Série 5 — vers le bagrut

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות בניסוח של הבגרות: כמה סעיפים שנדחסו לתשובה אחת, פרמטרים שנקבעים ממשיק, «האם ייתכן», הוכחה, ותנועה.

בבגרות כל סעיף נשען על הקודם. כתבו את הנגזרת בשורה נפרדת ובדקו אותה פעם אחת — טעות בה עוברת לכל הסעיפים שאחריה.

Exercices

Exercice 1

נתונה f(x)=x3−3x2−9x+2f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2. מהו שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה הגרף חותך את ציר ה-yy?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -9

Corrigé :

x=0x = 0

נקודת החיתוך עם ציר ה-yy

f′(x)=3x2−6x−9f'(x) = 3x^2 - 6x - 9

גוזרים

m=f′(0)=−9\begin{aligned}m &= f'(0) \\ &= -9\end{aligned}

On remplace (מציבים)

חיתוך עם ציר ה-yy פירושו x=0x = 0 — ומשם לנגזרת. f(0)=2f(0) = 2 הוא הגובה של הנקודה, לא השיפוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=x3−3x2−9x+2f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2. מהי משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה x=1x = 1?

  1. y=−12x+3y = -12x + 3
  2. y=−9x+3y = -9x + 3
  3. y=−12x−9y = -12x - 9
  4. y=−12x+21y = -12x + 21
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A y=−12x+3y = -12x + 3

Corrigé :

y0=f(1)=1−3−9+2=−9\begin{aligned}y_0 &= f(1) \\ &= 1 - 3 - 9 + 2 \\ &= -9\end{aligned}

הגובה

m=f′(1)=3−6−9=−12\begin{aligned}m &= f'(1) \\ &= 3 - 6 - 9 \\ &= -12\end{aligned}

השיפוע

y+9=−12(x−1) ⇒ y=−12x+3\begin{aligned}y + 9 &= -12(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= -12x + 3\end{aligned}

המשוואה

הנכונה: y=−12x+3y = -12x + 3. y=−12x+21y = -12x + 21 כותב y−9y - 9 במקום y−(−9)y - (-9); y=−12x−9y = -12x - 9 שוכח לפתוח את −12(x−1)-12(x - 1).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה f(x)=x3+ax2+bxf(x) = x^3 + ax^2 + bx. המשיק לגרף בנקודה שבה x=1x = 1 הוא y=2x−3y = 2x - 3. מצאו את aa ואת bb, ורשמו את bb.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -3

Corrigé :

f(1)=2⋅1−3=−1 ⇒ 1+a+b=−1\begin{aligned}f(1) &= 2 \cdot 1 - 3 \\ &= -1 \ \Rightarrow \ 1 + a + b \\ &= -1\end{aligned}

נקודת ההשקה על המשיק

f′(1)=2 ⇒ 3+2a+b=2\begin{aligned}f'(1) &= 2 \ \Rightarrow \ 3 + 2a + b \\ &= 2\end{aligned}

השיפוע של המשיק

(3+2a+b)−(1+a+b)=2+a=3 ⇒ a=1\begin{aligned}(3 + 2a + b) - (1 + a + b) &= 2 + a \\ &= 3 \ \Rightarrow \ a \\ &= 1\end{aligned}

מחסרים את המשוואות

b=−2−a=−3\begin{aligned}b &= -2 - a \\ &= -3\end{aligned}

On remplace (מציבים)

משוואת משיק נותנת שני תנאים: הנקודה (על ff) והשיפוע (על f′f'). מי שמשתמש רק בשיפוע נשאר עם שני נעלמים ומשוואה אחת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הוכיחו או הפריכו: לגרף f(x)=x2f(x) = x^2 יש שני משיקים המאונכים זה לזה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f′(x)=2xf'(x) = 2x

שיפוע המשיק ב-xx

x=12⇒m1=1x=−12⇒m2=−1\begin{aligned}x &= \frac{1}{2} \Rightarrow m_1 \\ &= 1 \\ \quad x &= -\frac{1}{2} \Rightarrow m_2 \\ &= -1\end{aligned}

שתי נקודות

m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1

מכפלת שיפועים −1-1 — מאונכים

הטענה נכונה, ולכן מספיקה דוגמה אחת. ישרים מאונכים — מכפלת השיפועים −1-1, לא סכומם אפס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מצאו את משוואת המשיק לגרף f(x)=x3−4xf(x) = x^3 - 4x בנקודה שבה x=1x = 1. באיזה ערך xx המשיק חותך את ציר ה-xx?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -2

Corrigé :

y0=f(1)=−3m=f′(1)=3−4=−1\begin{aligned}y_0 &= f(1) \\ &= -3 \\ \quad m &= f'(1) \\ &= 3 - 4 \\ &= -1\end{aligned}

גובה ושיפוע

y+3=−(x−1) ⇒ y=−x−2\begin{aligned}y + 3 &= -(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= -x - 2\end{aligned}

המשוואה

y=0 ⇒ x=−2\begin{aligned}y &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -2\end{aligned}

החיתוך עם ציר ה-xx

חיתוך עם ציר ה-xx פירושו y=0y = 0 במשוואת המשיק. ff עצמה חותכת את הציר ב-00 וב-±2\pm 2 — ובמקרה גם ב-−2-2, אבל זה לא הנימוק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

הפרבולה, המשיק והמשולש עם הצירים
נקודת ההשקה??-10123-1123456xy

המשיק לגרף f(x)=4−x2f(x) = 4 - x^2 בנקודה שבה x=1x = 1 יוצר משולש עם הצירים. מהו שטח המשולש? כתבו תשובה עשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6.25

Corrigé :

y0=3m=−2 ⇒ y=−2x+5\begin{aligned}y_0 &= 3 \\ \quad m &= -2 \ \Rightarrow \ y \\ &= -2x + 5\end{aligned}

משוואת המשיק

x=0⇒y=5y=0⇒x=2.5\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= 5 \\ \quad y &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2.5\end{aligned}

החיתוכים עם הצירים

S=5⋅2.52=6.25\begin{aligned}S &= \frac{5 \cdot 2.5}{2} \\ &= 6.25\end{aligned}

משולש ישר-זווית

הניצבים של המשולש הם החיתוכים של המשיק, לא של הפרבולה (44 ו-22). מי שמשתמש בפרבולה מקבל 44.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הגרף של f
(-1, 2)(1, -2)-3-2-10123-4-3-2-11234xy

לפניכם הגרף של f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x. איזו טענה נכונה?

  1. f′(1)>0f'(1) > 0
  2. f′(−1)<0f'(-1) < 0
  3. f′(0)<0f'(0) < 0
  4. f′(−2)<0f'(-2) < 0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C f′(0)<0f'(0) < 0

Corrigé :

f′(x)=3x2−3f'(x) = 3x^2 - 3

הנגזרת

f′(0)=−3 f′(1)=0 f′(−2)=9 f′(−1)=0\begin{aligned}f'(0) &= -3 \\ \ f'(1) &= 0 \\ \ f'(-2) &= 9 \\ \ f'(-1) &= 0\end{aligned}

On remplace (מציבים)

x=0 ⇒ f↘x = 0 \ \Rightarrow \ f \searrow

בגרף: בין שתי נקודות הקיצון הגרף יורד

הנכונה: f′(0)<0f'(0) < 0. ב-x=±1x = \pm 1 המשיק אופקי, ולכן f′=0f' = 0 — לא חיובי ולא שלילי. ב-x=−2x = -2 הגרף עולה, אף שהוא מתחת לציר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה f(x)=(ax−1)3f(x) = (ax - 1)^3, כאשר aa פרמטר ממשי. שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x=1x = 1 הוא 66. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f′(x)=3(ax−1)2⋅af'(x) = 3(ax - 1)^2 \cdot a

נגזרת הפנימית היא aa

f′(1)=3a(a−1)2=6 ⇒ a3−2a2+a−2=0\begin{aligned}f'(1) &= 3a(a - 1)^2 \\ &= 6 \ \Rightarrow \ a^3 - 2a^2 + a - 2 \\ &= 0\end{aligned}

משווים ומסדרים

(a−2)(a2+1)=0 ⇒ a=2\begin{aligned}(a - 2)(a^2 + 1) &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 2\end{aligned}

ל-a2+1a^2 + 1 אין שורש ממשי

הפרמטר מופיע פעמיים בנגזרת: בתוך הסוגריים וככופל. מי ששוכח את הכופל פותר 3(a−1)2=63(a - 1)^2 = 6 ומקבל 1±21 \pm \sqrt{2}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה f(x)=x3+xf(x) = x^3 + x. הוכיחו כי לגרף של ff אין משיק אופקי.

  • f(x)=x3+xf(x) = x^3 + x
  • משיק אופקי: f′(x0)=0f'(x_0) = 0

לגרף אין משיק אופקי

Voir la réponse et le corrigé
  1. f′(x)=3x2+1f'(x) = 3x^2 + 1 — כלל החזקה וכלל הסכום
  2. 3x2≥03x^2 \geq 0 — ריבוע של מספר ממשי אינו שלילי
  3. f′(x)≥1f'(x) \geq 1 — הוספת 11 לשני האגפים
  4. f′(x)≠0f'(x) \neq 0 — מספר שגדול או שווה ל-11 אינו אפס
  5. לגרף אין משיק אופקי — משיק אופקי מחייב f′(x0)=0f'(x_0) = 0

Corrigé :

f′(x)=3x2+1f'(x) = 3x^2 + 1

כלל החזקה וכלל הסכום

3x2≥03x^2 \geq 0

ריבוע של מספר ממשי אינו שלילי

f′(x)≥1f'(x) \geq 1

הוספת 11 לשני האגפים

f′(x)≠0f'(x) \neq 0

מספר שגדול או שווה ל-11 אינו אפס

«ניסיתי כמה ערכים ולא יצא אפס» אינו הוכחה. הטענה היא על כל xx, ולכן הנימוק הוא אי-שוויון שנכון לכל xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מקומו של גוף על ישר, במטרים, אחרי tt שניות הוא s(t)=t3−6t2+9ts(t) = t^3 - 6t^2 + 9t. מהירות הגוף מתאפסת פעמיים. באיזה רגע היא מתאפסת בפעם השנייה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

v(t)=s′(t)=3t2−12t+9\begin{aligned}v(t) &= s'(t) \\ &= 3t^2 - 12t + 9\end{aligned}

המהירות היא הנגזרת של המקום

3(t−1)(t−3)=03(t - 1)(t - 3) = 0

מפרקים

t=1  t=3\begin{aligned}t &= 1 \ \\ \ t &= 3\end{aligned}

הפעם השנייה: t=3t = 3

מקום אפס ומהירות אפס הם שני דברים: s(t)=0s(t) = 0 ב-t=0t = 0 וב-t=3t = 3, אבל הגוף נעצר ב-t=1t = 1 וב-t=3t = 3. כאן רק במקרה 33 מופיע בשתי הרשימות.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe