Série 3 — difficile

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות מאתגרות: פרמטרים, שני כללי גזירה באותו ביטוי, משיקים המקבילים לישר, והוכחה «לכל bb».

כשיש פרמטר, כתבו במילים על מה התנאי: על ff (נקודה על הגרף) או על f′f' (שיפוע, משיק אופקי, מקביל). משם המשוואה כותבת את עצמה.

Exercices

Exercice 1

נתונה f(x)=x3f(x) = x^3. חשבו לפי ההגדרה את f′(−1)f'(-1).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

(−1+h)3=−1+3h−3h2+h3(-1 + h)^3 = -1 + 3h - 3h^2 + h^3

פותחים

−1+3h−3h2+h3−(−1)h=3−3h+h2\frac{-1 + 3h - 3h^2 + h^3 - (-1)}{h} = 3 - 3h + h^2

מחסרים f(−1)=−1f(-1) = -1 ומחלקים

h→0 ⇒ f′(−1)=3h \to 0 \ \Rightarrow \ f'(-1) = 3

משאיפים

שתי מלכודות סימן: −(−1)-(-1) הוא +1+1, ו-f′(−1)f'(-1) חיובי אף ש-f(−1)f(-1) שלילי — x3x^3 עולה בכל מקום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=x3+ax2f(x) = x^3 + ax^2, כאשר aa פרמטר. המשיק לגרף בנקודה שבה x=2x = 2 אופקי. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -3

Corrigé :

f′(x)=3x2+2axf'(x) = 3x^2 + 2ax

aa הוא מקדם קבוע

f′(2)=12+4a=0\begin{aligned}f'(2) &= 12 + 4a \\ &= 0\end{aligned}

משיק אופקי

a=−3a = -3

On résout

«משיק אופקי» הוא תנאי על f′f'. מי שמציב ב-ff פותר 8+4a=08 + 4a = 0 ומקבל a=−2a = -2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה f(x)=x2(x−3)3f(x) = x^2(x - 3)^3. חשבו את f′(2)f'(2).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

f′(x)=2x(x−3)3+x2⋅3(x−3)2f'(x) = 2x(x - 3)^3 + x^2 \cdot 3(x - 3)^2

כלל המכפלה, ובתוכו פונקציה מורכבת

f′(2)=4⋅(−1)+4⋅3⋅1=8\begin{aligned}f'(2) &= 4 \cdot (-1) + 4 \cdot 3 \cdot 1 \\ &= 8\end{aligned}

On remplace (מציבים)

(x−3)3(x - 3)^3 ב-x=2x = 2 שווה −1-1, אבל (x−3)2(x - 3)^2 שווה +1+1. הסימן תלוי בחזקה — מציבים בכל גורם בנפרד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מהי משוואת המשיק לגרף f(x)=(x2−3)2f(x) = (x^2 - 3)^2 בנקודה שבה x=−1x = -1?

  1. y=8x+12y = 8x + 12
  2. y=−8x−4y = -8x - 4
  3. y=−4xy = -4x
  4. y=8x−4y = 8x - 4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A y=8x+12y = 8x + 12

Corrigé :

y0=f(−1)=(1−3)2=4\begin{aligned}y_0 &= f(-1) \\ &= (1 - 3)^2 \\ &= 4\end{aligned}

הגובה

f′(x)=2(x2−3)⋅2x=4x(x2−3)\begin{aligned}f'(x) &= 2(x^2 - 3) \cdot 2x \\ &= 4x(x^2 - 3)\end{aligned}

פונקציה מורכבת

m=f′(−1)=−4⋅(−2)=8\begin{aligned}m &= f'(-1) \\ &= -4 \cdot (-2) \\ &= 8\end{aligned}

השיפוע

y−4=8(x+1) ⇒ y=8x+12\begin{aligned}y - 4 &= 8(x + 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= 8x + 12\end{aligned}

המשוואה

הנכונה: y=8x+12y = 8x + 12. y=−4xy = -4x שוכח את נגזרת הפנימית 2x2x; y=8x−4y = 8x - 4 כותב x−1x - 1 במקום x−(−1)x - (-1).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

לגרף f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 יש שני משיקים המקבילים לישר y=9x+1y = 9x + 1. מהו סכום שיעורי ה-yy של שתי נקודות ההשקה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

3x2−6x=9 ⇒ x2−2x−3=0\begin{aligned}3x^2 - 6x &= 9 \ \Rightarrow \ x^2 - 2x - 3 \\ &= 0\end{aligned}

משווים את הנגזרת לשיפוע 99

x=3  x=−1\begin{aligned}x &= 3 \ \\ \ x &= -1\end{aligned}

שתי נקודות השקה

f(3)=2  f(−1)=−2\begin{aligned}f(3) &= 2 \ \\ \ f(-1) &= -2\end{aligned}

הגבהים מ-ff

2+(−2)=02 + (-2) = 0

הסכום

הגבהים באים מ-ff. מי שמציב בנגזרת מקבל 9+9=189 + 9 = 18 — כי בנקודות האלה הנגזרת שווה 99 בהגדרה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

הוכיחו או הפריכו: לכל ערך של bb, לגרף f(x)=x2+bxf(x) = x^2 + bx יש בדיוק משיק אופקי אחד.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f′(x)=2x+bf'(x) = 2x + b

הנגזרת

2x+b=0 ⇒ x=−b2\begin{aligned}2x + b &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -\frac{b}{2}\end{aligned}

פתרון יחיד לכל bb

y=f(−b2)y = f\left(-\frac{b}{2}\right)

המשיק האופקי היחיד — בקדקוד

הטענה נכונה, ולכן צריך נימוק לכל bb — לא דוגמה. f′f' ישר שאינו אופקי, ולכן מתאפס בדיוק פעם אחת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

התאימו לכל פונקציה את הנקודות שבהן המשיק לגרף שלה אופקי.

  • x2−6xx^2 - 6x
  • (x+2)3(x + 2)^3
  • x3−12xx^3 - 12x
  • 5x+15x + 1
  • x=−2x = -2
  • x=2x = 2 ו-x=−2x = -2
  • x=3x = 3
  • אין נקודה כזו
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x2−6xx^2 - 6x — x=3x = 3 · (x+2)3(x + 2)^3 — x=−2x = -2 · x3−12xx^3 - 12x — x=2x = 2 ו-x=−2x = -2 · 5x+15x + 1 — אין נקודה כזו

Corrigé :

(x2−6x)′=2x−6(x^2 - 6x)' = 2x - 6

מתאפסת ב-33

[(x+2)3]′=3(x+2)2\left[(x + 2)^3\right]' = 3(x + 2)^2

מתאפסת ב-−2-2

(x3−12x)′=3x2−12(x^3 - 12x)' = 3x^2 - 12

מתאפסת ב-±2\pm 2

(5x+1)′=5≠0(5x + 1)' = 5 \neq 0

ישר — שיפוע קבוע

לישר 5x+15x + 1 אין משיק אופקי: השיפוע שלו 55 בכל נקודה. ו-(x2−6x)(x^2 - 6x) מתאפסת ב-00 וב-66 — אפסים של ff, לא של f′f'.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

בחישוב f′(1)f'(1) עבור f(x)=x(2x+1)2f(x) = x(2x + 1)^2 יש שורה שגויה. מצאו אותה.

f′(x)=(2x+1)2+x⋅2(2x+1)f'(x) = (2x + 1)^2 + x \cdot 2(2x + 1)
f′(1)=9+6=15\begin{aligned}f'(1) &= 9 + 6 \\ &= 15\end{aligned}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : f′(x)=(2x+1)2+x⋅2(2x+1)f'(x) = (2x + 1)^2 + x \cdot 2(2x + 1) → f′(x)=(2x+1)2+x⋅2(2x+1)⋅2f'(x) = (2x + 1)^2 + x \cdot 2(2x + 1) \cdot 2

Corrigé :

f′(x)=(2x+1)2+x⋅2(2x+1)⋅2f'(x) = (2x + 1)^2 + x \cdot 2(2x + 1) \cdot 2

הנגזרת של (2x+1)2(2x + 1)^2 כוללת את הכופל 22

f′(1)=9+12=21\begin{aligned}f'(1) &= 9 + 12 \\ &= 21\end{aligned}

הערך הנכון

כלל המכפלה נכתב נכון, אבל בתוכו נשכחה הנגזרת הפנימית. השורה השנייה מחשבת נכון את מה שקיבלה — הטעות בשורה הראשונה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הטמפרטורה במעלות אחרי tt שעות מהזריחה היא T(t)=−t2+8t+10T(t) = -t^2 + 8t + 10. מהו קצב השינוי הרגעי של הטמפרטורה ב-t=6t = 6, במעלות לשעה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -4

Corrigé :

T′(t)=−2t+8T'(t) = -2t + 8

הקצב הרגעי הוא הנגזרת

T′(6)=−12+8=−4\begin{aligned}T'(6) &= -12 + 8 \\ &= -4\end{aligned}

On remplace (מציבים)

הטמפרטורה עצמה ב-t=6t = 6 היא 2222 מעלות — חמה. אבל הקצב שלילי: היא כבר מתקררת. ערך גבוה אינו קצב חיובי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה f(x)=x2+3xf(x) = x^2 + 3x. קצב השינוי הממוצע של ff בקטע [1,1+h][1, 1 + h] שווה 77. מצאו את hh.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f(1+h)−f(1)h=2h+h2+3hh=5+h\begin{aligned}\frac{f(1 + h) - f(1)}{h} &= \frac{2h + h^2 + 3h}{h} \\ &= 5 + h\end{aligned}

המנה

5+h=7 ⇒ h=2\begin{aligned}5 + h &= 7 \ \Rightarrow \ h \\ &= 2\end{aligned}

On résout

כאן לא משאיפים את hh לאפס: שואלים על מיתר מסוים, לא על משיק. f′(1)=5f'(1) = 5 הוא הגבול, ולא התשובה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe