Règles de dérivation et polynômes

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ביחידה הקודמת חישבנו נגזרות לפי ההגדרה: מציבים, מחסרים, מחלקים, משאיפים. זה עובד, אבל ארוך. כאן נוכיח פעם אחת כמה כללים, ומהם נגזור כל פולינום בשורה אחת.

נגזרת של פונקציה קבועה

הגרף של f(x)=cf(x) = c הוא קו אופקי. לקו אופקי אין שיפוע — וההגדרה אומרת בדיוק את זה:

הוכחה: (c)′=0(c)' = 0

נתונה f(x)=cf(x) = c, כאשר cc מספר קבוע.

f(x+h)−f(x)=c−c=0\begin{aligned}f(x + h) - f(x) &= c - c \\ &= 0\end{aligned}

הפונקציה נותנת cc לכל קלט

0h=0\frac{0}{h} = 0

לכל h≠0h \neq 0

h→0 ⇒ f′(x)=0h \to 0 \ \Rightarrow \ f'(x) = 0

המנה היא אפס כל הזמן, וגם הגבול

כלל החזקה

לפי ההגדרה כבר מצאנו (x2)′=2x(x^2)' = 2x ו-(x3)′=3x2(x^3)' = 3x^2. ישר y=xy = x שיפועו 11. נסדר את התוצאות בטבלה ונחפש חוקיות:

(x)′=1=1⋅x0\begin{aligned}(x)' &= 1 \\ &= 1 \cdot x^0\end{aligned}

שיפוע הישר

(x2)′=2x1(x^2)' = 2x^1

מההגדרה, (x+h)2−x2h=2x+h\frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = 2x + h

(x3)′=3x2(x^3)' = 3x^2

מההגדרה, (x+h)3−x3h=3x2+3xh+h2\frac{(x+h)^3 - x^3}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2

לפי החוקיות בטבלה, מהי הנגזרת של x4x^4?

Voir la réponse et le corrigé

4x34x^3. בפתיחת (x+h)4(x + h)^4 האיבר שיש בו hh בחזקה ראשונה הוא 4x3h4x^3h, וכל שאר האיברים עם hh נעלמים בגבול.

(xn)′=n⋅xn−1(x^n)' = n \cdot x^{n-1}

החזקה יורדת ומכפילה, והחזקה עצמה קטנה באחד. שני הדברים קורים יחד.

מקדם וסכום

(c⋅f)′=c⋅f′(c \cdot f)' = c \cdot f'

מקדם קבוע נשאר ומכפיל את הנגזרת.

(f+g)′=f′+g′(f + g)' = f' + g'

גוזרים איבר-איבר.

הוכחה: כלל הסכום

נתון s(x)=f(x)+g(x)s(x) = f(x) + g(x), ו-ff ו-gg גזירות.

s(x+h)−s(x)=[f(x+h)−f(x)]+[g(x+h)−g(x)]s(x + h) - s(x) = [f(x + h) - f(x)] + [g(x + h) - g(x)]

מסדרים מחדש את ארבעת האיברים

s(x+h)−s(x)h=f(x+h)−f(x)h+g(x+h)−g(x)h\frac{s(x + h) - s(x)}{h} = \frac{f(x + h) - f(x)}{h} + \frac{g(x + h) - g(x)}{h}

מחלקים כל סוגריים ב-hh

h→0 ⇒ s′(x)=f′(x)+g′(x)h \to 0 \ \Rightarrow \ s'(x) = f'(x) + g'(x)

כל מנה שואפת לנגזרת שלה

באותה דרך בדיוק מוכיחים את כלל המקדם: cf(x+h)−cf(x)h=c⋅f(x+h)−f(x)h→c⋅f′(x)\frac{c f(x+h) - c f(x)}{h} = c \cdot \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \to c \cdot f'(x).

גזירה איבר-איבר

גזרו: f(x)=2x3−5x2+4x−7f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x - 7

(2x3)′=2⋅3x2=6x2\begin{aligned}(2x^3)' &= 2 \cdot 3x^2 \\ &= 6x^2\end{aligned}

מקדם כפול כלל החזקה

(−5x2)′=−10x(-5x^2)' = -10x

אותו דבר, עם המינוס

(4x)′=4(4x)' = 4

הנגזרת של xx היא 11

(−7)′=0(-7)' = 0

הקבוע נעלם

f′(x)=6x2−10x+4f'(x) = 6x^2 - 10x + 4

מחברים

מהי הנגזרת של f(x)=100f(x) = 100, ומה עם g(x)=x2+100g(x) = x^2 + 100?

Voir la réponse et le corrigé

f′(x)=0f'(x) = 0, ו-g′(x)=2xg'(x) = 2x — בדיוק כמו הנגזרת של x2x^2. הוספת קבוע מזיזה את הגרף למעלה, ולא משנה אף שיפוע.

מה הנגזרת אומרת

f′(a)>0f'(a) > 0

הגרף עולה ב-aa.

f′(a)<0f'(a) < 0

הגרף יורד ב-aa.

f′(a)=0f'(a) = 0

המשיק אופקי ב-aa.

נתון f(x)=x3−6xf(x) = x^3 - 6x. מהו f′(2)f'(2), והאם הגרף עולה או יורד שם?

Voir la réponse et le corrigé

f′(x)=3x2−6f'(x) = 3x^2 - 6, ולכן f′(2)=12−6=6f'(2) = 12 - 6 = 6. חיובי — הגרף עולה בנקודה הזאת, אף ש-f(2)=−4f(2) = -4 שלילי.

שתי הטעויות של גזירת פולינום.

(x4+5)′=4x3+5(x^4 + 5)' = 4x^3 + 5
(x4+5)′=4x3(x^4 + 5)' = 4x^3

הקבוע נעלם. זו הטעות הנפוצה ביותר בפרק, והיא עולה נקודות בכל סעיף שממשיך ממנה.

(x3)′=3x3(x^3)' = 3x^3
(x3)′=3x2(x^3)' = 3x^2

החזקה יורדת וגם קטנה באחד. מי שעושה רק חצי מהכלל מקבל ביטוי ממעלה שגויה.

Exercices

Exercice 1

גזרו: f(x)=x4−3x2+5f(x) = x^4 - 3x^2 + 5

  1. 4x3−6x4x^3 - 6x
  2. 4x3−3x4x^3 - 3x
  3. 4x3−6x24x^3 - 6x^2
  4. 4x3−6x+54x^3 - 6x + 5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 4x3−6x4x^3 - 6x

Corrigé :

(x4)′=4x3(x^4)' = 4x^3

כלל החזקה

(−3x2)′=−3⋅2x=−6x\begin{aligned}(-3x^2)' &= -3 \cdot 2x \\ &= -6x\end{aligned}

מקדם כפול נגזרת

(5)′=0(5)' = 0

הקבוע נעלם

הנכונה: 4x3−6x4x^3 - 6x. 4x3−6x+54x^3 - 6x + 5 גורר את הקבוע; 4x3−3x4x^3 - 3x שוכח להכפיל במקדם; 4x3−6x24x^3 - 6x^2 לא מוריד את החזקה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתון f(x)=x4−3x2+5f(x) = x^4 - 3x^2 + 5. חשבו את f′(2)f'(2).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 20

Corrigé :

f′(x)=4x3−6xf'(x) = 4x^3 - 6x

גוזרים

f′(2)=32−12=20\begin{aligned}f'(2) &= 32 - 12 \\ &= 20\end{aligned}

On remplace (מציבים)

קודם גוזרים, ורק אז מציבים. מי שמציב קודם מקבל f(2)=9f(2) = 9 — מספר, ולמספר נגזרת אפס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

גזרו: f(x)=100f(x) = 100

  1. 11
  2. 100100
  3. 00
  4. 100x100x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 00

Corrigé :

f(x+h)−f(x)=100−100=0\begin{aligned}f(x + h) - f(x) &= 100 - 100 \\ &= 0\end{aligned}

לפי ההגדרה

f′(x)=0f'(x) = 0

קו אופקי

הנכונה: 00. גודל הקבוע לא משנה — הגרף הוא קו אופקי. 11 הוא הנגזרת של xx, לא של מספר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

גזרו: f(x)=5x4f(x) = 5x^4

  1. 5x35x^3
  2. 20x320x^3
  3. 20x420x^4
  4. 9x39x^3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 20x320x^3

Corrigé :

(c⋅f)′=c⋅f′(c \cdot f)' = c \cdot f'

המקדם נשאר

5⋅4x3=20x35 \cdot 4x^3 = 20x^3

וכופל את נגזרת החזקה

הנכונה: 20x320x^3. 20x420x^4 שוכח להקטין את החזקה; 9x39x^3 מחבר את 55 ו-44 במקום לכפול.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

עבור f(x)=x3−6xf(x) = x^3 - 6x, מצאו את הערך החיובי של xx שבו f′(x)=0f'(x) = 0. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.4142

Corrigé :

f′(x)=3x2−6f'(x) = 3x^2 - 6

גוזרים

3x2=6 ⇒ x2=2\begin{aligned}3x^2 &= 6 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 2\end{aligned}

משווים לאפס

x=±2  2≈1.41\begin{aligned}x &= \pm\sqrt{2} \ \\ \ \sqrt{2} \approx 1.41\end{aligned}

והפתרון החיובי

המלכודת היא לפתור f(x)=0f(x) = 0 במקום f′(x)=0f'(x) = 0: אז מתקבל 6≈2.45\sqrt{6} \approx 2.45, נקודת חיתוך עם הציר ולא משיק אופקי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

גזרו: f(x)=x42+3xf(x) = \frac{x^4}{2} + 3x

  1. 4x3+34x^3 + 3
  2. 2x3+3x2x^3 + 3x
  3. 2x3+32x^3 + 3
  4. x32+3\frac{x^3}{2} + 3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 2x3+32x^3 + 3

Corrigé :

x42=12x4\frac{x^4}{2} = \frac{1}{2}x^4

חלוקה ב-22 היא מקדם 12\frac{1}{2}

12⋅4x3=2x3\frac{1}{2} \cdot 4x^3 = 2x^3

כלל המקדם

(3x)′=3(3x)' = 3

והאיבר השני

הנכונה: 2x3+32x^3 + 3. 4x3+34x^3 + 3 זורק את החצי; 2x3+3x2x^3 + 3x לא גוזר את האיבר השני; x32+3\frac{x^3}{2} + 3 מקטין את החזקה בלי להכפיל ב-44. חלוקה במספר היא כפל במקדם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

בגזירה שלפניכם שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

f(x)=2x3−4x2+7x−1f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 7x - 1
(2x3)′=6x2(2x^3)' = 6x^2
(−4x2)′=−8x(-4x^2)' = -8x
(7x)′=7x(7x)' = 7x
f′(x)=6x2−8x+7f'(x) = 6x^2 - 8x + 7
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (7x)′=7x(7x)' = 7x → (7x)′=7(7x)' = 7

Corrigé :

7x=7x17x = 7x^1

החזקה היא 11

(7x)′=7⋅1⋅x0=7\begin{aligned}(7x)' &= 7 \cdot 1 \cdot x^0 \\ &= 7\end{aligned}

כלל החזקה עם מקדם

הנגזרת של 7x7x היא 77: ישר ששיפועו 77. מי שמשאיר את xx לא הוריד את החזקה מ-11 ל-00.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה f(x)=ax3−2xf(x) = ax^3 - 2x, כאשר aa פרמטר. ידוע ש-f′(1)=10f'(1) = 10. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

f′(x)=3ax2−2f'(x) = 3ax^2 - 2

גוזרים; aa הוא מקדם קבוע

f′(1)=3a−2=10\begin{aligned}f'(1) &= 3a - 2 \\ &= 10\end{aligned}

מציבים x=1x = 1

a=4a = 4

On résout

aa הוא מספר, ולכן הוא לא נגזר — הוא נשאר מקדם. מי שמציב x=1x = 1 בפונקציה עצמה פותר a−2=10a - 2 = 10 ומקבל 1212.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתון f(x)=x2f(x) = x^2. הוכיחו מתוך הגדרת הנגזרת ש-f′(x)=2xf'(x) = 2x.

  • f(x)=x2f(x) = x^2
  • f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

f′(x)=2xf'(x) = 2x

Voir la réponse et le corrigé
  1. f(x+h)=(x+h)2f(x+h) = (x+h)^2 — הצבת x+hx+h בפונקציה
  2. f(x+h)=x2+2xh+h2f(x+h) = x^2 + 2xh + h^2 — פתיחת סוגריים
  3. f(x+h)−f(x)=2xh+h2f(x+h) - f(x) = 2xh + h^2 — חיסור x2x^2 משני האגפים
  4. f(x+h)−f(x)h=2x+h\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = 2x + h — חלוקה ב-hh, המותרת כי h≠0h \neq 0 בתהליך הגבול
  5. f′(x)=2xf'(x) = 2x — השאפת hh לאפס

Corrigé :

f(x+h)=(x+h)2f(x+h) = (x+h)^2

הצבת x+hx+h בפונקציה

f(x+h)=x2+2xh+h2f(x+h) = x^2 + 2xh + h^2

פתיחת סוגריים

f(x+h)−f(x)=2xh+h2f(x+h) - f(x) = 2xh + h^2

חיסור x2x^2 משני האגפים

f(x+h)−f(x)h=2x+h\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = 2x + h

חלוקה ב-hh, המותרת כי h≠0h \neq 0 בתהליך הגבול

f′(x)=2xf'(x) = 2x

השאפת hh לאפס

המלכודת היא לשכוח את 2xh2xh בפתיחת (x+h)2(x+h)^2 — ואז יוצא f′(x)=0f'(x) = 0. וחלוקה ב-hh מותרת רק כי h≠0h \neq 0 לאורך כל התהליך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה פונקציה גזירה ff, ו-g(x)=f(x)+cg(x) = f(x) + c עבור קבוע cc. הוכיחו מתוך ההגדרה ש-g′(x)=f′(x)g'(x) = f'(x).

  • g(x)=f(x)+cg(x) = f(x) + c
  • f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

g′(x)=f′(x)g'(x) = f'(x)

Voir la réponse et le corrigé
  1. g(x+h)−g(x)=f(x+h)−f(x)g(x+h) - g(x) = f(x+h) - f(x) — הקבוע cc מופיע בשני האיברים ומתקזז
  2. g(x+h)−g(x)h=f(x+h)−f(x)h\frac{g(x+h) - g(x)}{h} = \frac{f(x+h) - f(x)}{h} — חלוקה ב-hh, כאשר h≠0h \neq 0
  3. g′(x)=f′(x)g'(x) = f'(x) — לשתי מנות שוות אותו גבול כש-h→0h \to 0

Corrigé :

g(x+h)−g(x)=f(x+h)−f(x)g(x+h) - g(x) = f(x+h) - f(x)

הקבוע cc מופיע בשני האיברים ומתקזז

g(x+h)−g(x)h=f(x+h)−f(x)h\frac{g(x+h) - g(x)}{h} = \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

חלוקה ב-hh, כאשר h≠0h \neq 0

g′(x)=f′(x)g'(x) = f'(x)

לשתי מנות שוות אותו גבול כש-h→0h \to 0

הזזה אנכית של גרף לא משנה אף שיפוע. זו גם הסיבה שהקבוע נעלם בגזירה: הוא מזיז את הגרף, ולא מטה אותו.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe