Définition de la dérivée

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ביחידה הקודמת המדרגות הצרות התקרבו למספר אחד, והזום הראה ישר שכמעט נצמד לעקומה. עכשיו נהפוך את שני הרעיונות להגדרה אחת: הנגזרת.

מהמיתר אל המשיק

ישר שעובר דרך שתי נקודות על הגרף נקרא מיתר (או חותך). השיפוע שלו הוא קצב השינוי הממוצע בין שתי הנקודות. נקבע נקודה אחת, ונקרב אליה את השנייה.

נסמן את הנקודה הקבועה ב-x0x_0 ואת המרחק לנקודה השנייה ב-hh. השיפוע של המיתר הוא:

mAB=f(x0+h)−f(x0)hm_{AB} = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

בווידג׳ט, כש-h=0.5h = 0.5: מהן הקואורדינטות של BB, ומהו שיפוע המיתר?

Voir la réponse et le corrigé

B=(1.5, 2.25)B = (1.5,\ 2.25), כי 1.52=2.251.5^2 = 2.25. השיפוע: 2.25−10.5=2.5\frac{2.25 - 1}{0.5} = 2.5 — ואכן 2+h=2.52 + h = 2.5.

ההגדרה

כש-hh שואף לאפס, המיתר מסתובב ומתקרב למשיק. המספר שאליו מתקרב שיפוע המיתר נקרא הנגזרת של ff בנקודה x0x_0, ומסמנים אותו f′(x0)f'(x_0).

f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

אפשר לכתוב גם בחצים: כש-h→0h \to 0, המנה →f′(x0)\to f'(x_0). hh אף פעם אינו שווה לאפס — מפשטים את המנה כל עוד h≠0h \neq 0, ורק אז בודקים לאן היא מתקרבת.

נגזרת לפי ההגדרה

חשבו לפי ההגדרה את f′(3)f'(3) עבור f(x)=x2f(x) = x^2.

f(3+h)=(3+h)2=9+6h+h2\begin{aligned}f(3 + h) &= (3 + h)^2 \\ &= 9 + 6h + h^2\end{aligned}

מציבים 3+h3 + h ופותחים סוגריים

f(3+h)−f(3)=6h+h2f(3 + h) - f(3) = 6h + h^2

מחסרים f(3)=9f(3) = 9

6h+h2h=6+h\frac{6h + h^2}{h} = 6 + h

מחלקים ב-hh — מותר, כי h≠0h \neq 0

h→0 ⇒ 6+h→6h \to 0 \ \Rightarrow \ 6 + h \to 6

משאיפים את hh לאפס

f′(3)=6f'(3) = 6

שיפוע המשיק לפרבולה בנקודה (3,9)(3, 9)

למה אי אפשר להציב h=0h = 0 כבר בשורה הראשונה של המנה?

Voir la réponse et le corrigé

כי מתקבל 9−90=00\frac{9 - 9}{0} = \frac{0}{0}, ביטוי שאין לו ערך. קודם מפשטים (מחלקים ב-hh כש-h≠0h \neq 0), ורק בביטוי 6+h6 + h אפשר לראות לאן הוא שואף.

הנגזרת כפונקציה

אפשר לחזור על אותו חישוב בכל נקודה xx. עבור f(x)=x2f(x) = x^2 מתקבל f(x+h)−f(x)h=2x+h\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = 2x + h, ולכן f′(x)=2xf'(x) = 2x. לכל xx יש שיפוע משלו — כלומר הנגזרת היא פונקציה חדשה: פונקציית השיפועים.

x=−1 ⇒ f′(−1)=−2\begin{aligned}x &= -1 \ \Rightarrow \ f'(-1) \\ &= -2\end{aligned}

משמאל לקדקוד הפרבולה יורדת

x=0 ⇒ f′(0)=0\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ f'(0) \\ &= 0\end{aligned}

בקדקוד המשיק אופקי

x=2 ⇒ f′(2)=4\begin{aligned}x &= 2 \ \Rightarrow \ f'(2) \\ &= 4\end{aligned}

מימין היא עולה, ויותר ויותר תלול

גם בלי נוסחה אפשר לשרטט בקירוב את הגרף של f′f' מתוך הגרף של ff: בכל נקודה שואלים אם הגרף עולה, יורד או אופקי, וכמה הוא תלול. בווידג׳ט הגרף העליון הוא ff והתחתון הוא f′f', על אותו ציר xx.

f↗ ⇒ f′>0f \nearrow \ \Rightarrow \ f' > 0

הגרף עולה — השיפוע חיובי

f↘ ⇒ f′<0f \searrow \ \Rightarrow \ f' < 0

הגרף יורד — השיפוע שלילי

f′(x0)=0f'(x_0) = 0

המשיק אופקי — למשל בקדקוד

בווידג׳ט f(x)=x33−xf(x) = \frac{x^3}{3} - x. בנקודה x=0x = 0 ערך הפונקציה הוא 00. האם גם f′(0)=0f'(0) = 0?

Voir la réponse et le corrigé

לא. ב-x=0x = 0 הגרף יורד, ולכן f′(0)<0f'(0) < 0 — לפי ההגדרה המנה היא h23−1→−1\frac{h^2}{3} - 1 \to -1, ו-f′(0)=−1f'(0) = -1. גובה הגרף ושיפוע הגרף הם שני דברים שונים.

כש-ff ו-f′f' מצוירות על אותה מערכת צירים, ליחידות שלהן אין קשר: אם ff היא מרחק בק״מ לפי שעות, f′f' היא מהירות בקמ״ש. נקודת חיתוך של שני הגרפים אינה אומרת דבר מיוחד.

שלוש טעויות בהגדרה.

f′(3)=f(3+h)−f(3)hf'(3) = \frac{f(3 + h) - f(3)}{h}
f′(3)=lim⁡h→0f(3+h)−f(3)hf'(3) = \lim_{h \to 0} \frac{f(3 + h) - f(3)}{h}

בלי הגבול זה שיפוע המיתר, ביטוי שתלוי ב-hh. הנגזרת היא מספר אחד.

(3+h)2=9+h2(3 + h)^2 = 9 + h^2
(3+h)2=9+6h+h2(3 + h)^2 = 9 + 6h + h^2

האיבר האמצעי 6h6h הוא בדיוק מה שנותן את הנגזרת. מי ששוכח אותו מקבל f′(3)=0f'(3) = 0.

f(0)=0 ⇒ f′(0)=0\begin{aligned}f(0) &= 0 \ \Rightarrow \ f'(0) \\ &= 0\end{aligned}
f(0)=0 f′(0)=−1\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \ f'(0) &= -1\end{aligned}

ערך הפונקציה אומר איפה הגרף; הנגזרת אומרת לאן הוא הולך.

Exercices

Exercice 1

נתונה f(x)=x2+3xf(x) = x^2 + 3x. חשבו את שיפוע המיתר בין הנקודות שבהן x=1x = 1 ו-x=1.1x = 1.1. כתבו תשובה עשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5.1

Corrigé :

f(1.1)=1.21+3.3=4.51\begin{aligned}f(1.1) &= 1.21 + 3.3 \\ &= 4.51\end{aligned}

הנקודה השנייה

f(1)=1+3=4\begin{aligned}f(1) &= 1 + 3 \\ &= 4\end{aligned}

הנקודה הקבועה

4.51−40.1=0.510.1=5.1\begin{aligned}\frac{4.51 - 4}{0.1} &= \frac{0.51}{0.1} \\ &= 5.1\end{aligned}

שינוי חלקי h=0.1h = 0.1

זה עדיין שיפוע מיתר, לא הנגזרת: בכללי הוא 5+h5 + h, ורק כש-h→0h \to 0 מתקבל f′(1)=5f'(1) = 5.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=x2f(x) = x^2. השלימו את החישוב של f′(3)f'(3) לפי ההגדרה.

לאחר פישוט, המנה f(3+h)−f(3)h\frac{f(3+h) - f(3)}{h} שווה ל-hh ועוד ____. כש-hh שואף לאפס, מתקבל f′(3)=f'(3) = ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : לאחר פישוט, המנה f(3+h)−f(3)h\frac{f(3+h) - f(3)}{h} שווה ל-hh ועוד 6. כש-hh שואף לאפס, מתקבל f′(3)=f'(3) = 6.

Corrigé :

(3+h)2−9h=6h+h2h\frac{(3 + h)^2 - 9}{h} = \frac{6h + h^2}{h}

מציבים ופותחים

=6+h → 6= 6 + h \ \to \ 6

מחלקים ב-hh, ואז h→0h \to 0

המספר 66 מופיע פעמיים, אבל בשני תפקידים: פעם כחלק מהמנה 6+h6 + h, ופעם כגבול שלה. המנה תלויה ב-hh, הנגזרת לא.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה f(x)=2x2−xf(x) = 2x^2 - x. חשבו לפי ההגדרה את f′(1)f'(1).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f(1+h)=2(1+2h+h2)−1−h=1+3h+2h2\begin{aligned}f(1 + h) &= 2(1 + 2h + h^2) - 1 - h \\ &= 1 + 3h + 2h^2\end{aligned}

מציבים 1+h1 + h

f(1)=2−1=1\begin{aligned}f(1) &= 2 - 1 \\ &= 1\end{aligned}

הערך בנקודה

3h+2h2h=3+2h\frac{3h + 2h^2}{h} = 3 + 2h

מחסרים ומחלקים ב-hh

h→0 ⇒ f′(1)=3h \to 0 \ \Rightarrow \ f'(1) = 3

משאיפים

המלכודת היא −(1+h)-(1 + h): שני האיברים מקבלים מינוס. מי שכותב −1+h-1 + h מקבל 55.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

סדרו את שלבי החישוב של f′(x0)f'(x_0) לפי ההגדרה.

  • מחלקים ב-hh ומפשטים
  • מחסרים את f(x0)f(x_0)
  • מציבים x0+hx_0 + h בפונקציה
  • משאיפים את hh לאפס
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מציבים x0+hx_0 + h בפונקציה · מחסרים את f(x0)f(x_0) · מחלקים ב-hh ומפשטים · משאיפים את hh לאפס

Corrigé :

f(x0+h)f(x_0 + h)

הצבה

f(x0+h)−f(x0)f(x_0 + h) - f(x_0)

השינוי ב-yy

f(x0+h)−f(x0)h\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

שיפוע המיתר

lim⁡h→0\lim_{h \to 0}

הגבול — שיפוע המשיק

משאיפים רק בסוף. מי שמציב h=0h = 0 לפני החלוקה מקבל 00\frac{0}{0} ונתקע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה f(x)=x3f(x) = x^3. לאיזה מספר שואפת המנה f(2+h)−f(2)h\frac{f(2 + h) - f(2)}{h} כש-h→0h \to 0?

  1. 88
  2. 1212
  3. 66
  4. אין לה ערך, כי מתקבל 00\frac{0}{0}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 1212

Corrigé :

(2+h)3=8+12h+6h2+h3(2 + h)^3 = 8 + 12h + 6h^2 + h^3

פותחים

12h+6h2+h3h=12+6h+h2\frac{12h + 6h^2 + h^3}{h} = 12 + 6h + h^2

מחסרים 88 ומחלקים ב-hh

h→0 ⇒ 12h \to 0 \ \Rightarrow \ 12

הגבול

התשובה הנכונה: 1212. 88 הוא f(2)f(2), גובה ולא שיפוע; 66 בא מ-3⋅23 \cdot 2 בלי החזקה; ו-00\frac{0}{0} מופיע רק למי שמציב h=0h = 0 לפני הפישוט.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

הגרף של הפונקציה f
0133.5-1012345-5-4-3-2-112345xy

לפניכם הגרף של ff. מיינו את הנקודות המסומנות לפי הסימן של f′f' בהן.

  • f′>0f' > 0
  • f′<0f' < 0
  • x=0x = 0
  • x=1x = 1
  • x=3.5x = 3.5
  • x=3x = 3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=0x = 0 — f′>0f' > 0 · x=1x = 1 — f′>0f' > 0 · x=3x = 3 — f′<0f' < 0 · x=3.5x = 3.5 — f′<0f' < 0

Corrigé :

x<2 ⇒ f↗x < 2 \ \Rightarrow \ f \nearrow

משמאל לקדקוד הגרף עולה

x>2 ⇒ f↘x > 2 \ \Rightarrow \ f \searrow

מימין לקדקוד הגרף יורד

בנקודות x=1x = 1 ו-x=3x = 3 הגובה זהה (f=3f = 3), אבל הסימן של הנגזרת הפוך. הנגזרת נקבעת לפי הכיוון, לא לפי הגובה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

התאימו לכל תיאור של ff את התיאור של f′f'.

  • ff קבועה
  • ff ישר עולה
  • ff ישר יורד
  • ff פרבולה עם נקודת מינימום ב-x=1x = 1
  • f′(x)=0f'(x) = 0 בכל נקודה
  • f′f' קבועה וחיובית
  • f′f' קבועה ושלילית
  • f′f' שלילית משמאל ל-11 וחיובית מימין
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ff קבועה — f′(x)=0f'(x) = 0 בכל נקודה · ff ישר עולה — f′f' קבועה וחיובית · ff ישר יורד — f′f' קבועה ושלילית · ff פרבולה עם נקודת מינימום ב-x=1x = 1 — f′f' שלילית משמאל ל-11 וחיובית מימין

Corrigé :

f(x)=mx+b ⇒ f′(x)=m\begin{aligned}f(x) &= mx + b \ \Rightarrow \ f'(x) \\ &= m\end{aligned}

לישר שיפוע אחד בכל נקודה

f′(1)=0f'(1) = 0

בקדקוד המשיק אופקי

בפרבולה עם מינימום הגרף יורד ואז עולה, ולכן f′f' עוברת משלילית לחיובית — ולא «חיובית כי הפרבולה פתוחה למעלה».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הוכיחו או הפריכו: אם f(2)=0f(2) = 0, אז f′(2)=0f'(2) = 0.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

f(x)=x−2f(x) = x - 2

דוגמה נגדית

f(2)=0f(2) = 0

הגרף חותך את ציר ה-xx ב-x=2x = 2

f′(2)=1≠0f'(2) = 1 \neq 0

אבל השיפוע שם 11

הטענה לא נכונה. f(2)=0f(2) = 0 אומר שהגרף עובר בציר ה-xx; f′(2)=0f'(2) = 0 אומר שהמשיק אופקי. אלה שני תנאים שונים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

חשבו לפי ההגדרה את שיפוע המשיק לגרף f(x)=x2f(x) = x^2 בנקודה שבה x=−3x = -3.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -6

Corrigé :

f(−3+h)=9−6h+h2f(-3 + h) = 9 - 6h + h^2

מציבים −3+h-3 + h

9−6h+h2−9h=−6+h\frac{9 - 6h + h^2 - 9}{h} = -6 + h

מחסרים f(−3)=9f(-3) = 9 ומחלקים

h→0 ⇒ −6h \to 0 \ \Rightarrow \ -6

הגבול

הגובה f(−3)=9f(-3) = 9 חיובי, אבל השיפוע −6-6 שלילי: משמאל לקדקוד הפרבולה יורדת. מי שכותב (−3+h)2=9+6h+h2(-3 + h)^2 = 9 + 6h + h^2 מאבד את הסימן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x. מצאו לפי ההגדרה את f′(x)f'(x), ובאיזה xx המשיק לגרף אופקי?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f(x+h)−f(x)=2xh+h2−4hf(x + h) - f(x) = 2xh + h^2 - 4h

מציבים x+hx + h ומחסרים

2xh+h2−4hh=2x+h−4 → 2x−4\frac{2xh + h^2 - 4h}{h} = 2x + h - 4 \ \to \ 2x - 4

מחלקים ומשאיפים

2x−4=0 ⇒ x=2\begin{aligned}2x - 4 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

משיק אופקי: שיפוע אפס

משיק אופקי פירושו f′(x)=0f'(x) = 0, לא f(x)=0f(x) = 0. מי שפותר x2−4x=0x^2 - 4x = 0 מוצא x=0x = 0 ו-x=4x = 4 — נקודות החיתוך עם הציר.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe