Entraînement

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשרה תרגילים על כל הפרק: בעיות מספרים ותנועה, קטע סגור, גדר ותיבה, נקודה שזזה על גרף, אילוץ שיוצר שבר, ושורש שנכנס דרך פיתגורס. בכל שאלה: סימון, הבעה, תחום, גזירה, סיווג — ותשובה למה שנשאל.

Exercices

Série A — Facile

Exercice 1

xx ו-yy מספרים חיוביים, ו-x+2y=20x + 2y = 20. מהי המכפלה xyxy הגדולה ביותר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 50

Corrigé :

x=20−2y0<y<10\begin{aligned}x &= 20 - 2y \\ \quad 0 < y < 10\end{aligned}

מבטאים משתנה אחד, ורושמים תחום

P(y)=y(20−2y)=20y−2y2\begin{aligned}P(y) &= y(20 - 2y) \\ &= 20y - 2y^2\end{aligned}
P′(y)=20−4y=0⇒y=5\begin{aligned}P'(y) &= 20 - 4y \\ &= 0 \Rightarrow y \\ &= 5\end{aligned}

P′P' עובר מ-++ ל-−-: מקסימום

x=10P=50\begin{aligned}x &= 10 \\ \quad P &= 50\end{aligned}

המכפלה הגדולה ביותר היא 5050, עבור x=10x = 10 ו-y=5y = 5.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

ילד בגן סאקר בירושלים זורק כדור ישר למעלה. גובה הכדור (במטרים) אחרי tt שניות הוא h(t)=20t−5t2h(t) = 20t - 5t^2, עבור 0≤t≤40 \le t \le 4. מהו הגובה הגדול ביותר של הכדור?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 20

Corrigé :

h′(t)=20−10t=0⇒t=2\begin{aligned}h'(t) &= 20 - 10t \\ &= 0 \Rightarrow t \\ &= 2\end{aligned}
h(0)=0h(2)=40−20=20h(4)=0\begin{aligned}h(0) &= 0 \\ \quad h(2) &= 40 - 20 \\ &= 20 \\ \quad h(4) &= 0\end{aligned}

משווים לקצוות

הגובה הגדול ביותר הוא 2020 מטרים, אחרי 22 שניות. שאלו על הגובה — לא על הזמן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מצאו את הערך הקטן ביותר של f(x)=x3−12xf(x) = x^3 - 12x בקטע [0,3][0, 3].

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -16

Corrigé :

f′(x)=3x2−12=0⇒x=2\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 12 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

x=−2x = -2 מחוץ לקטע

f(0)=0f(2)=8−24=−16f(3)=27−36=−9\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \quad f(2) &= 8 - 24 \\ &= -16 \\ \quad f(3) &= 27 - 36 \\ &= -9\end{aligned}

המועמדים: הנקודה החשודה והקצוות

הערך הקטן ביותר בקטע הוא −16-16, ב-x=2x = 2.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ב — בינוני

Exercice 4

במושב בעמק יזרעאל רוצים לגדר ערוגה מלבנית שצלע אחת שלה צמודה לקיר של מחסן, ולכן מגדרים רק שלוש צלעות. יש 6060 מ׳ גדר. מהו השטח הגדול ביותר של הערוגה (במ״ר)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 450

Corrigé :

x , 60−2xx \ ,\ 60 - 2x

שתי צלעות מאונכות לקיר, xx, והצלע המקבילה לקיר

S(x)=x(60−2x)0<x<30\begin{aligned}S(x) &= x(60 - 2x) \\ \quad 0 < x < 30\end{aligned}
S′(x)=60−4x=0⇒x=15\begin{aligned}S'(x) &= 60 - 4x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 15\end{aligned}

מקסימום

S(15)=15⋅30=450\begin{aligned}S(15) &= 15 \cdot 30 \\ &= 450\end{aligned}

השטח הגדול ביותר הוא 450450 מ״ר: 1515 מ׳ על 3030 מ׳.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מלבן חסום מתחת לגרף y=27−x2y = 27 - x^2: הבסיס שלו על ציר ה-xx, ושני הקודקודים העליונים P(x, 27−x2)P(x,\,27 - x^2) ו-Q(−x, 27−x2)Q(-x,\,27 - x^2) על הגרף. מהו השטח המקסימלי של המלבן?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 108

Corrigé :

S(x)=2x(27−x2)=54x−2x30<x<27\begin{aligned}S(x) &= 2x(27 - x^2) \\ &= 54x - 2x^3 \\ \quad 0 < x < \sqrt{27}\end{aligned}

רוחב 2x2x, גובה — שיעור ה-yy של הנקודה

S′(x)=54−6x2=0⇒x=3\begin{aligned}S'(x) &= 54 - 6x^2 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}
S(3)=6⋅18=108\begin{aligned}S(3) &= 6 \cdot 18 \\ &= 108\end{aligned}

השטח המקסימלי הוא 108108.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

בונים תיבה פתוחה מלמעלה שבסיסה ריבוע שצלעו xx ס״מ. נפח התיבה 500500 סמ״ק. מהו שטח הפח הקטן ביותר הדרוש (בסמ״ר)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 300

Corrigé :

x2h=500⇒h=500x2\begin{aligned}x^2 h &= 500 \Rightarrow h \\ &= \frac{500}{x^2}\end{aligned}

האילוץ מסלק משתנה

S(x)=x2+4xh=x2+2000xx>0\begin{aligned}S(x) &= x^2 + 4xh \\ &= x^2 + \frac{2000}{x} \\ \quad x > 0\end{aligned}

בסיס וארבע דפנות

S′(x)=2x−2000x2=0⇒x3=1000⇒x=10\begin{aligned}S'(x) &= 2x - \frac{2000}{x^2} \\ &= 0 \Rightarrow x^3 \\ &= 1000 \Rightarrow x \\ &= 10\end{aligned}

S′S' עובר מ-−- ל-++

S(10)=100+200=300\begin{aligned}S(10) &= 100 + 200 \\ &= 300\end{aligned}

שטח הפח הקטן ביותר 300300 סמ״ר: בסיס 1010 על 1010 וגובה 55 ס״מ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונות f(x)=−x2+8xf(x) = -x^2 + 8x ו-g(x)=x2−4xg(x) = x^2 - 4x. ישר המאונך לציר ה-xx חותך את ff ב-AA ואת gg ב-BB, בין נקודות החיתוך של הגרפים. מהו האורך המקסימלי של ABAB?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 18

Corrigé :

−x2+8x=x2−4x⇒x=0 x=6\begin{aligned}-x^2 + 8x &= x^2 - 4x \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \ x &= 6\end{aligned}

נקודות החיתוך — התחום

AB=f(x)−g(x)=−2x2+12x0<x<6\begin{aligned}AB &= f(x) - g(x) \\ &= -2x^2 + 12x \\ \quad 0 < x < 6\end{aligned}

בתחום ff מעל gg

−4x+12=0⇒x=3AB=−18+36=18\begin{aligned}-4x + 12 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3 \\ \quad AB &= -18 + 36 \\ &= 18\end{aligned}

האורך המקסימלי הוא 1818, ב-x=3x = 3.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ג — מאתגר

Exercice 8

מהו המרחק הקצר ביותר מהנקודה A(0,3)A(0, 3) לגרף y=x2y = x^2? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.66

Corrigé :

d2=x2+(x2−3)2=x4−5x2+9\begin{aligned}d^2 &= x^2 + (x^2 - 3)^2 \\ &= x^4 - 5x^2 + 9\end{aligned}

ממזערים את מה שמתחת לשורש

4x3−10x=2x(2x2−5)=0\begin{aligned}4x^3 - 10x &= 2x(2x^2 - 5) \\ &= 0\end{aligned}
x2=2.5⇒d2=6.25−12.5+9=2.75\begin{aligned}x^2 &= 2.5 \Rightarrow d^2 \\ &= 6.25 - 12.5 + 9 \\ &= 2.75\end{aligned}

ב-x=0x = 0 מקסימום מקומי, d2=9d^2 = 9

d=2.75≈1.66d = \sqrt{2.75} \approx 1.66

המרחק הקצר ביותר הוא בקירוב 1.661.66, בנקודות x=±2.5x = \pm\sqrt{2.5}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מציל בחוף בתל אביב עומד על קו המים. שחיין נמצא 3030 מ׳ בתוך הים, מול נקודה על החוף שמרוחקת 4040 מ׳ מהמציל. המציל רץ לאורך החוף xx מטרים במהירות 55 מ׳ לשנייה, ומשם שוחה בקו ישר אל השחיין במהירות 33 מ׳ לשנייה. מהו הזמן הקצר ביותר (בשניות) שבו הוא מגיע לשחיין?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 16

Corrigé :

T(x)=x5+(40−x)2+90030≤x≤40\begin{aligned}T(x) &= \frac{x}{5} + \frac{\sqrt{(40 - x)^2 + 900}}{3} \\ \quad 0 \le x \le 40\end{aligned}

דרך השחייה — לפי פיתגורס

T′(x)=15−40−x3(40−x)2+900=0\begin{aligned}T'(x) &= \frac{1}{5} - \frac{40 - x}{3\sqrt{(40 - x)^2 + 900}} \\ &= 0\end{aligned}
u=40−x: 3u2+900=5u⇒16u2=8100⇒u=22.5\begin{aligned}u &= 40 - x:\ 3\sqrt{u^2 + 900} \\ &= 5u \Rightarrow 16u^2 \\ &= 8100 \Rightarrow u \\ &= 22.5\end{aligned}
T(17.5)=3.5+37.53=16\begin{aligned}T(17.5) &= 3.5 + \frac{37.5}{3} \\ &= 16\end{aligned}
T(0)=503≈16.7T(40)=8+10=18\begin{aligned}T(0) &= \frac{50}{3} \approx 16.7 \\ \quad T(40) &= 8 + 10 \\ &= 18\end{aligned}

הקצוות — ארוכים יותר

הזמן הקצר ביותר הוא 1616 שניות: רצים 17.517.5 מ׳ ושוחים 37.537.5 מ׳.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מלבן ברביע הראשון: שתי צלעותיו על הצירים, והקודקוד PP על הגרף y=a−x2y = a - x^2, כאשר a>0a > 0 פרמטר. השטח המקסימלי של המלבן הוא 1616. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

S(x)=x(a−x2)=ax−x30<x<a\begin{aligned}S(x) &= x(a - x^2) \\ &= ax - x^3 \\ \quad 0 < x < \sqrt{a}\end{aligned}

פותרים כאילו aa מספר

S′(x)=a−3x2=0⇒x2=a3\begin{aligned}S'(x) &= a - 3x^2 \\ &= 0 \Rightarrow x^2 \\ &= \frac{a}{3}\end{aligned}
Smax=x(a−x2)=x⋅2a3=x⋅2x2=2x3\begin{aligned}S_{max} &= x(a - x^2) \\ &= x \cdot \frac{2a}{3} \\ &= x \cdot 2x^2 \\ &= 2x^3\end{aligned}

כי a=3x2a = 3x^2

2x3=16⇒x=2⇒a=12\begin{aligned}2x^3 &= 16 \Rightarrow x \\ &= 2 \Rightarrow a \\ &= 12\end{aligned}

משווים לנתון

a=12a = 12. בדיקה: S(2)=2(12−4)=16S(2) = 2(12 - 4) = 16.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe