On résout ensemble · Lieux géométriques et quatrième cas d'isométrie · Kita י

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל נושא של הפרק: מקום גאומטרי, מרכז המעגל החוסם, מרכז הכובד, משפט החפיפה הרביעי ומשפט פיתגורס ההפוך. בשאלות עם בחירה אתם בוחרים את הצעד הבא; בחירה שגויה מסבירה למה, ואפשר לנסות שוב.

בשאלות הוכחה כתבו לעצמכם קודם טענה ונימוק על דף, ורק אחר כך לחצו. אחרי כל שאלה יש שאלת «תורכם» — פתרו אותה לבד לפני שפותחים את התשובה, ובסוף היחידה יש תרגיל תאום לכל אחת.

1. מרכזי המעגלים שעוברים דרך שתי נקודות

Activité interactive

שאלה 1

נתונות שתי נקודות $A$ ו- $B$ , ו- $AB = 24$ . (א) הוכיחו כי המרכז של כל מעגל שעובר דרך $A$ ודרך $B$ נמצא על האנך האמצעי של $AB$ . (ב) מעגל שרדיוסו $13$ עובר דרך $A$ ו- $B$ . מצאו את המרחק של מרכזו מהישר $AB$ . (ג) כמה מעגלים כאלה יש?

סעיף (א): מה ידוע על המרכז $O$ של מעגל כזה?

$OA = OB$ , כי שניהם רדיוסים.

Voir la réponse et le corrigé

כן. ומכאן כיוון (ב) של המקום הגאומטרי: נקודה שמרחקה מקצות קטע שווה נמצאת על האנך האמצעי שלו.

$O$ הוא אמצע $AB$ .

Voir la réponse et le corrigé

רק כש- $AB$ קוטר. ברוב המעגלים $O$ נמצא מעל או מתחת לקטע.

$OA \perp AB$ .

Voir la réponse et le corrigé

אין שום נתון על זווית ב- $A$ .

\begin{aligned}OA &= OB \\ &= R\end{aligned}

$O$ על האנך האמצעי של $AB$ : נקודה שמרחקה מקצות קטע שווה נמצאת על האנך האמצעי שלו.

סעיף (ב): באיזה משולש מחשבים את המרחק $OM$ ?

במשולש $OMA$ : $OA = 13$ יתר, $AM = 12$ ניצב.

Voir la réponse et le corrigé

כן. $M$ אמצע $AB$ והזווית ב- $M$ ישרה.

במשולש $OMA$ עם $AM = 24$ .

Voir la réponse et le corrigé

$M$ הוא אמצע הקטע — $AM = 12$ .

\begin{aligned}OM &= \sqrt{13^2 - 12^2} \\ &= 5\end{aligned}

המרחק של מרכז המעגל מהקטע הוא $5$ .

סעיף (ג): כמה מעגלים ברדיוס $13$ עוברים דרך $A$ ו- $B$ ?

שניים: המרכז במרחק $5$ מעל $AB$ או $5$ מתחתיו.

Voir la réponse et le corrigé

כן. על האנך האמצעי יש שתי נקודות במרחק $5$ מ- $M$ — אחת מכל צד.

אחד בלבד.

Voir la réponse et le corrigé

שכחתם את הצד השני של הקטע.

אינסוף.

Voir la réponse et le corrigé

אינסוף מעגלים עוברים דרך $A$ ו- $B$ , אבל רדיוס קבוע משאיר רק שניים.

\begin{aligned}O_1M &= O_2M \\ &= 5\end{aligned}

שני מעגלים, סימטריים ביחס לישר $AB$ .

Voir la réponse et le corrigé

(א) $OA = OB$ , ולכן $O$ על האנך האמצעי. (ב) $5$ . (ג) שני מעגלים. המלכודת: לקחת $AM = 24$ במקום $12$ .

Faire l'activité sur elev

תורכם: $AB = 16$ , ומעגל שרדיוסו $10$ עובר דרך $A$ ו- $B$ . מה המרחק של מרכזו מ- $AB$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$AM = 8$ , ולכן $OM = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6$ .

2. מרכז המעגל החוסם משולש שווה שוקיים

Activité interactive

שאלה 2

\begin{aligned}AB &= AC \\ &= 13 \\ \quad BC &= 10 \\ \quad R &= \ ?\end{aligned}

לחצו «להתחיל». מרכז המעגל החוסם נמצא על האנך האמצעי של $BC$ — ובמשולש שווה שוקיים זה הגובה $AD$ .

גובה

\begin{aligned}AD &= \sqrt{13^2 - 5^2} \\ &= 12\end{aligned}

$BD = 5$ , חצי הבסיס.

מיקום O

\begin{aligned}O \in AD \\ \quad OA &= OB \\ &= R \\ \quad OD &= 12 - R\end{aligned}

המשולש חד זווית, ולכן $O$ בין $A$ ל- $D$ .

פיתגורס

R^2 = 5^2 + (12 - R)^2

במשולש $ODB$ , הזווית ב- $D$ ישרה.

פתרון

\begin{aligned}0 &= 25 + 144 - 24R \Rightarrow R \\ &= \frac{169}{24} \approx 7.04\end{aligned}

ה- $R^2$ מצטמצם משני האגפים.

המלכודת: להניח ש- $O$ באמצע הגובה, או ש- $O$ הוא מרכז הכובד. שלוש נקודות שונות על אותו גובה.

Faire l'activité sur elev

תורכם: במשולש $AB = AC = 5$ ו- $BC = 6$ . מצאו את רדיוס המעגל החוסם.

Voir la réponse et le corrigé

$AD = 4$ . $R^2 = 3^2 + (4 - R)^2 \Rightarrow 0 = 9 + 16 - 8R \Rightarrow R = \frac{25}{8} = 3.125$ .

3. שני תיכונים שווים

Activité interactive

שאלה 3

במשולש $ABC$ התיכונים $AD$ (לצלע $BC$ ) ו- $BE$ (לצלע $AC$ ) שווים זה לזה, ונחתכים בנקודה $G$ . הוכיחו כי $CA = CB$ .

מה אפשר להסיק על $AG$ ו- $BG$ ?

$AG = BG$ , כי כל אחד שני שלישים מתיכונים שווים.

Voir la réponse et le corrigé

כן. התיכונים נחתכים ביחס $2:1$ , ולכן גם $GD = GE$ .

$AG = GD$ .

Voir la réponse et le corrigé

לא — $AG = 2 \cdot GD$ .

\begin{aligned}AG &= \tfrac{2}{3}AD \\ &= \tfrac{2}{3}BE \\ &= BG \\ \quad GD &= GE\end{aligned}

ארבעה קטעים, שני זוגות שווים.

אילו שני משולשים כדאי להוכיח שהם חופפים?

$\triangle AGE$ ו- $\triangle BGD$ , בצ.ז.צ עם זוויות קודקודיות.

Voir la réponse et le corrigé

כן. $AG = BG$ , $GE = GD$ , והזוויות $\angle AGE = \angle BGD$ קודקודיות — כלואות בין הצלעות.

$\triangle ABD$ ו- $\triangle BAE$ בצ.צ.צ.

Voir la réponse et le corrigé

לא ידועים $BD$ ו- $AE$ — הם בדיוק מה שנרצה להשוות.

\triangle AGE \cong \triangle BGD \ (\text{צ.ז.צ}) \Rightarrow AE = BD

צלעות מתאימות במשולשים חופפים.

איך מגיעים מ- $AE = BD$ ל- $CA = CB$ ?

$E$ ו- $D$ אמצעים, ולכן $CA = 2AE = 2BD = CB$ .

Voir la réponse et le corrigé

כן. כפולות של קטעים שווים שוות.

המשולש שווה שוקיים כי יש בו שני תיכונים.

Voir la réponse et le corrigé

בכל משולש יש שלושה תיכונים. השוויון שלהם הוא העניין.

\begin{aligned}CA &= 2 \cdot AE \\ &= 2 \cdot BD \\ &= CB\end{aligned}

המשולש שווה שוקיים, והבסיס שלו $AB$ .

Voir la réponse et le corrigé

יחס $2:1$ , חפיפה בצ.ז.צ עם זוויות קודקודיות, והכפלה. המלכודת: לחפש חפיפה בין המשולשים הגדולים, שבהם חסרה צלע.

Faire l'activité sur elev

תורכם: בשאלה 3 נתון $AD = BE = 18$ . מצאו את $AG$ , $GD$ ו- $GE$ .

Voir la réponse et le corrigé

$AG = BG = 12$ , ו- $GD = GE = 6$ .

4. אנכים שווים מאמצע הבסיס

Activité interactive

שאלה 4

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ היא אמצע $BC$ . $DE \perp AB$ ו- $DF \perp AC$ , ו- $DE = DF$ . הוכיחו כי $AB = AC$ .

אילו משולשים משווים?

$\triangle BED$ ו- $\triangle CFD$ .

Voir la réponse et le corrigé

כן. בכל אחד מהם יודעים יתר ( $BD = CD$ ), ניצב ( $DE = DF$ ) וזווית ישרה.

$\triangle AED$ ו- $\triangle AFD$ .

Voir la réponse et le corrigé

גם הם חופפים, אבל הם נותנים שוויון זוויות ב- $A$ ולא עוזרים להשוות את $B$ ל- $C$ .

\begin{aligned}BD &= CD \\ \quad DE &= DF \\ \quad \angle BED &= \angle CFD \\ &= 90^\circ\end{aligned}

שתי צלעות וזווית בכל משולש.

איזה משפט חפיפה מתאים?

צ.צ.ז: הזווית הישרה מול היתר, הצלע הגדולה.

Voir la réponse et le corrigé

כן. $BD$ ו- $CD$ הם יתרים — הצלעות הגדולות — והזווית הישרה מולן.

צ.ז.צ.

Voir la réponse et le corrigé

הזווית הישרה אינה בין $BD$ ל- $DE$ : היא ב- $E$ , מול $BD$ .

\triangle BED \cong \triangle CFD \ (\text{צ.צ.ז})

שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן.

איך מסיימים?

$\angle B = \angle C$ , ומול זוויות שוות צלעות שוות.

Voir la réponse et le corrigé

כן. $AB$ מול $\angle C$ ו- $AC$ מול $\angle B$ .

$BE = CF$ , ולכן $AB = AC$ .

Voir la réponse et le corrigé

$BE = CF$ נכון, אבל $AE$ ו- $AF$ עוד לא ידועים — אי אפשר לחבר.

\begin{aligned}\angle B &= \angle C \Rightarrow AC \\ &= AB\end{aligned}

המשולש שווה שוקיים.

Voir la réponse et le corrigé

חפיפה לפי צ.צ.ז בין $BED$ ל- $CFD$ , ואחריה זוויות הבסיס. המלכודת: לכתוב צ.ז.צ כשהזווית אינה כלואה.

Faire l'activité sur elev

תורכם: למה בשאלה 4 אי אפשר להשתמש ב-ז.צ.ז?

Voir la réponse et le corrigé

כי ידועה רק זווית אחת בכל משולש, הזווית הישרה. ז.צ.ז דורש שתי זוויות שוות והצלע שביניהן.

5. מרובע עם שני משולשים ישרי זווית

Activité interactive

שאלה 5

\begin{aligned}AB &= 15 \\ \ BC &= 20 \\ \ CD &= 24 \\ \ DA &= 7 \\ \ AC &= 25\end{aligned}

לחצו «להתחיל». בכל מרובע האלכסון $AC$ מחלק אותו לשני משולשים — נבדוק כל אחד בנפרד.

משולש ABC

\begin{aligned}15^2 + 20^2 &= 225 + 400 \\ &= 625 \\ &= 25^2\end{aligned}

לפי משפט פיתגורס ההפוך, $\angle B = 90^\circ$ .

משולש ADC

\begin{aligned}7^2 + 24^2 &= 49 + 576 \\ &= 625 \\ &= 25^2\end{aligned}

גם $\angle D = 90^\circ$ .

שטח

\begin{aligned}S &= \frac{15 \cdot 20}{2} + \frac{7 \cdot 24}{2} \\ &= 150 + 84 \\ &= 234\end{aligned}

בכל משולש ישר זווית: מכפלת הניצבים חלקי 2.

מעגל

\begin{aligned}MB &= MD \\ &= MA \\ &= MC \\ &= 12.5\end{aligned}

$M$ אמצע $AC$ . התיכון ליתר שווה למחצית היתר בשני המשולשים — ארבעת הקודקודים על מעגל אחד שמרכזו $M$ .

המלכודת: להניח שהמרובע מלבן. הזוויות ב- $B$ וב- $D$ ישרות, אבל ב- $A$ וב- $C$ לא.

Faire l'activité sur elev

תורכם: למה הנקודות $B$ ו- $D$ שבשאלה 5 נמצאות על מעגל שקוטרו $AC$ ?

Voir la réponse et le corrigé

בכל אחד מהמשולשים $ABC$ ו- $ADC$ הזווית שמול $AC$ ישרה. מרכז המעגל החוסם משולש ישר זווית הוא אמצע היתר, ולכן שני המעגלים החוסמים הם אותו מעגל: מרכזו $M$ ורדיוסו $12.5$ .

תרגילים תאומים. חמשת התרגילים שלמטה בנויים כמו חמש השאלות, עם נתונים אחרים.

Exercices

Exercice 1

נתון קטע $AB = 30$ . מעגל שרדיוסו $17$ עובר דרך $A$ ודרך $B$ , ו- $O$ מרכזו. מצאו את המרחק של $O$ מהישר $AB$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

OA = OB

רדיוסים, ולכן $O$ על האנך האמצעי של $AB$

AM = 15

$M$ אמצע הקטע

\begin{aligned}OM &= \sqrt{17^2 - 15^2} \\ &= \sqrt{64} \\ &= 8\end{aligned}

פיתגורס במשולש $OMA$

$OM = 8$ . המלכודת: $AM = 30$ — המרכז מעל האמצע של הקטע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

במשולש $ABC$ נתון $AB = AC = 17$ ו- $BC = 16$ . מצאו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9.63

Corrigé :

\begin{aligned}AD &= \sqrt{17^2 - 8^2} \\ &= 15\end{aligned}

הגובה לבסיס, שהוא גם האנך האמצעי של $BC$

R^2 = 8^2 + (15 - R)^2

פיתגורס במשולש $ODB$

\begin{aligned}0 &= 64 + 225 - 30R \Rightarrow R \\ &= \frac{289}{30} \approx 9.63\end{aligned}

$R = \frac{289}{30} \approx 9.63$ . המלכודת: $R = 7.5$ , חצי הגובה — $O$ אינו באמצע $AD$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

במשולש $ABC$ התיכונים $BE$ (לצלע $AC$ ) ו- $CF$ (לצלע $AB$ ) שווים, ונחתכים בנקודה $G$ . הוכיחו כי $AB = AC$ .

$BE$ ו- $CF$ תיכונים
$BE = CF$

$AB = AC$

Voir la réponse et le corrigé

$BG = CG$ — מרכז הכובד מחלק כל תיכון ביחס $2:1$ , והתיכונים שווים
$GF = GE$ — מרכז הכובד מחלק כל תיכון ביחס $2:1$ , והתיכונים שווים
$\angle BGF = \angle CGE$ — זוויות קודקודיות
$\triangle BGF \cong \triangle CGE$ — צ.ז.צ
$BF = CE$ — צלעות מתאימות במשולשים חופפים
$AB = AC$ — $F$ ו- $E$ אמצעי הצלעות: $AB = 2BF$ ו- $AC = 2CE$

Corrigé :

BG = CG

מרכז הכובד מחלק כל תיכון ביחס $2:1$ , והתיכונים שווים

GF = GE

מרכז הכובד מחלק כל תיכון ביחס $2:1$ , והתיכונים שווים

\angle BGF = \angle CGE

זוויות קודקודיות

\triangle BGF \cong \triangle CGE

צ.ז.צ

BF = CE

צלעות מתאימות במשולשים חופפים

AB = AC

$F$ ו- $E$ אמצעי הצלעות: $AB = 2BF$ ו- $AC = 2CE$

המלכודת: לחפוף את $\triangle FBC$ ו- $\triangle ECB$ — שם יש שתי צלעות שוות, אבל אין זווית ידועה ביניהן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הוכיחו או הפריכו: אם $D$ היא נקודה כלשהי על הצלע $BC$ של המשולש $ABC$ , $DE \perp AB$ , $DF \perp AC$ ו- $DE = DF$ , אז $AB = AC$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

DE = DF

$D$ על חוצה הזווית $A$ — כיוון (ב) של חוצה הזווית

\Rightarrow

בכל משולש, גם בלא שווה שוקיים, חוצה הזווית $A$ חותך את $BC$ ונותן נקודה כזאת

BD \ne CD

בשאלה 4 היה נתון ש- $D$ אמצע $BC$ — זה מה שהבטיח את החפיפה

לא נכון. דוגמה נגדית: הנקודה שבה חוצה הזווית $A$ פוגש את $BC$ במשולש שאינו שווה שוקיים. המלכודת: לשכוח שבשאלה 4 הנתון «אמצע» הוא שעשה את כל העבודה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

במרובע $ABCD$ נתון $AB = 33$ , $BC = 56$ , $CD = 25$ , $DA = 60$ והאלכסון $AC = 65$ . מצאו את שטח המרובע.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1674

Corrigé :

\begin{aligned}33^2 + 56^2 &= 1089 + 3136 \\ &= 4225 \\ &= 65^2\end{aligned}

$\angle B = 90^\circ$ לפי פיתגורס ההפוך

\begin{aligned}25^2 + 60^2 &= 625 + 3600 \\ &= 4225 \\ &= 65^2\end{aligned}

$\angle D = 90^\circ$

\begin{aligned}S &= \frac{33 \cdot 56}{2} + \frac{25 \cdot 60}{2} \\ &= 924 + 750 \\ &= 1674\end{aligned}

שני משולשים ישרי זווית

$S = 1674$ . המלכודת: לחשב את השטח בלי לבדוק קודם שהזוויות ישרות — בלי פיתגורס ההפוך אין רשות לכפול ניצבים.

Vérifier la réponse sur elev

1. מרכזי המעגלים שעוברים דרך שתי נקודות

2. מרכז המעגל החוסם משולש שווה שוקיים

3. שני תיכונים שווים

4. אנכים שווים מאמצע הבסיס

5. מרובע עם שני משולשים ישרי זווית

Exercices

La suite se pratique sur elev