Série 4 — avancé

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות מתקדמות: הוכחה מתוך ההגדרה, כלל הפונקציה המורכבת על פונקציה שאינה נתונה, משיק מנקודה שמחוץ לגרף, וגרף של f′f' שצריך לקרוא נכון.

בשאלה עם גרף — קראו קודם את הכותרת: האם מצויר ff או f′f'? אותו ציור אומר דברים הפוכים בשני המקרים.

Exercices

Exercice 1

נתונה f(x)=x3f(x) = x^3. הוכיחו מתוך הגדרת הנגזרת ש-f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2.

  • f(x)=x3f(x) = x^3
  • f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2

Voir la réponse et le corrigé
  1. (x+h)3=x3+3x2h+3xh2+h3(x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 — פתיחת סוגריים
  2. f(x+h)−f(x)=3x2h+3xh2+h3f(x+h) - f(x) = 3x^2h + 3xh^2 + h^3 — חיסור x3x^3
  3. f(x+h)−f(x)h=3x2+3xh+h2\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2 — חלוקה ב-h≠0h \neq 0
  4. f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2 — כש-h→0h \to 0 שני האיברים עם hh שואפים לאפס

Corrigé :

(x+h)3=x3+3x2h+3xh2+h3(x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3

פתיחת סוגריים

f(x+h)−f(x)=3x2h+3xh2+h3f(x+h) - f(x) = 3x^2h + 3xh^2 + h^3

חיסור x3x^3

f(x+h)−f(x)h=3x2+3xh+h2\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2

חלוקה ב-h≠0h \neq 0

f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2

כש-h→0h \to 0 שני האיברים עם hh שואפים לאפס

המלכודת היא (x+h)3=x3+h3(x + h)^3 = x^3 + h^3. בלי האיבר 3x2h3x^2h המנה שואפת ל-00, והנגזרת «נעלמת».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=a(x−1)3+2xf(x) = a(x - 1)^3 + 2x, כאשר aa פרמטר. המשיק לגרף בנקודה שבה x=2x = 2 מקביל לישר y=8x−5y = 8x - 5. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f′(x)=3a(x−1)2+2f'(x) = 3a(x - 1)^2 + 2

פונקציה מורכבת עם מקדם aa

f′(2)=3a+2f'(2) = 3a + 2

On remplace (מציבים)

3a+2=8 ⇒ a=2\begin{aligned}3a + 2 &= 8 \ \Rightarrow \ a \\ &= 2\end{aligned}

מקביל — שיפוע 88

−5-5 אינו חלק מהתנאי: מקבילות קובעת רק את השיפוע. מי שמשווה f(2)=−5f(2) = -5 פותר משוואה אחרת לגמרי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתון: g(1)=2g(1) = 2 ו-g′(1)=3g'(1) = 3. נגדיר f(x)=[g(x)]3f(x) = [g(x)]^3. מהו f′(1)f'(1)?

  1. 99
  2. 3636
  3. 2727
  4. 1212
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 3636

Corrigé :

f′(x)=3[g(x)]2⋅g′(x)f'(x) = 3[g(x)]^2 \cdot g'(x)

חיצונית u3u^3, פנימית gg

f′(1)=3⋅22⋅3=36\begin{aligned}f'(1) &= 3 \cdot 2^2 \cdot 3 \\ &= 36\end{aligned}

On remplace (מציבים)

הנכונה: 3636. 1212 הוא 3[g(1)]23[g(1)]^2 בלי הכופל g′(1)g'(1); 2727 מעלה בחזקה את g′g' במקום את gg; 99 שוכח את [g(1)]2[g(1)]^2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

המשיק לגרף f(x)=x2f(x) = x^2 בנקודה שבה x=ax = a עובר דרך הנקודה (0,−9)(0, -9). מצאו את הערך החיובי של aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

y−a2=2a(x−a)y - a^2 = 2a(x - a)

המשיק בנקודה (a,a2)(a, a^2)

−9−a2=2a(0−a)=−2a2\begin{aligned}-9 - a^2 &= 2a(0 - a) \\ &= -2a^2\end{aligned}

מציבים (0,−9)(0, -9)

a2=9 ⇒ a=3\begin{aligned}a^2 &= 9 \ \Rightarrow \ a \\ &= 3\end{aligned}

הפתרון החיובי; יש גם a=−3a = -3

הנקודה (0,−9)(0, -9) אינה על הפרבולה, ולכן היא לא נקודת ההשקה. מציבים אותה במשוואת המשיק, לא ב-ff.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

הוכיחו או הפריכו: אם f′(x)>0f'(x) > 0 לכל xx, אז f(x)>0f(x) > 0 לכל xx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

f(x)=xf(x) = x

דוגמה נגדית

f′(x)=1>0f'(x) = 1 > 0

הנגזרת חיובית בכל מקום

f(−1)=−1<0f(-1) = -1 < 0

והפונקציה שלילית שם

הטענה לא נכונה. f′>0f' > 0 אומר שהגרף עולה; הוא יכול לעלות כשהוא עדיין מתחת לציר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה f(x)=x2−4x+5f(x) = x^2 - 4x + 5. המשיקים לגרף בנקודות שבהן x=1x = 1 ו-x=3x = 3 נחתכים בנקודה אחת. מהו שיעור ה-xx של נקודת החיתוך?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

x=1: y0=2 m=−2 ⇒ y=−2x+4\begin{aligned}x &= 1: \ y_0 \\ &= 2 \\ \ m &= -2 \ \Rightarrow \ y \\ &= -2x + 4\end{aligned}

המשיק הראשון

x=3: y0=2 m=2 ⇒ y=2x−4\begin{aligned}x &= 3: \ y_0 \\ &= 2 \\ \ m &= 2 \ \Rightarrow \ y \\ &= 2x - 4\end{aligned}

המשיק השני

−2x+4=2x−4 ⇒ x=2\begin{aligned}-2x + 4 &= 2x - 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

משווים

נקודת החיתוך (2,0)(2, 0) אינה על הגרף: f(2)=1f(2) = 1. שני משיקים נפגשים מחוץ לפרבולה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הגרף של הנגזרת f'
-22-3-2-10123-5-4-3-2-112345xy

לפניכם הגרף של הנגזרת f′f' (לא של ff). באיזה תחום הפונקציה ff יורדת?

  1. −4<x<0-4 < x < 0
  2. x<−2x < -2 או x>2x > 2
  3. −2<x<2-2 < x < 2
  4. x<0x < 0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C −2<x<2-2 < x < 2

Corrigé :

f↘ ⇔ f′<0f \searrow \ \Leftrightarrow \ f' < 0

יורדת היכן שהנגזרת שלילית

f′(x)<0 ב- −2<x<2f'(x) < 0 \ \text{ב-} \ -2 < x < 2

הגרף של f′f' מתחת לציר

הנכון: −2<x<2-2 < x < 2. «x<0x < 0» קורא את הגרף כאילו הוא ff — שם f′f' יורדת, לא ff. «x<−2x < -2 או x>2x > 2» הוא התחום שבו ff עולה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה f(x)=(x−2)2(x+1)f(x) = (x - 2)^2(x + 1). השלימו.

המשיק לגרף אופקי ב-x=0x = 0 ובעוד נקודה אחת, שבה x=x = ____. הגובה של נקודת ההשקה ב-x=0x = 0 הוא ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : המשיק לגרף אופקי ב-x=0x = 0 ובעוד נקודה אחת, שבה x=x = 2. הגובה של נקודת ההשקה ב-x=0x = 0 הוא 4.

Corrigé :

f′(x)=2(x−2)(x+1)+(x−2)2f'(x) = 2(x - 2)(x + 1) + (x - 2)^2

מכפלה ופונקציה מורכבת

=(x−2)(2x+2+x−2)=3x(x−2)= (x - 2)(2x + 2 + x - 2) = 3x(x - 2)

גורם משותף x−2x - 2

f(0)=4⋅1=4\begin{aligned}f(0) &= 4 \cdot 1 \\ &= 4\end{aligned}

הגובה

הוצאת הגורם המשותף x−2x - 2 חוסכת פתיחה של שלוש מכפלות. x=−1x = -1 הוא אפס של ff, לא של f′f'.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מיינו את הטענות: אילו נכונות לכל ff ו-gg גזירות?

  • נכון תמיד
  • לא תמיד נכון
  • (5f)′=5f′(5f)' = 5f'
  • (f⋅g)′=f′⋅g′(f \cdot g)' = f' \cdot g'
  • (f+7)′=f′(f + 7)' = f'
  • (f+g)′=f′+g′(f + g)' = f' + g'
  • ([f(x)]2)′=2f(x)\left([f(x)]^2\right)' = 2f(x)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (f+g)′=f′+g′(f + g)' = f' + g' — נכון תמיד · (f⋅g)′=f′⋅g′(f \cdot g)' = f' \cdot g' — לא תמיד נכון · (5f)′=5f′(5f)' = 5f' — נכון תמיד · ([f(x)]2)′=2f(x)\left([f(x)]^2\right)' = 2f(x) — לא תמיד נכון · (f+7)′=f′(f + 7)' = f' — נכון תמיד

Corrigé :

(f⋅g)′=f′g+fg′(f \cdot g)' = f'g + fg'

כלל המכפלה

([f(x)]2)′=2f(x)f′(x)\left([f(x)]^2\right)' = 2f(x)f'(x)

פונקציה מורכבת

בשתי הטענות השגויות חסר איבר או כופל: במכפלה — האיבר השני; בריבוע — הכופל f′(x)f'(x). הדוגמה f=g=xf = g = x מפילה את שתיהן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נפח של קובייה שאורך מקצועה xx ס״מ הוא V(x)=x3V(x) = x^3 סמ״ק. מהו קצב השינוי של הנפח ביחס לאורך המקצוע כש-x=2x = 2, בסמ״ק לס״מ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

V′(x)=3x2V'(x) = 3x^2

קצב השינוי הרגעי

V′(2)=12V'(2) = 12

On remplace (מציבים)

V(2)=8V(2) = 8 הוא הנפח; V′(2)=12V'(2) = 12 הוא בכמה סמ״ק גדל הנפח לכל ס״מ נוסף במקצוע, ברגע ש-x=2x = 2.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe