)=1⋅(x2+x)+(x−2)(2x+1)f'(x) = 1 \cdot (x^2 + x) + (x - 2)(2x + 1)

כלל המכפלה

f′(1)=2+(−1)⋅3=−1\begin{aligned}f'(1) &= 2 + (-1) \cdot 3 \\ &= -1\end{aligned}

On remplace (מציבים)

הניחוש f′⋅g′=1⋅(2x+1)f' \cdot g' = 1 \cdot (2x + 1) נותן 33 — אפילו הסימן שגוי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

גזרו: f(x)=(4x−3)2f(x) = (4x - 3)^2

  1. 2(4x−3)2(4x - 3)
  2. 16x−316x - 3
  3. 8x8x
  4. 8(4x−3)8(4x - 3)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 8(4x−3)8(4x - 3)

Corrigé :

2(4x−3)⋅42(4x - 3) \cdot 4

חיצונית כפול פנימית

=8(4x−3)=32x−24= 8(4x - 3) = 32x - 24

מכפילים

(16x2−24x+9)′=32x−24(16x^2 - 24x + 9)' = 32x - 24

בדיקה בפתיחה

הנכונה: 8(4x−3)8(4x - 3). 2(4x−3)2(4x - 3) שוכח את נגזרת הפנימית 44; 8x8x ו-16x−316x - 3 גוזרים את הפנימית בתוך הסוגריים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מצאו את משוואת המשיק לגרף f(x)=x3−xf(x) = x^3 - x בנקודה שבה x=2x = 2. באיזה ערך yy המשיק חותך את ציר ה-yy?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -16

Corrigé :

y0=f(2)=6m=f′(2)=12−1=11\begin{aligned}y_0 &= f(2) \\ &= 6 \\ \quad m &= f'(2) \\ &= 12 - 1 \\ &= 11\end{aligned}

גובה ושיפוע

y−6=11(x−2) ⇒ y=11x−16\begin{aligned}y - 6 &= 11(x - 2) \ \Rightarrow \ y \\ &= 11x - 16\end{aligned}

המשוואה

x=0 ⇒ y=−16\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= -16\end{aligned}

החיתוך

החיתוך עם ציר ה-yy של המשיק הוא −16-16; של הגרף הוא f(0)=0f(0) = 0. שני ישרים שונים, שתי נקודות שונות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5. השלימו.

המשיק לגרף אופקי בנקודה שבה x=x = ____, והגובה של נקודת ההשקה הוא ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : המשיק לגרף אופקי בנקודה שבה x=x = 3, והגובה של נקודת ההשקה הוא -4.

Corrigé :

f′(x)=2x−6=0 ⇒ x=3\begin{aligned}f'(x) &= 2x - 6 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

משיק אופקי

f(3)=9−18+5=−4\begin{aligned}f(3) &= 9 - 18 + 5 \\ &= -4\end{aligned}

הגובה מ-ff

מי שפותר f(x)=0f(x) = 0 מקבל x=1x = 1 ו-x=5x = 5 — החיתוכים עם הציר, לא המשיק האופקי. והגובה הוא f(3)f(3), לא f′(3)=0f'(3) = 0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

בחישוב משוואת המשיק ל-f(x)=x2+3xf(x) = x^2 + 3x בנקודה שבה x=1x = 1 יש שורה שגויה. מצאו אותה.

f′(x)=2x+3f'(x) = 2x + 3
m=f′(1)=5\begin{aligned}m &= f'(1) \\ &= 5\end{aligned}
y0=f′(1)=5\begin{aligned}y_0 &= f'(1) \\ &= 5\end{aligned}
y−5=5(x−1)y - 5 = 5(x - 1)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y0=f′(1)=5y_0 = f'(1) = 5 → y0=f(1)=4y_0 = f(1) = 4

Corrigé :

y0=f(1)=1+3=4\begin{aligned}y_0 &= f(1) \\ &= 1 + 3 \\ &= 4\end{aligned}

הגובה בא מ-ff

y−4=5(x−1) ⇒ y=5x−1\begin{aligned}y - 4 &= 5(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= 5x - 1\end{aligned}

המשיק הנכון

הגובה נלקח מהנגזרת. הישר y=5xy = 5x שיוצא מזה מקביל למשיק אבל לא נוגע בגרף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מכונית נוסעת כך שהמרחק שעברה בק״מ אחרי tt שעות הוא s(t)=t2+4ts(t) = t^2 + 4t. מהי המהירות הממוצעת שלה בין t=1t = 1 ל-t=3t = 3, בקמ״ש?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

s(3)=21s(1)=5\begin{aligned}s(3) &= 21 \\ \quad s(1) &= 5\end{aligned}

המרחקים

21−53−1=8\frac{21 - 5}{3 - 1} = 8

קמ״ש

מהירות ממוצעת היא מיתר, לא נגזרת. s′(2)=8s'(2) = 8 יוצא כאן אותו מספר — כי בפרבולה המיתר מקביל למשיק באמצע הקטע. ב-s′(3)=10s'(3) = 10 או ב-s′(1)=6s'(1) = 6 זה כבר לא עובד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x. סדרו את הנקודות לפי שיפוע המשיק בהן, מהקטן אל הגדול.

  • x=0x = 0
  • x=1x = 1
  • x=3x = 3
  • x=5x = 5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=0x = 0 · x=1x = 1 · x=3x = 3 · x=5x = 5

Corrigé :

f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4

הנגזרת

f′(0)=−4 f′(1)=−2 f′(3)=2 f′(5)=6\begin{aligned}f'(0) &= -4 \\ \ f'(1) &= -2 \\ \ f'(3) &= 2 \\ \ f'(5) &= 6\end{aligned}

On remplace (מציבים)

הסדר של השיפועים כאן הוא סדר ה-xx, כי f′f' עולה. גובה הנקודות מסודר אחרת: f(0)=0>f(1)=−3f(0) = 0 > f(1) = -3.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הוכיחו או הפריכו: אם לשתי פונקציות אותה נגזרת בכל נקודה, אז הן אותה פונקציה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

f(x)=x2g(x)=x2+1\begin{aligned}f(x) &= x^2 \\ \quad g(x) &= x^2 + 1\end{aligned}

דוגמה נגדית

f′(x)=g′(x)=2x\begin{aligned}f'(x) &= g'(x) \\ &= 2x\end{aligned}

אותה נגזרת

f(0)=0≠1=g(0)\begin{aligned}f(0) &= 0 \neq 1 \\ &= g(0)\end{aligned}

פונקציות שונות

הטענה לא נכונה. נגזרות שוות אומרות שהשיפועים שווים — הגרפים יכולים להיות מוזזים זה מזה למעלה או למטה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

הגרף של f
(1, 4)-2-101234-5-4-3-2-112345xy

לפניכם הגרף של ff. איזה תיאור מתאים לגרף של f′f'?

  1. מתאפסת ב-x=−1x = -1 וב-x=3x = 3
  2. חיובית כש-x<1x < 1, מתאפסת ב-x=1x = 1 ושלילית כש-x>1x > 1
  3. שלילית כש-x<1x < 1 וחיובית כש-x>1x > 1
  4. חיובית בכל התחום −1<x<3-1 < x < 3, כי שם ff חיובית
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B חיובית כש-x<1x < 1, מתאפסת ב-x=1x = 1 ושלילית כש-x>1x > 1

Corrigé :

x<1 ⇒ f↗ ⇒ f′>0x < 1 \ \Rightarrow \ f \nearrow \ \Rightarrow \ f' > 0

משמאל לקדקוד הגרף עולה

x=1 ⇒ f′(1)=0\begin{aligned}x &= 1 \ \Rightarrow \ f'(1) \\ &= 0\end{aligned}

בקדקוד המשיק אופקי

x>1 ⇒ f↘ ⇒ f′<0x > 1 \ \Rightarrow \ f \searrow \ \Rightarrow \ f' < 0

מימין הגרף יורד

הנכון: «חיובית כש-x<1x < 1, מתאפסת ב-x=1x = 1 ושלילית כש-x>1x > 1». «מתאפסת ב-−1-1 וב-33» מבלבל בין אפסים של ff לאפסים של f′f'; «חיובית כי ff חיובית» מבלבל גובה בשיפוע.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe