Les médianes et le centre de gravité · Lieux géométriques et quatrième cas d'isométrie · Kita י

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

גזרו משולש מקרטון ונסו לאזן אותו על קצה של עיפרון. יש נקודה אחת בדיוק שבה הוא לא נופל לאף צד. מסתבר שהנקודה הזאת נמצאת על שלושת התיכונים של המשולש — ולכן קוראים לה מרכז הכובד.

שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת

שלושת התיכונים AD, BE, CF נפגשים בנקודה G — מרכז הכובד. שימו לב: G קרובה יותר לאמצעי הצלעות מאשר לקודקודים.

לפי השרטוט, איזה חלק של התיכון $AD$ ארוך יותר: $AG$ או $GD$ ? נחשו פי כמה.

Voir la réponse et le corrigé

$AG$ ארוך יותר — פי 2 מ- $GD$ . זה בדיוק המשפט של היחידה, ועכשיו נוכיח אותו.

הכלי להוכחה הוא קטע האמצעים: קטע שמחבר את אמצעי שתי צלעות במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה. הזיזו את הקודקוד וראו שזה נשמר בכל משולש:

Activité interactive

התיכונים נחתכים ביחס 2:1

\begin{aligned}BE \\ CF \text{ תיכונים} \\ \quad BE \cap CF &= G\end{aligned}

לחצו «להתחיל». $M$ אמצע $BG$ ו- $N$ אמצע $CG$ — שתי נקודות עזר שנוסיף לשרטוט.

קטע אמצעים ב-ABC

\begin{aligned}FE \parallel BC \\ \quad FE &= \tfrac{1}{2}BC\end{aligned}

$F$ ו- $E$ אמצעי $AB$ ו- $AC$ .

קטע אמצעים ב-GBC

\begin{aligned}MN \parallel BC \\ \quad MN &= \tfrac{1}{2}BC\end{aligned}

$M$ ו- $N$ אמצעי $GB$ ו- $GC$ .

מקבילית

\begin{aligned}FE \parallel MN \\ \quad FE &= MN\end{aligned}

במרובע $FENM$ זוג צלעות נגדיות מקבילות ושוות — הוא מקבילית.

אלכסונים

\begin{aligned}GE &= GM \\ \quad GF &= GN\end{aligned}

במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה, ו- $G$ היא נקודת החיתוך שלהם.

שלושה חלקים

\begin{aligned}BM &= MG \\ &= GE \Rightarrow BG \\ &= 2 \cdot GE\end{aligned}

התיכון $BE$ מחולק לשלושה חלקים שווים. באותו אופן $CG = 2 \cdot GF$ .

התיכון השלישי

\begin{aligned}AD \cap BE &= G' \\ \ BG' &= 2 \cdot G'E \Rightarrow G' \\ &= G\end{aligned}

אותו טיעון על $AD$ ו- $BE$ נותן נקודה שמחלקת את $BE$ ביחס $2:1$ — ויש רק נקודה אחת כזאת.

שני קטעי אמצעים בני אותו אורך, ומקבילית אחת — וזה כל המשפט.

Faire l'activité sur elev

\begin{aligned}AG &= \frac{2}{3} AD \\ \qquad GD &= \frac{1}{3} AD \\ \qquad AG &= 2 \cdot GD\end{aligned}

החלק הארוך תמיד ליד הקודקוד.

התיכון $BE$ שווה ל- $27$ . מה אורכי $BG$ ו- $GE$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$BG = \frac{2}{3} \cdot 27 = 18$ ו- $GE = 9$ . בדיקה: $18 = 2 \cdot 9$ ו- $18 + 9 = 27$ .

מרכז הכובד במערכת צירים

אם הקודקודים נתונים בשיעורים, אפשר למצוא את $D$ כאמצע $BC$ ולהתקדם $\frac{2}{3}$ מהדרך מ- $A$ ל- $D$ . החישוב מתקצר לממוצע של שלושת הקודקודים:

G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \ \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right)

שתי דרכים, אותה נקודה

נתונים $A(0,0)$ , $B(6,0)$ ו- $C(0,9)$ . מצאו את מרכז הכובד $G$ .

\begin{aligned}D &= \left( \frac{6+0}{2}, \frac{0+9}{2} \right) \\ &= (3, 4.5)\end{aligned}

אמצע $BC$

\begin{aligned}G &= A + \tfrac{2}{3}(D - A) \\ &= \left( 2, 3 \right)\end{aligned}

שני שלישים מהדרך מ- $A$ ל- $D$

\begin{aligned}G &= \left( \frac{0+6+0}{3}, \frac{0+0+9}{3} \right) \\ &= (2, 3)\end{aligned}

בדיקה בנוסחת הממוצע

במשולש ישר זווית היתר $AB = 30$ ו- $M$ אמצעו. מה המרחק של מרכז הכובד מקודקוד הזווית הישרה $C$ ?

Voir la réponse et le corrigé

התיכון ליתר $CM = \frac{30}{2} = 15$ , ומרכז הכובד עליו: $CG = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10$ .

היחס נכון, אבל הפוך — הטעות השכיחה ביותר.

GD = 2 \cdot AG

AG = 2 \cdot GD

מרכז הכובד קרוב לצלע, לא לקודקוד. החלק הכפול הוא זה שיוצא מהקודקוד.

AG = \frac{1}{2} AD

AG = \frac{2}{3} AD

היחס $2:1$ מחלק את התיכון לשלושה חלקים, לא לשניים.

G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{2}, \frac{y_A + y_B + y_C}{2} \right)

G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right)

שלוש נקודות — מחלקים ב-3. מחלקים ב-2 רק באמצע של קטע.

Exercices

Exercice 1

במשולש $ABC$ התיכון $AD$ שווה ל- $15$ , ו- $G$ מרכז הכובד. מצאו את $AG$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

\begin{aligned}AG &= \frac{2}{3} \cdot 15 \\ &= 10\end{aligned}

התיכונים נחתכים ביחס $2:1$ מהקודקוד

$AG = 10$ ו- $GD = 5$ . המלכודת: $AG = 5$ — להפוך את היחס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

$G$ מרכז הכובד של המשולש $ABC$ , ו- $BE$ תיכון. נתון $GE = 4$ . מצאו את אורך התיכון $BE$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

\begin{aligned}BG &= 2 \cdot GE \\ &= 8\end{aligned}

החלק שליד הקודקוד כפול

\begin{aligned}BE &= 8 + 4 \\ &= 12\end{aligned}

$BE = 12$ . המלכודת: $BE = 8$ — זה רק $BG$ , והתיכון כולו ארוך יותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

$G$ מרכז הכובד של המשולש $ABC$ , $BE$ תיכון ו- $BG = 14$ .

$GE =$ ____, ואורך התיכון $BE =$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $GE =$ 7, ואורך התיכון $BE =$ 21

Corrigé :

\begin{aligned}GE &= \frac{BG}{2} \\ &= 7\end{aligned}

היחס $BG : GE = 2:1$

\begin{aligned}BE &= 14 + 7 \\ &= 21\end{aligned}

$GE = 7$ , $BE = 21$ . המלכודת: $GE = 28$ — להכפיל במקום לחלק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

קודקודי המשולש הם $A(1,2)$ , $B(7,4)$ ו- $C(4,9)$ . מהם שיעורי מרכז הכובד?

$(12, 15)$
$(4, 5)$
$(5.5, 6.5)$
$(6, 7.5)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $(4, 5)$

Corrigé :

\begin{aligned}x_G &= \frac{1 + 7 + 4}{3} \\ &= 4\end{aligned}

ממוצע שיעורי $x$

\begin{aligned}y_G &= \frac{2 + 4 + 9}{3} \\ &= 5\end{aligned}

ממוצע שיעורי $y$

התשובה: $(4, 5)$ . $(12,15)$ הוא סכום בלי חלוקה, $(6, 7.5)$ חלוקה ב-2, ו- $(5.5, 6.5)$ הוא אמצע $BC$ — נקודה על התיכון, לא מרכז הכובד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נכון או לא נכון: מרכז הכובד של משולש נמצא תמיד בתוך המשולש — גם במשולש קהה זווית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

G \in AD

התיכון מחבר קודקוד עם נקודה על הצלע שמולו, ולכן כולו בתוך המשולש

\Rightarrow

נקודת המפגש של קטעים שבתוך המשולש נמצאת בתוכו

נכון. בניגוד למרכז המעגל החוסם ולנקודת מפגש הגבהים, מרכז הכובד לא יוצא מהמשולש לעולם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

במשולש $ABC$ התיכונים $BE$ ו- $CF$ נחתכים בנקודה $G$ . $M$ אמצע $BG$ ו- $N$ אמצע $CG$ . הוכיחו כי $FENM$ מקבילית.

$F$ אמצע $AB$ , $E$ אמצע $AC$
$M$ אמצע $BG$ , $N$ אמצע $CG$

$FENM$ מקבילית

Voir la réponse et le corrigé

$FE \parallel BC$ — קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית
$FE = \frac{1}{2}BC$ — קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע השלישית
$MN \parallel BC$ — קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית
$MN = \frac{1}{2}BC$ — קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע השלישית
$FE = MN$ — שני קטעים ששווים לאותו קטע שווים זה לזה
$FE \parallel MN$ — שני ישרים המקבילים לישר שלישי מקבילים זה לזה
$FENM$ מקבילית — מרובע שבו זוג צלעות נגדיות מקבילות ושוות הוא מקבילית

Corrigé :

FE \parallel BC

קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית

FE = \frac{1}{2}BC

קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע השלישית

MN \parallel BC

קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית

MN = \frac{1}{2}BC

קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע השלישית

FE = MN

שני קטעים ששווים לאותו קטע שווים זה לזה

FE \parallel MN

שני ישרים המקבילים לישר שלישי מקבילים זה לזה

\Rightarrow

$FENM$ מקבילית — מרובע שבו זוג צלעות נגדיות מקבילות ושוות הוא מקבילית

זה הלב של הוכחת היחס $2:1$ . המלכודת: לטעון $FE = MN$ ישירות — צריך את $BC$ כקטע שלישי שמשווה ביניהם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 12$ ו- $BC = 16$ . $G$ מרכז הכובד. מצאו את $CG$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6.67

Corrigé :

\begin{aligned}AB &= \sqrt{12^2 + 16^2} \\ &= 20\end{aligned}

היתר

\begin{aligned}CM &= \frac{AB}{2} \\ &= 10\end{aligned}

התיכון ליתר שווה למחצית היתר

\begin{aligned}CG &= \frac{2}{3} \cdot 10 \\ &= \frac{20}{3} \approx 6.67\end{aligned}

מרכז הכובד על התיכון $CM$

$CG = \frac{20}{3} \approx 6.67$ . המלכודת: לחשב $\frac{2}{3}$ מהיתר — $G$ נמצאת על התיכון, לא על היתר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

במשולש $ABC$ התיכון $BE$ שווה ל- $18$ , ו- $G$ מרכז הכובד. איזו טענה נכונה?

$BG = 6$ ו- $GE = 12$
$BG = 9$ ו- $GE = 9$
$BG = 13.5$ ו- $GE = 4.5$
$BG = 12$ ו- $GE = 6$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $BG = 12$ ו- $GE = 6$

Corrigé :

\begin{aligned}BG &= \frac{2}{3} \cdot 18 \\ &= 12\end{aligned}

\begin{aligned}GE &= \frac{1}{3} \cdot 18 \\ &= 6\end{aligned}

התשובה: « $BG = 12$ ו- $GE = 6$ ». המלכודות: $9$ ו- $9$ הוא אמצע התיכון, $6$ ו- $12$ הוא היחס ההפוך, ו- $13.5$ ו- $4.5$ הוא יחס $3:1$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

במשולש $ABC$ התיכון $BE = 24$ ו- $G$ מרכז הכובד. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

BE = 24

\begin{aligned}BG &= \frac{2}{3} \cdot 24 \\ &= 16\end{aligned}

\begin{aligned}GE &= \frac{1}{3} \cdot 24 \\ &= 8\end{aligned}

BG : GE = 1 : 2

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $BG : GE = 1 : 2$ → $BG : GE = 2 : 1$

Corrigé :

16 : 8 = 2 : 1

היחס נקרא מהקודקוד אל הצלע

החישובים נכונים, אבל היחס נכתב הפוך. המלכודת: לכתוב את היחס לפי סדר הגדלים ולא לפי סדר הקטעים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

שני קודקודים של משולש הם $A(0,0)$ ו- $B(4,2)$ , ומרכז הכובד שלו הוא $G(3,4)$ . מצאו את הקודקוד השלישי $C$ .

$C =$ ( ____ , ____ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $C =$ ( 5 , 10 )

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{0 + 4 + x_C}{3} &= 3 \Rightarrow x_C \\ &= 5\end{aligned}

\begin{aligned}\frac{0 + 2 + y_C}{3} &= 4 \Rightarrow y_C \\ &= 10\end{aligned}

$C(5,10)$ . המלכודת: $\frac{0 + 4 + x_C}{2} = 3$ — מחלקים ב-3 גם כשהנעלם בפנים.

Vérifier la réponse sur elev

שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת

מרכז הכובד במערכת צירים

Exercices

La suite se pratique sur elev