Entraînement

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשרה תרגילים על כל הפרק: קצב שינוי ממוצע, נגזרת לפי ההגדרה, כללי הגזירה, כלל המכפלה, פונקציה מורכבת, משיקים ותנועה. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

Exercices

Série A — Facile

Exercice 1

גזרו: f(x)=4x5−3xf(x) = 4x^5 - 3x

  1. 4x4−34x^4 - 3
  2. 20x5−320x^5 - 3
  3. 20x420x^4
  4. 20x4−320x^4 - 3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 20x4−320x^4 - 3

Corrigé :

(4x5)′=4⋅5x4=20x4\begin{aligned}(4x^5)' &= 4 \cdot 5x^4 \\ &= 20x^4\end{aligned}

מקדם כפול נגזרת החזקה

(3x)′=3(3x)' = 3

גוזרים איבר-איבר: f′(x)=20x4−3f'(x) = 20x^4 - 3.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

בבאר שבע נמדדה בשעה 8:00 טמפרטורה של 1818 מעלות, ובשעה 13:00 — 3333 מעלות. מהו קצב השינוי הממוצע של הטמפרטורה בין שתי המדידות, במעלות לשעה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

ΔyΔx=33−1813−8\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{33 - 18}{13 - 8}

שינוי בטמפרטורה חלקי שינוי בזמן

155=3\frac{15}{5} = 3

בממוצע העיר התחממה ב-33 מעלות בכל שעה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה f(x)=x3−2xf(x) = x^3 - 2x. חשבו את f′(2)f'(2).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

f′(x)=3x2−2f'(x) = 3x^2 - 2

קודם הביטוי

f′(2)=3⋅4−2=10\begin{aligned}f'(2) &= 3 \cdot 4 - 2 \\ &= 10\end{aligned}

ורק אז מציבים

f′(2)=10f'(2) = 10.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ב — בינוני

Exercice 4

נתונה f(x)=x2+3xf(x) = x^2 + 3x. חשבו לפי ההגדרה את f′(2)f'(2).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

f(2)=4+6=10\begin{aligned}f(2) &= 4 + 6 \\ &= 10\end{aligned}
f(2+h)=4+4h+h2+6+3h=10+7h+h2\begin{aligned}f(2 + h) &= 4 + 4h + h^2 + 6 + 3h \\ &= 10 + 7h + h^2\end{aligned}
f(2+h)−f(2)h=7h+h2h=7+h\begin{aligned}\frac{f(2 + h) - f(2)}{h} &= \frac{7h + h^2}{h} \\ &= 7 + h\end{aligned}

שיפוע המיתר, h≠0h \neq 0

h→0 ⇒ f′(2)=7h \to 0 \ \Rightarrow \ f'(2) = 7

בדיקה בכללים: f′(x)=2x+3f'(x) = 2x + 3, ו-f′(2)=7f'(2) = 7.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתון f(x)=(x2−1)(3x+2)f(x) = (x^2 - 1)(3x + 2). חשבו את f′(1)f'(1).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

f′(x)=2x(3x+2)+(x2−1)⋅3f'(x) = 2x(3x + 2) + (x^2 - 1) \cdot 3

כלל המכפלה

f′(1)=2⋅5+0⋅3=10\begin{aligned}f'(1) &= 2 \cdot 5 + 0 \cdot 3 \\ &= 10\end{aligned}

f′(1)=10f'(1) = 10. מי שגזר כל גורם בנפרד וכפל קיבל 2⋅3=62 \cdot 3 = 6 — טעות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתון f(x)=(2x−3)4f(x) = (2x - 3)^4. חשבו את f′(2)f'(2).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

f′(x)=4(2x−3)3⋅2f'(x) = 4(2x - 3)^3 \cdot 2

נגזרת החיצונית כפול נגזרת הפנימית

f′(2)=4⋅13⋅2=8\begin{aligned}f'(2) &= 4 \cdot 1^3 \cdot 2 \\ &= 8\end{aligned}

f′(2)=8f'(2) = 8. בלי הכפל בנגזרת הפנימית יוצא 44.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה f(x)=x2−3x+1f(x) = x^2 - 3x + 1. מהי משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה x=2x = 2?

  1. y=x−3y = x - 3
  2. y=−x+1y = -x + 1
  3. y=x+3y = x + 3
  4. y=x−1y = x - 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A y=x−3y = x - 3

Corrigé :

y0=f(2)=4−6+1=−1\begin{aligned}y_0 &= f(2) \\ &= 4 - 6 + 1 \\ &= -1\end{aligned}

הנקודה

m=f′(2)=2⋅2−3=1\begin{aligned}m &= f'(2) \\ &= 2 \cdot 2 - 3 \\ &= 1\end{aligned}

השיפוע

y−(−1)=1⋅(x−2)⇒y=x−3\begin{aligned}y - (-1) &= 1 \cdot (x - 2) \Rightarrow y \\ &= x - 3\end{aligned}

המשוואה

המשיק הוא y=x−3y = x - 3. בדיקה: ב-x=2x = 2 הוא נותן −1-1.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ג — מאתגר

Exercice 8

נתונה f(x)=ax3−2x2f(x) = ax^3 - 2x^2, כאשר aa פרמטר. המשיק לגרף בנקודה שבה x=1x = 1 מקביל לישר y=5x+4y = 5x + 4. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f′(x)=3ax2−4xf'(x) = 3ax^2 - 4x
f′(1)=3a−4f'(1) = 3a - 4

השיפוע בנקודה

3a−4=5⇒a=3\begin{aligned}3a - 4 &= 5 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

ישרים מקבילים — שיפועים שווים

התנאי הוא על f′f', לא על ff: a=3a = 3.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

רכבת קלה בירושלים יוצאת מתחנה. המרחק שלה מהתחנה אחרי tt שניות הוא s(t)=2t3−3t2s(t) = 2t^3 - 3t^2 מטרים (עבור 1≤t≤41 \le t \le 4). המהירות היא v(t)=s′(t)v(t) = s'(t). באיזה רגע tt המהירות היא 3636 מטרים לשנייה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

v(t)=s′(t)=6t2−6t\begin{aligned}v(t) &= s'(t) \\ &= 6t^2 - 6t\end{aligned}
6t2−6t=36⇒t2−t−6=0\begin{aligned}6t^2 - 6t &= 36 \Rightarrow t^2 - t - 6 \\ &= 0\end{aligned}
(t−3)(t+2)=0⇒t=3\begin{aligned}(t - 3)(t + 2) &= 0 \Rightarrow t \\ &= 3\end{aligned}

זמן חיובי

אחרי 33 שניות. בדיקה: v(3)=54−18=36v(3) = 54 - 18 = 36.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מצאו את כל המשיקים לגרף f(x)=x3−3x2f(x) = x^3 - 3x^2 ששיפועם 99.

  1. y=9x−27y = 9x - 27 בלבד
  2. y=9x−27y = 9x - 27 ו-y=9x+5y = 9x + 5
  3. y=9x+27y = 9x + 27 ו-y=9x−5y = 9x - 5
  4. y=9x−3y = 9x - 3 ו-y=9x+1y = 9x + 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B y=9x−27y = 9x - 27 ו-y=9x+5y = 9x + 5

Corrigé :

f′(x)=3x2−6x=9\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 6x \\ &= 9\end{aligned}
x2−2x−3=0⇒x=3 x=−1\begin{aligned}x^2 - 2x - 3 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3 \\ \ x &= -1\end{aligned}

שתי נקודות השקה

f(3)=0⇒y=9(x−3)=9x−27\begin{aligned}f(3) &= 0 \Rightarrow y \\ &= 9(x - 3) \\ &= 9x - 27\end{aligned}
f(−1)=−4⇒y=9(x+1)−4=9x+5\begin{aligned}f(-1) &= -4 \Rightarrow y \\ &= 9(x + 1) - 4 \\ &= 9x + 5\end{aligned}

למשוואה הריבועית שני פתרונות, ולכן יש שני משיקים.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe